# 信息光学（上）介绍信息光学的基础知识

### 第1章 线性系统分析

这是信息光学（傅里叶光学）的数学基础章节，核心思想是用**线性系统理论**和**傅里叶分析方法**来描述光学现象。以下是每一小节的详细介绍：

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#### 1.1 几个常用的非初等函数

在信息光学中，光场的振幅分布、孔径形状等往往不能用简单的初等函数描述，需要引入一些特殊的"非初等函数"作为基本工具。

##### 1.1.1 矩形函数（rect）

矩形函数是最基本的脉冲函数之一，定义为在某一区间内取值为1，区间外取值为0。在一维情况下：

$$\text{rect}(x) = \begin{cases} 1, & |x| < \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2}, & |x| = \frac{1}{2} \\ 0, & |x| > \frac{1}{2} \end{cases}$$

**物理意义**：描述一个宽度为1、高度为1的狭缝或矩形孔径的透过率函数。通过缩放和平移，可以描述任意宽度和位置的矩形孔。其傅里叶变换是 sinc 函数，这是光学衍射中最基本的对应关系之一。

##### 1.1.2 sinc 函数

sinc 函数定义为：

$$\text{sinc}(x) = \frac{\sin(\pi x)}{\pi x}$$

（也有教材使用归一化定义 $\text{sinc}(x) = \frac{\sin x}{x}$）

**物理意义**：sinc 函数是矩形函数的傅里叶变换，它描述了**单缝夫琅禾费衍射图样**的振幅分布。主瓣宽度与缝宽成反比，旁瓣逐渐衰减。sinc 函数在信号重建（采样定理）和光学成像中也扮演重要角色。

##### 1.1.3 三角形函数（tri）

三角形函数定义为：

$$\text{tri}(x) = \begin{cases} 1 - |x|, & |x| \leq 1 \\ 0, & |x| > 1 \end{cases}$$

**物理意义**：可以看作两个相同矩形函数的卷积。在光学中，它描述的是一种透过率从中心向两侧线性递减的孔径，其傅里叶变换是 sinc² 函数，对应于某种特定衍射图样。

##### 1.1.4 符号函数（sgn）

符号函数定义为：

$$\text{sgn}(x) = \begin{cases} 1, & x > 0 \\ 0, & x = 0 \\ -1, & x < 0 \end{cases}$$

**物理意义**：用于描述具有相位反转的光学元件（如相位型光栅），在希尔伯特变换和解析信号理论中也有重要应用。

##### 1.1.5 阶跃函数（step / Heaviside）

阶跃函数定义为：

$$\text{step}(x) = \begin{cases} 1, & x > 0 \\ \frac{1}{2}, & x = 0 \\ 0, & x < 0 \end{cases}$$

**物理意义**：描述一个"半平面"的遮挡情况（如刀口），用于分析刃边法测量光学系统的点扩散函数。阶跃函数的导数就是 δ 函数。

##### 1.1.6 圆柱函数（cyl / jinc）

圆柱函数（也称 somb 函数）是二维圆形对称情况下的矩形函数的推广：

$$\text{cyl}(r) = \begin{cases} 1, & r \leq \frac{1}{2} \\ 0, & r > \frac{1}{2} \end{cases}$$

其中 $r = \sqrt{x^2 + y^2}$。

**物理意义**：描述**圆形孔径**的透过率函数。其二维傅里叶变换涉及一阶贝塞尔函数，结果称为 jinc 函数（或 Airy 斑的振幅分布），对应于圆孔的夫琅禾费衍射图样——著名的艾里斑（Airy pattern）。

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#### 1.2 δ 函数

##### 1.2.1 δ 函数的定义

δ 函数（Dirac delta function）不是严格意义上的函数，而是一个**广义函数（分布）**。它满足：

$$\delta(x) = 0 \quad (x \neq 0)$$

$$\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(x) dx = 1$$

或者等价地，通过**筛选性质**定义：

$$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\delta(x - x_0) dx = f(x_0)$$

δ 函数可以看作宽度趋于零、高度趋于无穷、面积保持为1的脉冲的极限，例如矩形脉冲宽度趋于零的极限。

##### 1.2.2 δ 函数的性质

δ 函数的核心性质包括：

- **筛选（抽样）性质**：$\int f(x)\delta(x-x_0)dx = f(x_0)$，这是最重要的性质
- **缩放性质**：$\delta(ax) = \frac{1}{|a|}\delta(x)$
- **偶函数性**：$\delta(-x) = \delta(x)$
- **与阶跃函数的关系**：$\frac{d}{dx}\text{step}(x) = \delta(x)$
- **傅里叶变换**：$\mathcal{F}\{\delta(x)\} = 1$，即 δ 函数的频谱是均匀分布的（包含所有频率成分）
- **卷积性质**：$f(x) * \delta(x - x_0) = f(x - x_0)$，即与 δ 函数卷积等效于平移
- **二维 δ 函数**：$\delta(x, y) = \delta(x)\delta(y)$

这些性质是后续分析线性平移不变系统的基础。

##### 1.2.3 梳状函数（comb）

梳状函数定义为一系列等间距的 δ 函数的无穷序列：

$$\text{comb}(x) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \delta(x - n)$$

**物理意义**：
- 描述**周期性点阵**或**光栅**的透过率函数
- 在信号处理中用于**采样**（乘以梳状函数 = 离散采样）
- 其傅里叶变换仍然是梳状函数（时域的周期采样对应频域的周期延拓），这是**采样定理**的数学基础
- 在光学中，用于分析光栅衍射、阵列光源等问题

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#### 1.3 二维傅里叶变换

光学问题本质上是二维（甚至三维）的，光场分布在空间中是二维的，因此需要二维傅里叶分析工具。

##### 1.3.1 傅里叶级数

对于**周期函数** $f(x)$，若满足狄利克雷条件，可以展开为傅里叶级数：

$$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}(a_n \cos\frac{2n\pi x}{T} + b_n \sin\frac{2n\pi x}{T})$$

或复数形式：

$$f(x) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{i\frac{2n\pi x}{T}}$$

**物理意义**：任何周期性光场分布（如光栅）都可以分解为一系列不同频率的正弦/余弦（或复指数）分量之和。每个频率分量的系数表示该频率成分的幅度和相位。

##### 1.3.2 傅里叶变换

当周期函数的周期趋于无穷时，傅里叶级数过渡为傅里叶变换：

**一维傅里叶变换（正变换）**：

$$F(f_x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) e^{-i 2\pi f_x x} dx$$

**一维傅里叶逆变换**：

$$f(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} F(f_x) e^{i 2\pi f_x x} df_x$$

**二维傅里叶变换**：

$$F(f_x, f_y) = \iint_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) e^{-i 2\pi (f_x x + f_y y)} dx\,dy$$

其中 $f_x$ 和 $f_y$ 是空间频率变量。

**物理意义**：傅里叶变换将一个空间域的光场分布 $f(x, y)$ 转换为空间频率域的频谱 $F(f_x, f_y)$。这一对应关系是**傅里叶光学**的核心——空间域中光场的复杂分布，在频率域中可以分解为不同空间频率的平面波分量。

##### 1.3.3 广义傅里叶变换

经典傅里叶变换要求函数满足绝对可积条件（$\int |f(x)|dx < \infty$），但许多有用的函数（如常数函数、正弦函数、阶跃函数）不满足此条件。通过引入 δ 函数，可以将傅里叶变换推广到更广泛的函数类：

- **常数函数**的傅里叶变换：$\mathcal{F}\{1\} = \delta(f_x)$
- **正弦函数**的傅里叶变换：$\mathcal{F}\{\sin(2\pi f_0 x)\} = \frac{1}{2i}[\delta(f_x - f_0) - \delta(f_x + f_0)]$
- **阶跃函数**的傅里叶变换：$\mathcal{F}\{\text{step}(x)\} = \frac{1}{2}\delta(f_x) + \frac{1}{i 2\pi f_x}$

广义傅里叶变换使得所有在信息光学中常用的函数都有了对应的频谱表示。

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#### 1.4 卷积和相关

##### 1.4.1 卷积

两个函数 $f(x)$ 和 $h(x)$ 的卷积定义为：

$$(f * h)(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(\xi) h(x - \xi) d\xi$$

二维卷积：

$$(f * h)(x, y) = \iint_{-\infty}^{+\infty} f(\xi, \eta) h(x - \xi, y - \eta) d\xi\,d\eta$$

**物理意义**：
- 卷积是**线性平移不变系统**的输出与输入之间关系的数学描述：输出 = 输入 * 系统的脉冲响应
- 在光学中，成像过程可以表示为：像的光场 = 物的光场 * 光学系统的点扩散函数（PSF）
- **卷积定理**：时域（空间域）的卷积等于频域的乘积，即 $\mathcal{F}\{f * h\} = \mathcal{F}\{f\} \cdot \mathcal{F}\{h\}$，这是傅里叶分析最有力的工具之一

##### 1.4.2 互相关

两个函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的互相关定义为：

$$(f \star g)(\tau) = \int_{-\infty}^{+\infty} f^*(t) g(t + \tau) dt$$

（$*$ 表示复共轭）

**物理意义**：互相关衡量两个信号在不同相对位移下的相似程度。在光学中用于**模式识别**、**图像配准**、**光学信息处理**等领域。互相关与卷积的区别在于不需要对其中一个函数做翻转。

##### 1.4.3 自相关

当互相关中的两个函数相同时，称为自相关：

$$R_{ff}(\tau) = \int_{-\infty}^{+\infty} f^*(t) f(t + \tau) dt$$

**物理意义**：
- 自相关函数衡量一个信号与其自身延迟版本之间的相似性
- 自相关函数在 $\tau = 0$ 处取得最大值（信号能量）
- **维纳-辛钦定理**：信号的功率谱密度等于其自相关函数的傅里叶变换
- 在光学中用于分析光场的相干性和统计特性

##### 1.4.4 有限功率函数的相关

对于功率信号（能量无限但功率有限，如周期信号、随机信号），自相关和互相关的定义需要取时间平均：

$$R_{ff}(\tau) = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{2T} \int_{-T}^{T} f^*(t) f(t + \tau) dt$$

**物理意义**：处理实际问题中常见的无限延伸信号（如连续光栅、准单色光场），其相关函数仍然良好定义，对应于时间平均或空间平均的测量结果。

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#### 1.5 傅里叶变换的基本性质和有关定理

##### 1.5.1 傅里叶变换的基本性质

傅里叶变换具有以下重要性质：

- **线性性质**：$\mathcal{F}\{a f + b g\} = a\mathcal{F}\{f\} + b\mathcal{F}\{g\}$
- **平移（位移）性质**：$f(x - x_0) \leftrightarrow F(f_x)e^{-i2\pi f_x x_0}$，空间平移对应于频谱乘以线性相位因子
- **缩放（相似性）性质**：$f(ax) \leftrightarrow \frac{1}{|a|}F\left(\frac{f_x}{a}\right)$，空间展宽对应频谱压缩
- **共轭性质**：$f^*(x) \leftrightarrow F^*(-f_x)$
- **对偶（对称）性质**：若 $f(x) \leftrightarrow F(f_x)$，则 $F(x) \leftrightarrow f(-f_x)$
- **帕塞瓦尔定理（能量守恒）**：$\int |f(x)|^2 dx = \int |F(f_x)|^2 df_x$
- **导数性质**：$\mathcal{F}\{\frac{d^n f}{dx^n}\} = (i2\pi f_x)^n F(f_x)$

##### 1.5.2 傅里叶变换的基本定理

最重要的两个定理：

**卷积定理**：
$$\mathcal{F}\{f * h\} = \mathcal{F}\{f\} \cdot \mathcal{F}\{h\}$$
$$\mathcal{F}\{f \cdot h\} = \mathcal{F}\{f\} * \mathcal{F}\{h\}$$

空间域的卷积等于频率域的乘积，反之亦然。这是线性系统频域分析的基石。

**相关定理**：
$$\mathcal{F}\{f \star g\} = F^*(f_x) \cdot G(f_x)$$

自相关的傅里叶变换等于功率谱：$\mathcal{F}\{f \star f\} = |F(f_x)|^2$。

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#### 1.6 线性系统分析

##### 1.6.1 线性系统

一个系统（算子）$\mathcal{H}$ 如果满足**叠加原理**，即对任意输入 $f_1, f_2$ 和任意常数 $a_1, a_2$：

$$\mathcal{H}\{a_1 f_1 + a_2 f_2\} = a_1 \mathcal{H}\{f_1\} + a_2 \mathcal{H}\{f_2\}$$

则称为线性系统。

**物理意义**：大多数光学系统在光强不太高时（不考虑非线性光学效应）都可以近似为线性系统。这意味着复杂输入的输出可以通过将输入分解为简单分量、分别求输出、再叠加来获得。

##### 1.6.2 线性平移不变系统（LSI / LSI系统）

若线性系统还满足**平移不变性**，即输入平移导致输出同样平移：

$$\mathcal{H}\{f(x - x_0)\} = g(x - x_0)$$

则称为线性平移不变系统（Linear Shift-Invariant System）。

**核心概念——脉冲响应（点扩散函数 PSF）**：

系统对 δ 函数的响应 $h(x) = \mathcal{H}\{\delta(x)\}$ 称为脉冲响应。对任意输入 $f(x)$，系统的输出为：

$$g(x) = f(x) * h(x) = \int f(\xi) h(x - \xi) d\xi$$

**物理意义**：任何线性平移不变系统完全由其脉冲响应 $h(x)$ 表征。在光学中，脉冲响应就是光学系统对一个理想点光源的响应，即**点扩散函数（Point Spread Function, PSF）**。

##### 1.6.3 线性平移不变系统的传递函数

对卷积关系 $g = f * h$ 两边做傅里叶变换，利用卷积定理：

$$G(f_x) = F(f_x) \cdot H(f_x)$$

其中 $H(f_x) = \mathcal{F}\{h(x)\}$ 称为系统的**传递函数**（Transfer Function）。

**物理意义**：
- 传递函数 $H(f_x)$ 是脉冲响应 $h(x)$ 的傅里叶变换
- 在频率域中，系统的输入输出关系是简单的**乘法关系**
- $|H(f_x)|$ 描述了系统对不同空间频率分量的**振幅调制**
- $\arg H(f_x)$ 描述了系统对不同空间频率分量的**相位调制**
- 在光学中，相干成像系统的传递函数称为**相干传递函数（CTF）**，非相干成像系统的传递函数称为**光学传递函数（OTF）**

##### 1.6.4 线性平移不变系统的本征函数

对于线性平移不变系统，**复指数函数** $e^{i 2\pi f_x x}$ 是系统的本征函数（特征函数）：

$$\mathcal{H}\{e^{i 2\pi f_x x}\} = H(f_x) e^{i 2\pi f_x x}$$

**物理意义**：
- 输入复指数信号（或单色平面波）后，输出仍是同样频率的复指数信号，只是振幅和相位被传递函数 $H(f_x)$ 调制
- 复指数函数是 LSI 系统的本征函数，对应的本征值就是传递函数 $H(f_x)$
- 这一性质是傅里叶方法用于分析 LSI 系统的根本原因：将输入分解为复指数分量（傅里叶变换），每个分量独立通过系统（乘以 $H$），再叠加（逆傅里叶变换）得到输出

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#### 1.7 二维光场分析

##### 1.7.1 单色光波场的复振幅表示

单色光波的电场可以表示为：

$$E(x, y, z, t) = A(x, y, z) \cos[\omega t - \phi(x, y, z)]$$

其中 $A$ 为振幅，$\phi$ 为相位，$\omega$ 为角频率。

引入**复振幅**（Complex Amplitude）表示：

$$U(x, y, z) = A(x, y, z) e^{-i\phi(x, y, z)}$$

则光场可写为：

$$E(x, y, z, t) = \text{Re}\{U(x, y, z) e^{i\omega t}\}$$

**物理意义**：
- 对于单色光，时间因子 $e^{i\omega t}$ 是共同的，可以分离出去
- 复振幅 $U(x, y, z)$ 包含了光场的全部空间信息（振幅和相位）
- 光强 $I = |U|^2 = A^2$
- 这种表示大大简化了计算，因为可以对复振幅进行线性运算，最后取模平方得到光强

##### 1.7.2 平面波的空间频率

沿方向余弦 $(\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma)$ 传播的单色平面波，其复振幅为：

$$U(x, y, z) = A \exp\left[i\frac{2\pi}{\lambda}(\cos\alpha \cdot x + \cos\beta \cdot y + \cos\gamma \cdot z)\right]$$

定义**空间频率**：

$$f_x = \frac{\cos\alpha}{\lambda}, \quad f_y = \frac{\cos\beta}{\lambda}$$

则平面波在 $z = 0$ 平面上的复振幅为：

$$U(x, y, 0) = A \exp[i 2\pi (f_x x + f_y y)]$$

**物理意义**：
- 空间频率 $(f_x, f_y)$ 表示单位长度内波面振动的周期数，单位为线/毫米（lp/mm）
- 方向余弦越大（传播方向与该轴的夹角越小），空间频率越高
- 空间频率的取值受限于 $f_x^2 + f_y^2 \leq \frac{1}{\lambda^2}$（因为 $\cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma = 1$）
- 这一概念将**光的传播方向**与**空间频率**建立了一一对应关系

##### 1.7.3 复振幅分布的空间频谱

对于 $z = 0$ 平面上任意复杂的复振幅分布 $U(x, y, 0)$，其二维傅里叶变换为：

$$\tilde{U}(f_x, f_y; 0) = \iint U(x, y, 0) e^{-i 2\pi(f_x x + f_y y)} dx\,dy$$

**物理意义（角谱理论）**：
- $\tilde{U}(f_x, f_y; 0)$ 称为复振幅分布的**角谱**（Angular Spectrum）
- 它将任意光场分解为不同方向传播的平面波的叠加
- 每个空间频率分量 $(f_x, f_y)$ 对应一个特定传播方向的平面波分量
- 频谱的模 $|\tilde{U}|$ 表示该方向平面波的振幅权重
- 这是**角谱衍射理论**的基础，也是傅里叶光学处理光传播问题的核心方法

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#### 1.8 空间频率的局域化

**背景**：传统傅里叶变换给出的是全局频谱信息——它告诉我们光场中包含哪些空间频率成分，但不能告诉我们这些频率成分在空间中的**位置**。

**核心思想**：空间频率的局域化就是同时获得光场的**空间位置信息**和**空间频率信息**，即建立一种"局域频谱"的描述方法。

**主要方法**：

1. **窗口傅里叶变换（短时傅里叶变换）**：用一个有限宽度的窗函数对光场做局部截取，然后对每个局部区域做傅里叶变换：

$$F(x_0, f_x) = \int f(x) w(x - x_0) e^{-i 2\pi f_x x} dx$$

其中 $w(x - x_0)$ 是在 $x_0$ 处有非零值的窗函数。

2. **空间-频率联合分布**：用二维函数 $W(x, f_x)$ 同时描述光场在空间位置 $x$ 和空间频率 $f_x$ 处的能量分布。

3. **维格纳分布函数（Wigner Distribution Function）**：

$$W(x, f_x) = \int f\left(x + \frac{\tau}{2}\right) f^*\left(x - \frac{\tau}{2}\right) e^{-i 2\pi f_x \tau} d\tau$$

**物理意义**：
- 对于非均匀光场（如激光束、部分相干光），不同位置的频率成分不同，需要局域化描述
- 空间频率局域化是理解**光束传播**、**光学谐振腔**、**波前传感**等问题的重要工具
- 也是**空间带宽积**（Space-Bandwidth Product）概念的基础，用于描述光学系统可以传输的信息量

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### 第2章 标量衍射理论

本章是信息光学的核心物理基础，讨论光波通过衍射孔径后的传播与衍射规律。核心思路是：将光场视为**标量场**（忽略偏振/矢量特性），利用波动方程和边界条件求解光场在自由空间中的传播问题。

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#### 2.1 历史引言

本节回顾衍射理论的发展历程，帮助理解各种理论的来龙去脉与适用范围。

**主要历史脉络：**

- **17世纪**：格里马尔迪（Grimaldi）首次观察到光的衍射现象，发现光通过小孔后会在屏幕上产生明暗交替的条纹，这与几何光学的直线传播预言不符。

- **惠更斯原理（1678年）**：波前上每一点都可以看作新的球面子波源，下一时刻的波前是这些子波的包络面。该原理定性地解释了光的传播方向，但无法定量计算衍射图样的强度分布。

- **菲涅耳的贡献（1818年）**：在惠更斯原理基础上引入**干涉叠加**思想，提出"惠更斯-菲涅耳原理"——空间任意一点的光振动是波前上所有子波源在该点相干叠加的结果。菲涅耳首次定量解释了圆孔衍射、直边衍射等现象。

- **基尔霍夫（1882年）**：从亥姆霍兹方程出发，利用格林定理严格推导了惠更斯-菲涅耳原理，给出了衍射公式的严格数学形式，并确定了菲涅耳理论中倾斜因子（obliquity factor）的具体表达式。

- **瑞利-索末菲（Rayleigh-Sommerfeld，1907年）**：指出基尔霍夫理论中存在边界条件不自洽的问题（同时规定了场和场的法向导数），选用不同的格林函数重新推导，得到了更为自洽的衍射公式。

- **索末菲的矢量理论**：从麦克斯韦方程组出发处理衍射问题，严格考虑电磁场的矢量特性，但数学极其复杂，仅在特殊情况下有解析解。

本节的核心目的是说明：虽然严格的电磁矢量理论最为精确，但在大多数实际光学问题中（孔径尺寸远大于波长、观察距离不太近），**标量近似**已经足够精确且数学上大大简化。

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#### 2.2 从矢量理论到标量理论

本节讨论在什么条件下可以将光场从矢量（电磁场）简化为标量来处理。

**矢量理论的出发点——麦克斯韦方程组：**

光波本质上是电磁波，完整的描述需要电场 $\mathbf{E}$ 和磁场 $\mathbf{H}$ 两个矢量场，满足：

$$\nabla \times \mathbf{E} = -\mu\frac{\partial \mathbf{H}}{\partial t}, \quad \nabla \times \mathbf{H} = \epsilon\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$$

由此可导出波动方程（矢量亥姆霍兹方程）：

$$\nabla^2 \mathbf{E} + k^2 \mathbf{E} = 0, \quad \nabla^2 \mathbf{H} + k^2 \mathbf{H} = 0$$

其中 $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ 为波数。

**从矢量到标量的近似条件：**

1. **孔径尺寸远大于波长**（$a \gg \lambda$）：当衍射孔径的特征尺寸远大于光波长时，电磁场的横向分量占主导，纵向分量可以忽略。此时电场各分量的行为彼此独立，可以只关注其中一个分量（如 $E_z$ 或 $E_x$），将其当作标量处理。

2. **衍射角不太大**：在小角度衍射情况下，场的各个笛卡尔分量之间耦合很弱。

3. **非偏振敏感系统**：当光学元件对偏振态没有选择性作用时，偏振信息不影响光强分布的计算。

**标量场表示：**

在标量近似下，单色光场用一个复标量函数 $U(x, y, z)$ 表示（即某一分量的复振幅），满足**标量亥姆霍兹方程**：

$$\nabla^2 U + k^2 U = 0$$

即：

$$\frac{\partial^2 U}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 U}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 U}{\partial z^2} + k^2 U = 0$$

**物理意义：**
- 标量理论将复杂的矢量电磁场问题简化为求解一个标量偏微分方程
- 在大多数信息光学问题中（如透镜成像、全息、光栅衍射），标量理论的预测与实验高度吻合
- 但当孔径接近波长量级（如纳米结构、超表面、高数值孔径聚焦）时，必须使用严格的矢量理论

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#### 2.3 基尔霍夫衍射理论

##### 2.3.1 惠更斯-菲涅耳原理与基尔霍夫衍射公式

**惠更斯-菲涅耳原理的数学表述：**

波前 $\Sigma$ 上每一点 $Q$ 都可以看作次级球面子波的源，观察点 $P$ 处的复振幅是所有这些子波在该点相干叠加的结果：

$$U(P) = \frac{1}{i\lambda} \iint_{\Sigma} U(Q) \frac{e^{ikr}}{r} K(\theta) dS$$

其中：
- $r$ 是 $Q$ 到 $P$ 的距离
- $K(\theta)$ 是倾斜因子（obliquity factor），$\theta$ 是 $QP$ 方向与波面法线的夹角
- $\frac{1}{i\lambda}$ 中的 $-i$（即 $e^{-i\pi/2}$）表示子波相对原波有 $\pi/2$ 的相位滞后

**基尔霍夫的严格推导：**

基尔霍夫从亥姆霍兹方程出发，利用**格林第二恒等式**：

$$\iiint_V (U\nabla^2 G - G\nabla^2 U) dV = \iint_S \left(U\frac{\partial G}{\partial n} - G\frac{\partial U}{\partial n}\right) dS$$

选取格林函数 $G = \frac{e^{ikr}}{r}$（球面波），经过推导得到**基尔霍夫衍射积分公式**：

$$U(P) = \frac{1}{4\pi} \iint_{\Sigma} \left[U\frac{\partial}{\partial n}\left(\frac{e^{ikr}}{r}\right) - \frac{e^{ikr}}{r}\frac{\partial U}{\partial n}\right] dS$$

基尔霍夫由此确定了倾斜因子：

$$K(\theta) = \frac{1}{2}(\cos\theta_0 + \cos\theta)$$

其中 $\theta_0$ 是入射波法线与面元法线的夹角，$\theta$ 是衍射方向与面元法线的夹角。

**基尔霍夫边界条件（Kirchhoff边界条件）：**
- 在孔径内：$U$ 和 $\partial U/\partial n$ 取未受扰动时的值
- 在孔径外（不透明屏上）：$U = 0$，$\partial U/\partial n = 0$

**局限性**：基尔霍夫边界条件在数学上不自洽——对亥姆霍兹方程而言，在封闭面上同时规定场值和其法向导数会导致过定问题（解可能不存在）。

##### 2.3.2 惠更斯-菲涅耳原理与叠加积分

本节进一步将基尔霍夫衍射公式写成**线性叠加积分**的形式，为后续的线性系统分析做准备。

**叠加积分的一般形式：**

$$U(x, y, z) = \iint_{-\infty}^{+\infty} U(\xi, \eta, 0) \cdot h(x - \xi, y - \eta; z) d\xi d\eta$$

其中：
- $U(\xi, \eta, 0)$ 是源面（$z=0$ 平面）上的复振幅分布
- $h(x-\xi, y-\eta; z)$ 是从源点 $(\xi, \eta, 0)$ 到观察点 $(x, y, z)$ 的**脉冲响应**（即点源产生的球面波）

**脉冲响应（Green函数）：**

$$h(x, y; z) = \frac{1}{i\lambda} \frac{e^{ikr}}{r} \cos\theta$$

其中 $r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$。

**物理意义：**
- 将衍射过程写成卷积（或叠加积分）形式后，光在自由空间的传播就可以看作是一个**线性平移不变系统**
- 输入 = 初始平面上的复振幅分布
- 输出 = 传播一段距离后新平面上的复振幅分布
- 系统的脉冲响应 = 球面波的复振幅
- 这为用线性系统理论分析光传播奠定了基础

##### 2.3.3 相干光场在自由空间传播的平移不变性

**平移不变性的含义：**

如果一个光学系统（此处指自由空间传播）满足：输入场平移 $(x_0, y_0)$ 后，输出场也仅仅是平移同样的 $(x_0, y_0)$，即：

$$U_{in}(x-x_0, y-y_0) \xrightarrow{\text{传播}} U_{out}(x-x_0, y-y_0)$$

则该系统具有平移不变性。

**自由空间传播的平移不变性：**

在**菲涅耳近似**（近轴近似）条件下，自由空间传播的脉冲响应只依赖于相对坐标差 $(x-\xi, y-\eta)$，因此传播过程可以严格写成卷积形式：

$$U(x, y, z) = U(\xi, \eta, 0) * h(x, y; z)$$

这表明在菲涅耳近似下，自由空间传播是一个**线性平移不变系统**。

**重要意义：**
- 平移不变性使得可以用**传递函数**（脉冲响应的傅里叶变换）来描述传播
- 在空间频率域中，传播等效于频谱乘以一个传递函数（相位因子），计算大为简化
- 这也是后续角谱方法和透镜傅里叶变换性质的理论基础

##### 2.3.4 相干光场在自由空间传播的脉冲响应的近似表达式

本节讨论脉冲响应 $h(x, y; z) = \frac{1}{i\lambda}\frac{e^{ikr}}{r}\cos\theta$ 在不同近似条件下的简化表达式。

**精确表达式：**

$$h(x, y; z) = \frac{z}{i\lambda} \frac{e^{ik\sqrt{x^2+y^2+z^2}}}{x^2+y^2+z^2}$$

**菲涅耳近似（Fresnel approximation）：**

条件：观察距离 $z$ 远大于孔径尺寸，即 $z \gg \sqrt{x^2+y^2}$。

对距离 $r$ 做泰勒展开：

$$r = \sqrt{z^2 + x^2 + y^2} = z\sqrt{1 + \frac{x^2+y^2}{z^2}} \approx z\left(1 + \frac{x^2+y^2}{2z^2}\right) = z + \frac{x^2+y^2}{2z}$$

在指数中保留到二次项（因为相位对 $r$ 的变化很敏感），在分母中令 $r \approx z$：

$$h(x, y; z) \approx \frac{e^{ikz}}{i\lambda z} \exp\left[i\frac{k}{2z}(x^2+y^2)\right]$$

这就是**菲涅耳脉冲响应**，对应的衍射称为菲涅耳衍射。

**夫琅禾费近似（Fraunhofer approximation）：**

更远的距离下（远场），二次相位因子也可以简化，得到夫琅禾费脉冲响应。条件为：

$$z \gg \frac{k(x^2+y^2)_{max}}{2} = \frac{\pi(x^2+y^2)_{max}}{\lambda}$$

即**夫琅禾费距离**（远场距离）。此时衍射积分退化为傅里叶变换形式。

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#### 2.4 衍射的角谱理论

##### 2.4.1 单色平面波与本征函数

**角谱方法的基本思想：**

任意复杂的单色光场 $U(x, y, 0)$ 都可以通过二维傅里叶变换分解为一系列不同方向传播的平面波的叠加（即空间频谱分解）：

$$U(x, y, 0) = \iint_{-\infty}^{+\infty} \tilde{U}(f_x, f_y; 0) e^{i2\pi(f_x x + f_y y)} df_x df_y$$

其中 $\tilde{U}(f_x, f_y; 0)$ 是角谱（空间频谱），每个频率分量 $(f_x, f_y)$ 对应一个沿特定方向传播的平面波。

**平面波是亥姆霍兹方程的本征函数：**

平面波复振幅：

$$U(x, y, z) = A \exp[i(k_x x + k_y y + k_z z)]$$

代入亥姆霍兹方程 $\nabla^2 U + k^2 U = 0$，得到：

$$-(k_x^2 + k_y^2 + k_z^2) + k^2 = 0$$

即：

$$k_x^2 + k_y^2 + k_z^2 = k^2 = \left(\frac{2\pi}{\lambda}\right)^2$$

这说明平面波是波动方程的精确解（本征函数），空间频率分量满足：

$$f_x^2 + f_y^2 + f_z^2 = \frac{1}{\lambda^2}$$

**物理意义：**
- 每个平面波分量（本征函数）在传播过程中保持其形式不变，仅相位发生变化
- 任意光场的传播问题归结为：分解为平面波→每个平面波独立传播→重新叠加

##### 2.4.2 角谱的传播

**角谱传播的核心公式：**

如果已知 $z=0$ 平面上的角谱 $\tilde{U}(f_x, f_y; 0)$，则任意距离 $z$ 处的角谱为：

$$\tilde{U}(f_x, f_y; z) = \tilde{U}(f_x, f_y; 0) \cdot H(f_x, f_y; z)$$

其中**传递函数**（角谱传播的传递函数）为：

$$H(f_x, f_y; z) = \exp(ik_z z) = \exp\left[i\frac{2\pi}{\lambda}z\sqrt{1 - (\lambda f_x)^2 - (\lambda f_y)^2}\right]$$

**传播距离 $z$ 处的光场：**

$$U(x, y, z) = \iint \tilde{U}(f_x, f_y; 0) \exp\left[i\frac{2\pi}{\lambda}z\sqrt{1 - (\lambda f_x)^2 - (\lambda f_y)^2}\right] e^{i2\pi(f_x x + f_y y)} df_x df_y$$

**传播的物理分类：**

1. **传播波（Propagating waves）**：当 $f_x^2 + f_y^2 < \frac{1}{\lambda^2}$ 时，$k_z$ 为实数，该频率分量以平面波形式传播，仅相位变化。

2. **倏逝波（Evanescent waves）**：当 $f_x^2 + f_y^2 > \frac{1}{\lambda^2}$ 时，$k_z$ 为虚数，该分量随 $z$ 指数衰减，不能远距离传播（但在近场光学、全内反射中有重要作用）。

**与卷积方法的等价性：**

角谱方法和基尔霍夫卷积积分方法在数学上完全等价，都是亥姆霍兹方程的精确解。二者是同一物理过程的两种数学描述：
- 角谱方法：在**频率域**中做乘法
- 卷积方法：在**空间域**中做卷积

##### 2.4.3 孔径对角谱的影响

**有限孔径的效应：**

当光通过有限大小的孔径时，相当于在空间域中用一个窗函数（如矩形函数或圆柱函数）乘以入射光场：

$$U_{out}(x, y) = U_{in}(x, y) \cdot P(x, y)$$

其中 $P(x, y)$ 是孔径函数（透过率函数）。

**频域中的影响（卷积定理）：**

$$\tilde{U}_{out}(f_x, f_y) = \tilde{U}_{in}(f_x, f_y) * \tilde{P}(f_x, f_y)$$

即：孔径使光场的角谱被**展宽**（与孔径的傅里叶变换做卷积）。

**关键结论：**

- 孔径越小（空间限制越强），其傅里叶变换 $\tilde{P}$ 越宽，对角谱的展宽越显著
- 角谱展宽意味着产生了更高空间频率（更大衍射角）的分量
- 这解释了"孔越小，衍射越显著"的物理本质
- 反之，如果孔径远大于光场本身的有效尺寸，则孔径对角谱的影响可以忽略

**空间带宽积（Space-Bandwidth Product）：**

$$N = (\Delta x \cdot \Delta f_x) \times (\Delta y \cdot \Delta f_y)$$

表示一个光场或光学系统能够传输的独立信息自由度数量。

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#### 2.5 菲涅耳衍射和夫琅禾费衍射

##### 2.5.1 菲涅耳衍射

**菲涅耳衍射积分公式：**

在菲涅耳近似下（$z$ 足够大，使 $\frac{x^2+y^2}{z^2} \ll 1$），衍射积分写为：

$$U(x, y, z) = \frac{e^{ikz}}{i\lambda z} \iint U(\xi, \eta, 0) \exp\left\{i\frac{k}{2z}\left[(x-\xi)^2 + (y-\eta)^2\right]\right\} d\xi d\eta$$

展开平方项后：

$$U(x, y) = \frac{e^{ikz}}{i\lambda z} e^{i\frac{k}{2z}(x^2+y^2)} \iint \left[U(\xi,\eta,0) e^{i\frac{k}{2z}(\xi^2+\eta^2)}\right] e^{-i\frac{k}{z}(x\xi+y\eta)} d\xi d\eta$$

**重要解读：**

上式表明，菲涅耳衍射场等于：
1. 先将入射场乘以二次相位因子 $e^{i\frac{k}{2z}(\xi^2+\eta^2)}$
2. 再做傅里叶变换（频率变量为 $f_x = \frac{x}{\lambda z}$, $f_y = \frac{y}{\lambda z}$）
3. 最后再乘以外部二次相位因子 $e^{i\frac{k}{2z}(x^2+y^2)}$

**菲涅耳近似的有效条件：**

$$z^3 \gg \frac{\pi}{4\lambda} \left[(x-\xi)^2 + (y-\eta)^2\right]^2_{max}$$

粗略估计：$z \gg \frac{a^2}{\lambda}$，其中 $a$ 是孔径的特征尺寸。这个距离也称为**菲涅耳距离**。

**菲涅耳数（Fresnel Number）：**

$$N_F = \frac{a^2}{\lambda z}$$

- $N_F \gg 1$：近场，几何光学近似有效
- $N_F \sim 1$：菲涅耳衍射区
- $N_F \ll 1$：夫琅禾费衍射区（远场）

##### 2.5.2 泰伯效应（Talbot Effect）

**泰伯效应的发现：**

1836年，泰伯（Henry Fox Talbot）发现：当一束平行单色光垂直照射一个周期性光栅时，在光栅后面某些特定距离处，会出现光栅的**自成像**（即无需透镜即可在自由空间中重现光栅的周期结构）。

**泰伯距离公式：**

$$z_T = \frac{2d^2}{\lambda}$$

其中 $d$ 是光栅周期，$\lambda$ 是波长。在 $z_T$ 的整数倍距离处，出现光栅的精确复制（自成像）；在半整数倍处，出现对比度反转的像。

**物理解释（用角谱理论）：**

- 周期性光栅的频谱是离散的（梳状函数），包含一系列空间频率分量 $f_n = \frac{n}{d}$
- 每个频率分量在传播中获得的相位因子为 $\exp(ik_z z)$
- 当传播距离使得各频率分量之间的相对相位差恰好为 $2\pi$ 的整数倍时，所有分量重新同相叠加，复原出原始光栅结构
- 这个条件正好对应 $z = z_T$

**应用：**
- 泰伯效应在X射线成像、光栅制造、光束分束、阵列照明等领域有重要应用
- 也是理解周期结构衍射行为的重要范例

##### 2.5.3 夫琅禾费衍射

**夫琅禾费衍射积分公式：**

在更远的距离（远场）下，菲涅耳积分中的二次相位因子 $e^{i\frac{k}{2z}(\xi^2+\eta^2)} \approx 1$，衍射积分简化为：

$$U(x, y, z) = \frac{e^{ikz}}{i\lambda z} e^{i\frac{k}{2z}(x^2+y^2)} \iint U(\xi, \eta, 0) e^{-i\frac{k}{z}(x\xi+y\eta)} d\xi d\eta$$

即（忽略常数因子和外部相位因子）：

$$U(x, y, z) \propto \mathcal{F}\{U(\xi, \eta, 0)\}\Big|_{f_x = \frac{x}{\lambda z}, \, f_y = \frac{y}{\lambda z}}$$

**核心结论：**

夫琅禾费衍射场**直接正比于**孔径平面上光场分布的**傅里叶变换**！

- 观察面上位置 $(x, y)$ 对应空间频率 $(f_x, f_y) = \left(\frac{x}{\lambda z}, \frac{y}{\lambda z}\right)$
- 衍射图样的光强分布 $I(x, y) = |U(x, y)|^2$ 就是孔径函数的功率谱

**夫琅禾费条件：**

$$z \gg \frac{k(\xi^2+\eta^2)_{max}}{2} = \frac{\pi a^2}{\lambda}$$

即观察距离远大于 $a^2/\lambda$ 量级（$a$ 为孔径最大尺寸）。

**典型例子：**
- **单缝**：矩形函数 → 衍射图样为 sinc² 函数
- **圆孔**：圆柱函数 → 衍射图样为艾里斑（Airy pattern），$I(\theta) \propto \left[\frac{2J_1(ka\sin\theta)}{ka\sin\theta}\right]^2$
- **双缝**：两个 δ 函数 → 余弦调制条纹（杨氏双缝干涉）
- **光栅**：梳状函数 → 离散的衍射级次

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#### 2.6 透镜的傅里叶变换性质

##### 2.6.1 透镜的相位变换作用

**透镜的厚度函数：**

一个薄透镜的厚度分布 $t(x, y)$ 决定了它对光场的调制。对于球面透镜：

$$t(x, y) = t_0 - \frac{x^2 + y^2}{2}\left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right)$$

其中 $t_0$ 是中心厚度，$R_1, R_2$ 是两个球面的曲率半径。

**透镜的透过率函数：**

光通过透镜后，由于光程的变化（透镜材料折射率 $n$ 与周围介质不同），获得一个相位调制：

$$t_l(x, y) = e^{ik(n-1)t(x, y)} = e^{ik(n-1)t_0} \cdot e^{-i\frac{k(n-1)}{2}\left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right)(x^2+y^2)}$$

利用**透镜制造者公式**（Lensmaker's formula）：

$$\frac{1}{f} = (n-1)\left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right)$$

得到透镜透过率函数的简洁形式：

$$t_l(x, y) = e^{ik(n-1)t_0} \cdot e^{-i\frac{k}{2f}(x^2+y^2)}$$

忽略常数相位因子：

$$t_l(x, y) \approx e^{-i\frac{k}{2f}(x^2+y^2)} = e^{-i\frac{\pi}{\lambda f}(x^2+y^2)}$$

**物理意义：**
- 透镜的作用等效于一个**二次相位调制器**
- 透镜不改变光场的振幅分布（薄透镜近似下），只改变相位
- 二次相位因子的曲率半径恰好等于焦距 $f$
- 这个相位调制可以将球面波变为平面波（准直），或将平面波变为球面波（聚焦）

##### 2.6.2 透镜的傅里叶变换特性

这是傅里叶光学中最重要的结论之一：**透镜可以在其焦平面上实现输入光场的二维傅里叶变换**。

**经典配置：**

将物（输入光场）放在透镜的前焦面上，用平行光照明，在透镜的后焦面上观察。

**推导要点：**

1. 前焦面上的输入场 $U_0(\xi, \eta)$ 传播到透镜（距离 $f$），做菲涅耳衍射
2. 透镜施加二次相位因子 $e^{-i\frac{k}{2f}(x^2+y^2)}$
3. 从透镜传播到后焦面（距离 $f$），再做菲涅耳衍射

**关键结果：** 前两步和第三步的二次相位因子**恰好相互抵消**，最终后焦面上的光场为：

$$U_f(u, v) = \frac{e^{i2kf}}{i\lambda f} \iint U_0(\xi, \eta) e^{-i\frac{2\pi}{\lambda f}(u\xi + v\eta)} d\xi d\eta$$

即：

$$U_f(u, v) = \frac{e^{i2kf}}{i\lambda f} \cdot \mathcal{F}\{U_0(\xi, \eta)\}\Big|_{f_x = \frac{u}{\lambda f}, \, f_y = \frac{v}{\lambda f}}$$

**核心结论：**
- 透镜后焦面上的复振幅分布正比于前焦面上输入场的**精确傅里叶变换**（无额外相位因子）
- 焦面上坐标 $(u, v)$ 对应空间频率 $(f_x, f_y) = \left(\frac{u}{\lambda f}, \frac{v}{\lambda f}\right)$
- 焦距越短，频谱"展开"越大（同样空间频率对应更大的焦面坐标）
- 这就是**光学傅里叶变换**的物理实现

**重要意义：**
- 透镜可以瞬间完成二维傅里叶变换，速度远超数字计算机
- 这是光学信息处理、空间滤波、光学计算的基础
- 焦平面也称为**频谱面**或**傅里叶面**

##### 2.6.3 透镜的一般变换特性

本节讨论更一般的情况：输入不在前焦面上，或照明不是平行光。

**情况一：输入紧贴透镜后面**

当输入紧贴透镜（距离为0），观察面在透镜后距离 $d$ 处：

$$U(x, y) = \frac{e^{ikd}}{i\lambda d} e^{i\frac{k}{2d}(x^2+y^2)} \cdot \mathcal{F}\left\{U_0(\xi,\eta) e^{i\frac{k}{2}\left(\frac{1}{d}-\frac{1}{f}\right)(\xi^2+\eta^2)}\right\}$$

只有当 $d = f$ 时才得到精确傅里叶变换。

**情况二：输入距透镜距离为 $d_0$，观察面距透镜距离为 $d_i$**

当满足**透镜成像公式** $\frac{1}{d_0} + \frac{1}{d_i} = \frac{1}{f}$ 时，观察面上得到的是输入场的**倒立实像**（带二次相位因子）。

**情况三：4f 系统**

两个焦距为 $f$ 的透镜串联，间距为 $2f$，输入在第一透镜的前焦面：
- 中间面（第一透镜后焦面 = 第二透镜前焦面）：得到输入的傅里叶频谱
- 输出面（第二透镜后焦面）：得到输入的**倒立像**（精确傅里叶逆变换）

4f 系统是**光学信息处理**的标准架构，中间频谱面可以插入空间滤波器进行各种图像处理操作。

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#### 2.7 复杂相干光学系统的分析

##### 2.7.1 算符分析法的几个约束条件

算符分析法（Operator method）是一种用代数算符来描述光学系统各操作（传播、透镜相位调制等）的系统化方法。

**基本约束条件：**

1. **标量近似**：光场用标量复振幅描述，忽略偏振效应

2. **近轴近似（Paraxial approximation）**：光线与光轴夹角很小，$\sin\theta \approx \theta$，$\cos\theta \approx 1$

3. **薄元件近似**：光学元件（透镜、孔径等）的厚度可以忽略，只引入相位调制而不引起横向位移

4. **单色相干光**：光源为严格单色（时间相干性完美）且完全空间相干

5. **线性性**：所有操作（传播、相位调制）都是线性的

##### 2.7.2 算符分析法

**基本算符定义：**

1. **自由空间传播算符 $\mathcal{P}(d)$**：

$$\mathcal{P}(d)\{U(x,y)\} = U(x,y) * \frac{e^{ikd}}{i\lambda d} e^{i\frac{k}{2d}(x^2+y^2)}$$

在频率域中：$\mathcal{P}(d) \leftrightarrow H(f_x, f_y) = e^{ikd}\exp\left[-i\pi\lambda d(f_x^2+f_y^2)\right]$

2. **透镜相位算符 $\mathcal{L}(f)$**：

$$\mathcal{L}(f)\{U(x,y)\} = U(x,y) \cdot e^{-i\frac{k}{2f}(x^2+y^2)}$$

3. **傅里叶变换算符 $\mathcal{F}$**：

$$\mathcal{F}\{U(x,y)\} = \iint U(x,y) e^{-i2\pi(f_x x + f_y y)} dx dy$$

**算符代数运算规则：**

- 传播+透镜的组合可以用算符乘积表示
- 利用算符的对易关系和变换性质，可以简化复杂系统的分析
- 例如：$\mathcal{P}(f) \cdot \mathcal{L}(f) \cdot \mathcal{P}(f) = e^{i2kf} \cdot \mathcal{F}$（透镜实现傅里叶变换的算符表述）

##### 2.7.3 算符分析法的应用举例

**例1：透镜傅里叶变换的算符证明**

$$\mathcal{P}(f) \cdot \mathcal{L}(f) \cdot \mathcal{P}(f)\{U_0\} = \text{常数} \times \mathcal{F}\{U_0\}$$

**例2：4f 光学信息处理系统**

$$\mathcal{P}(f) \cdot \mathcal{L}(f) \cdot \mathcal{P}(f) \cdot \mathcal{H}_{filter} \cdot \mathcal{P}(f) \cdot \mathcal{L}(f) \cdot \mathcal{P}(f) = \mathcal{F}^{-1} \cdot \mathcal{H}_{filter} \cdot \mathcal{F}$$

即输出 = 输入的傅里叶变换 × 滤波器传递函数 × 逆傅里叶变换，实现空间域卷积操作。

**例3：成像系统的等效脉冲响应**

通过算符链的组合，可以推导出包含多个透镜的复杂相干成像系统的整体脉冲响应和传递函数。

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### 第3章 光学成像系统的传递函数

本章是信息光学的核心章节，将第1章的线性系统理论和第2章的衍射理论应用于**光学成像系统**的分析。核心思想：将成像过程看作一个线性系统，用**传递函数**（频域）和**点扩散函数**（空间域）来全面表征系统的成像性能。本章分别讨论相干照明和非相干照明两种情况。

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#### 3.1 相干照明衍射受限系统的点扩散函数

##### 3.1.1 透镜的点扩散函数

**什么是点扩散函数（PSF）：**

点扩散函数（Point Spread Function）是光学系统对一个理想点光源（数学上即 δ 函数）的复振幅响应。在相干照明下，PSF 描述的是系统输出的**复振幅**分布（而非光强）。

**推导思路：**

考虑一个薄透镜成像系统，点光源位于物平面上某点 $(x_s, y_s)$。该点光源发出的球面波经过透镜后，在像平面上形成一定的复振幅分布。

对于**衍射受限系统**（即假设透镜无像差、无限大孔径的理想情况）：

- 透镜的孔径（光瞳）用函数 $P(x, y)$ 表示，在光瞳内 $P=1$，在光瞳外 $P=0$
- 透镜焦距为 $f$，物距为 $d_o$，像距为 $d_i$
- 放大率 $M = -d_i/d_o$（负号表示倒立像）

透镜后焦面上的场分布（即光瞳函数经傅里叶变换后的结果）决定了像面上的 PSF。经过推导（利用菲涅耳衍射和透镜相位调制），得到像面上点光源的复振幅响应为：

$$h(x, y; x_s, y_s) = \frac{1}{\lambda^2 d_i^2} \iint P(\xi, \eta) \exp\left\{-i\frac{2\pi}{\lambda d_i}\left[(x - Mx_s)\xi + (y - My_s)\eta\right]\right\} d\xi d\eta$$

即：

$$h(x, y; x_s, y_s) \propto \mathcal{F}\{P(\xi, \eta)\}\Big|_{f_x = \frac{x-Mx_s}{\lambda d_i}, \, f_y = \frac{y-My_s}{\lambda d_i}}$$

**关键结论：**

- 点扩散函数是**光瞳函数的傅里叶变换**（坐标缩放后）
- PSF 的中心位置在 $(Mx_s, My_s)$，即几何光学预言的理想像点位置
- PSF 的形状完全由光瞳函数的形状决定

**典型例子：**
- 圆形光瞳：PSF 为艾里斑（Airy pattern），振幅分布为 $\frac{2J_1(\rho)}{\rho}$
- 矩形光瞳：PSF 为二维 sinc 函数

##### 3.1.2 衍射受限系统的点扩散函数

**平移不变性的讨论：**

由 3.1.1 的结果可知：

$$h(x, y; x_s, y_s) = h(x - Mx_s, y - My_s)$$

这说明在**等晕区**（isoplanatic region，即物平面上小范围内放大率近似恒定）内，系统是**线性平移不变的**（在像面坐标中）。因此可以用一个统一的 PSF 描述整个系统的响应。

**归一化表示：**

引入归一化坐标，将 PSF 写为：

$$h(x, y) = \frac{1}{\lambda^2 d_i^2} \iint P(\lambda d_i f_x, \lambda d_i f_y) e^{-i 2\pi(f_x x + f_y y)} df_x df_y$$

或者简洁地：

$$h(x, y) = \mathcal{F}\{\mathcal{P}(f_x, f_y)\}$$

其中 $\mathcal{P}$ 是光瞳函数经坐标缩放后的形式。

**像面上任意物场的复振幅分布：**

利用线性平移不变系统的卷积关系，像面上的复振幅分布为：

$$U_i(x, y) = \iint h(x - Mx_s, y - My_s) U_g(x_s, y_s) dx_s dy_s$$

其中 $U_g$ 是几何光学预言的理想像的复振幅（即物场经几何放大后的结果）。

写成卷积形式：

$$U_i(x, y) = U_g(x, y) * h(x, y)$$

**物理意义：**

- 衍射受限系统的像 = 几何理想像 ⊛ 点扩散函数
- 衍射使理想像被"模糊化"，模糊的程度由 PSF 的宽度决定
- PSF 越窄（光瞳越大），像越接近理想像；PSF 越宽（光瞳越小），衍射模糊越严重

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#### 3.2 相干照明下衍射受限系统的成像规律

本节在空间域中总结相干成像系统的成像规律。

**成像公式（空间域）：**

$$U_i(x, y) = \frac{1}{|M|} U_o\left(\frac{x}{M}, \frac{y}{M}\right) * h(x, y)$$

其中：
- $U_o$ 是物面复振幅
- $M$ 是横向放大率
- $h(x, y)$ 是相干点扩散函数（振幅 PSF）

**核心要点：**

1. **相干成像系统对复振幅是线性的**：像面复振幅 = 物面复振幅（几何缩放后）与 PSF 的卷积

2. **光强分布不是线性关系**：像面光强 $I_i = |U_i|^2$，由于取模平方，光强与物面光强之间是非线性关系

3. **分辨率受限**：PSF 的主瓣宽度（如艾里斑半径 $\approx 1.22\lambda f/\# $）决定了系统能分辨的最小细节

4. **相干噪声**：相干照明下可能出现散斑（speckle）和相干噪声条纹，影响成像质量

**与几何光学的关系：**

- 当波长 $\lambda \to 0$ 时，PSF 趋于 δ 函数，卷积退化为恒等操作，恢复几何光学成像
- 有限波长 → 有限光瞳 → 衍射 → PSF 有一定宽度 → 成像模糊

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#### 3.3 衍射受限系统的相干传递函数

##### 3.3.1 相干传递函数

**从空间域到频率域：**

对相干成像的空间域卷积关系 $U_i = U_g * h$ 两边做傅里叶变换：

$$\tilde{U}_i(f_x, f_y) = \tilde{U}_g(f_x, f_y) \cdot H_c(f_x, f_y)$$

其中 $H_c(f_x, f_y) = \mathcal{F}\{h(x, y)\}$ 就是**相干传递函数**（Coherent Transfer Function, **CTF**）。

**CTF 与光瞳函数的关系（核心结论）：**

由 PSF 是光瞳函数的傅里叶变换这一事实，利用傅里叶变换的对偶性：

$$H_c(f_x, f_y) = \mathcal{F}\{\mathcal{F}\{P\}\} = P(-\lambda d_i f_x, -\lambda d_i f_y)$$

即相干传递函数**正比于光瞳函数**（经过坐标缩放和反转）！

**具体形式：**

$$H_c(f_x, f_y) = P(\lambda d_i f_x, \lambda d_i f_y)$$

对于**圆形光瞳**（半径为 $a$）：

$$H_c(f_x, f_y) = \text{cyl}\left(\frac{\sqrt{f_x^2 + f_y^2}}{f_0}\right)$$

其中截止频率：

$$f_0 = \frac{a}{\lambda d_i} = \frac{1}{\lambda}\sin\theta_0$$

$\theta_0$ 是光瞳对像点张的半角。

**CTF 的特点：**

- CTF 在通带内（$f_x^2 + f_y^2 \leq f_0^2$）取值为 1，带外为 0
- 即：低于截止频率的空间频率分量**完全通过**（无振幅和相位失真）；高于截止频率的分量**完全被截止**
- 这是一个**理想低通滤波器**的传递函数
- 截止频率 $f_0$ 由光瞳大小和波长决定

**物理意义：**
- 光学系统像一个低通滤波器，只能传递有限的空间频率带宽
- 物场中高频细节（快速变化的部分）无法通过系统，导致像的模糊
- 增大光瞳（增大孔径）→ 提高截止频率 → 改善分辨率

##### 3.3.2 相干线扩散函数和边缘扩散函数

**线扩散函数（Line Spread Function, LSF）：**

线扩散函数是系统对**理想线光源**（即一维 δ 函数）的响应。在相干照明下，LSF 是点扩散函数沿一个方向的积分：

$$l(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} h(x, y) dy$$

由于 $H_c(f_x, f_y)$ 与光瞳函数直接相关，一维傅里叶变换后可得 LSF 的具体表达式。对于圆形光瞳：

$$l(x) \propto \text{sinc}\left(\frac{2f_0 x}{1}\right) \text{（近似形式，实际涉及特殊函数）}$$

更精确地，LSF 的一维傅里叶变换是 CTF 沿对应方向的截面。

**边缘扩散函数（Edge Spread Function, ESF）：**

边缘扩散函数是系统对**阶跃边缘**（如刀口、半平面遮挡的边界）的响应：

$$E(x) = \int_{-\infty}^{x} l(x') dx'$$

ESF 是 LSF 的积分（累积分布函数）。

**三者的关系：**

$$\text{ESF}(x) \xrightarrow{\text{求导}} \text{LSF}(x) \xrightarrow{\text{一维傅里叶变换}} \text{MTF（一维截面）}$$

即：
- ESF 的导数 = LSF
- LSF 的傅里叶变换 = 传递函数的一维截面

**实验意义：**
- ESF 最容易通过实验测量（拍摄刀口像即可）
- 通过对 ESF 数值求导得到 LSF，再做 FFT 得到 MTF
- 这是实验测量光学系统传递函数的标准方法

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#### 3.4 衍射受限非相干成像系统的传递函数

##### 3.4.1 非相干成像系统的光学传递函数（OTF）

**相干与非相干照明的根本区别：**

- **相干照明**：系统对**复振幅**是线性的，PSF 是振幅响应
- **非相干照明**：系统对**光强**是线性的，PSF 是光强响应（即振幅 PSF 的模平方）

**非相干系统的点扩散函数（光强 PSF）：**

$$h_I(x, y) = |h(x, y)|^2$$

其中 $h(x, y)$ 是相干振幅 PSF。

**光学传递函数（OTF）的定义：**

OTF 是光强 PSF 的归一化傅里叶变换：

$$\mathcal{H}(f_x, f_y) = \frac{\iint |h(x, y)|^2 e^{-i2\pi(f_x x + f_y y)} dx dy}{\iint |h(x, y)|^2 dx dy}$$

归一化使 $\mathcal{H}(0, 0) = 1$（零频传递函数为 1，即直流分量不受影响）。

**OTF 的复数表示：**

$$\mathcal{H}(f_x, f_y) = \text{MTF}(f_x, f_y) \cdot e^{i\phi(f_x, f_y)}$$

其中：
- **MTF**（Modulation Transfer Function，调制传递函数）= $|\mathcal{H}|$，描述各频率成分的对比度衰减
- **PTF**（Phase Transfer Function，相位传递函数）= $\arg(\mathcal{H})$，描述各频率成分的相位位移

**OTF 与 CTF 的关系（自相关定理）：**

$$\mathcal{H}(f_x, f_y) = \frac{\iint P\left(\xi + \frac{\lambda d_i f_x}{2}, \eta + \frac{\lambda d_i f_y}{2}\right) P^*\left(\xi - \frac{\lambda d_i f_x}{2}, \eta - \frac{\lambda d_i f_y}{2}\right) d\xi d\eta}{\iint |P(\xi, \eta)|^2 d\xi d\eta}$$

即：**OTF 是光瞳函数的归一化自相关函数**！

这是一个极其重要的结论，它将非相干成像的传递函数与光瞳函数直接联系起来。

##### 3.4.2 OTF 与 CTF 的关系

**频域关系的严格推导：**

$$\mathcal{H}(f_x, f_y) = \frac{H_c(f_x, f_y) \star H_c(f_x, f_y)}{\text{归一化因子}}$$

即 OTF 是 CTF 的自相关。

更具体地，利用 $H_c = P$（光瞳函数）：

$$\mathcal{H}(f_x, f_y) = \frac{P \star P}{\text{Area}(P)}$$

**两者对比：**

| 特征 | CTF（相干） | OTF（非相干） |
|------|------------|--------------|
| 线性对象 | 复振幅 | 光强 |
| PSF | 振幅 PSF $= \mathcal{F}\{P\}$ | 光强 PSF $= |h|^2$ |
| 传递函数 | 光瞳函数 $P$ | 光瞳函数自相关 $P \star P$ |
| 截止频率 | $f_0$ | $2f_0$（是 CTF 的两倍） |
| 通带特性 | 理想低通（0或1） | 渐进衰减 |

**物理对比：**
- 非相干系统的截止频率是相干系统的**两倍**
- 但非相干系统在所有频率上的 MTF 都 $\leq 1$（对比度总有损失）
- 相干系统在通带内对比度无损失（CTF = 1），但截止频率低

##### 3.4.3 衍射受限的 OTF

**圆形光瞳的 OTF（经典结果）：**

对于半径为 $a$ 的圆形光瞳，OTF 有解析表达式：

$$\mathcal{H}(\rho) = \begin{cases} \frac{2}{\pi}\left[\arccos\left(\frac{\rho}{2f_0}\right) - \frac{\rho}{2f_0}\sqrt{1 - \left(\frac{\rho}{2f_0}\right)^2}\right], & \rho \leq 2f_0 \\ 0, & \rho > 2f_0 \end{cases}$$

其中 $\rho = \sqrt{f_x^2 + f_y^2}$，$f_0 = \frac{a}{\lambda d_i}$ 是相干截止频率。

**OTF 曲线的特征：**

- $\mathcal{H}(0) = 1$（归一化）
- 随频率增加，MTF 单调下降
- 在 $\rho = 2f_0$ 处降为零（截止频率是相干的两倍）
- 曲线呈"拱形"，在中间频率段下降较快

**截止频率的物理意义：**

$$f_{cutoff} = 2f_0 = \frac{2a}{\lambda d_i} = \frac{D}{\lambda d_i}$$

其中 $D = 2a$ 是光瞳直径。用数值孔径（NA）表示：

$$f_{cutoff} = \frac{2\text{NA}}{\lambda}$$

这是**阿贝衍射极限**的数学表达。

**矩形光瞳的 OTF：**

对于矩形光瞳（宽度 $L_x \times L_y$），OTF 是二维三角形函数：

$$\mathcal{H}(f_x, f_y) = \left(1 - \frac{|f_x|}{f_{cx}}\right)\left(1 - \frac{|f_y|}{f_{cy}}\right)$$

在截止频率范围内，否则为 0。

##### 3.4.4 非相干线扩散函数和边缘扩散函数

**非相干 LSF：**

非相干系统的 LSF 是光强 PSF 沿一维的积分：

$$l_I(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} |h(x, y)|^2 dy$$

LSF 的傅里叶变换是 OTF 沿 $f_x$ 轴的截面：

$$\mathcal{F}\{l_I(x)\} = \mathcal{H}(f_x, 0)$$

**非相干 ESF：**

$$E_I(x) = \int_{-\infty}^{x} l_I(x') dx'$$

**与相干情况的对比：**

- 非相干 LSF 总是正的（光强不能为负）
- 相干 LSF 可正可负（振幅有正负）
- 非相干 ESF 是单调递增的 S 形曲线
- 相干 ESF 可能有振荡（振铃效应）

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#### 3.5 有像差系统的传递函数

**像差的引入：**

实际光学系统不可能完全无像差。像差表现为光瞳函数中出现附加的相位畸变：

$$P(x, y) = A(x, y) \cdot e^{i k W(x, y)}$$

其中：
- $A(x, y)$ 是光瞳的振幅透过率（通常为 0 或 1）
- $W(x, y)$ 是**波前像差函数**（Wavefront Aberration），表示实际波前偏离理想球面波的光程差

**常见像差的波前表示：**

- **离焦**：$W = c_1(x^2 + y^2)$
- **球差**：$W = c_2(x^2 + y^2)^2$
- **彗差**：$W = c_3(x^2 + y^2)y$
- **像散**：$W = c_4(x^2 - y^2)$

**有像差时的 CTF：**

$$H_c(f_x, f_y) = P(\lambda d_i f_x, \lambda d_i f_y) = A \cdot e^{ikW}$$

像差不影响 CTF 的模（仍为 0 或 1），但引入了**相位畸变**。

**有像差时的 OTF：**

$$\mathcal{H}(f_x, f_y) = \frac{\iint P\left(\xi + \frac{\Delta}{2}\right) P^*\left(\xi - \frac{\Delta}{2}\right) d\xi}{\iint |P(\xi)|^2 d\xi}$$

$$= \frac{\iint A\left(\xi + \frac{\Delta}{2}\right) A\left(\xi - \frac{\Delta}{2}\right) e^{ik[W(\xi+\frac{\Delta}{2}) - W(\xi-\frac{\Delta}{2})]} d\xi}{\iint A^2(\xi) d\xi}$$

**像差对 OTF 的影响（核心结论）：**

1. **MTF 下降**：像差使 MTF 在所有频率上都降低，尤其在中高频段下降更严重
2. **可能出负值**：严重像差时，MTF 可能出现负值（对比度反转，即亮变暗、暗变亮）
3. **截止频率不变**：像差不改变截止频率（几何参数决定），但使实际有效带宽大大降低
4. **最佳焦点偏移**：存在像差时，最佳像面不一定在几何焦点处（如球差引起的焦移）

**斯特列尔比（Strehl Ratio）：**

$$S = \frac{\text{有像差时像面中心光强}}{\text{无像差时像面中心光强}}$$

瑞利判据：$S \geq 0.8$ 时系统可认为"衍射受限"（接近理想）。对应波前误差 RMS 值 $\leq \lambda/14$。

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#### 3.6 相干与非相干成像系统的比较

##### 3.6.1 截止频率

**相干系统截止频率：**

$$f_{coh} = f_0 = \frac{a}{\lambda d_i} = \frac{\text{NA}}{\lambda}$$

**非相干系统截止频率：**

$$f_{incoh} = 2f_0 = \frac{2a}{\lambda d_i} = \frac{2\text{NA}}{\lambda}$$

**结论：非相干系统的截止频率是相干系统的两倍。**

但需要注意：
- 截止频率高 $\neq$ 成像质量一定好
- 相干系统在通带内 MTF = 1（无对比度损失），而非相干系统在所有频率上 MTF < 1
- 在接近截止频率处，非相干系统的 MTF 已非常小，实际可分辨的频率可能并不比相干系统高太多

##### 3.6.2 像强度的频谱

**相干成像：**

像面光强：
$$I_i = |U_i|^2 = |U_g * h|^2$$

对光强做傅里叶变换：
$$\mathcal{F}\{I_i\} = \mathcal{F}\{|U_g * h|^2\} = [\tilde{U}_g \cdot H_c] * [\tilde{U}_g \cdot H_c]^*$$

光强的频谱是复振幅频谱的自相关，存在**频率混叠**效应。即使物的频谱在 CTF 通带内，像的光强频谱也可能超出通带。

**非相干成像：**

像面光强：
$$I_i = I_g * h_I$$

频谱：
$$\mathcal{F}\{I_i\} = \tilde{I}_g \cdot \mathcal{H}$$

光强频谱就是物的光强频谱乘以 OTF，关系简洁清晰。

**关键区别：**

- 非相干成像：光强传递是线性的，频谱关系简单
- 相干成像：光强传递是非线性的，存在交叉项和频率混叠
- 因此，相干成像中可能出现"虚假频率"（物的光强频谱中不存在的频率出现在像中）

##### 3.6.3 两点分辨

**瑞利判据（Rayleigh Criterion）：**

两个点光源刚好可分辨的条件：一个点的 PSF 主峰恰好落在另一个点的第一暗环（第一零点）上。

**相干照明下的两点分辨：**

对于圆形光瞳，艾里斑第一暗环半径：
$$r_1 = 1.22 \frac{\lambda d_i}{2a} = 0.61 \frac{\lambda}{\text{NA}}$$

但相干照明下，两点之间的相对相位关系影响分辨结果：
- 两点同相：分辨能力与非相干接近
- 两点反相：两点之间出现暗谷，反而更容易分辨
- 两点相位随机（部分相干）：介于两者之间

**非相干照明下的两点分辨：**

瑞利距离（像面）：
$$\Delta r = 1.22 \frac{\lambda d_i}{D} = 0.61 \frac{\lambda}{\text{NA}}$$

物面最小可分辨距离：
$$\Delta r_{obj} = \frac{0.61 \lambda}{\text{NA}}$$

**阿贝分辨极限：**
$$d_{min} = \frac{\lambda}{2\text{NA}}$$

**对比：**
- 非相干照明的分辨率略优于相干照明（约 1.22 倍）
- 但在实际中差异不大，两者都受衍射极限约束

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#### 3.7 超越经典衍射极限的分辨率问题

##### 3.7.1 超分辨存在的理论依据

**经典衍射极限的假设前提：**

阿贝/瑞利分辨极限的推导基于以下假设：
1. 光瞳是理想低通滤波器（通带内传递函数恒为常数）
2. 物是任意未知的（无先验信息）
3. 系统是线性平移不变的
4. 忽略噪声

**超分辨的理论可能性：**

**信息论角度（托里内利-卢基定理）：**

有限尺寸的光瞳 → 有限空间带宽积 → 系统传输的**自由度数量有限**。但以下条件下可以"突破"经典极限：

1. **物体具有先验约束**：如果物不是任意的（如已知是二值的、有限的、稀疏的），则所需自由度减少，可以在有限带宽内恢复更细致的信息

2. **光瞳函数的非常规设计**：在通带内，传递函数不是平坦的，可以通过后期处理补偿（如振幅变迹、相位编码）

3. **利用倏逝波（近场）**：经典极限只考虑传播波；倏逝波携带更高空间频率信息，但只在近场（距离 < λ）存在

4. **非线性效应**：饱和荧光、双光子吸收等非线性过程等效于扩展了有效带宽

**数学表述（解析延拓）：**

如果物的空间范围是有限的（紧支撑），则其频谱是解析函数。理论上，已知通带内的频谱可以唯一延拓到通带外（虽然实际操作中受噪声限制）。

**超分辨≠违反物理定律：**

超分辨不是"违反衍射极限"，而是在特定条件下通过额外信息或特殊手段，获得比经典瑞利判据更高的分辨率。本质上是"用其他资源换取分辨率"。

##### 3.7.2 常用超分辨方法简介

**方法一：近场光学显微术（NSOM/SNOM）**

- 原理：利用倏逝波（evanescent wave），将探测器（光纤探针）放置在距样品 $\ll \lambda$ 的近场区域
- 分辨率：可达 $\lambda/20$ 甚至更高
- 局限：只能对表面成像，工作距离极短

**方法二：受激发射损耗显微术（STED）**

- 原理：用一束激发光激发荧光，同时用一束环形损耗光（donut beam）使外围荧光分子回到基态，等效缩小有效发光区域
- 分辨率：可达 $\lambda/10$（约 20-30 nm）
- 2014年诺贝尔化学奖（Hell, Betzig, Moerner）

**方法三：结构光照明显微术（SIM）**

- 原理：用已知空间频率的条纹光照明样品，产生莫尔条纹（拍频），将高频信息"搬移"到系统通带内
- 分辨率：提高约 2 倍
- 优点：可三维成像，兼容常规荧光染料

**方法四：单分子定位显微术（PALM/STORM）**

- 原理：利用荧光分子的稀疏激活和精确定位（单分子中心定位精度可达几纳米），逐个分子定位后重构
- 分辨率：可达 10-20 nm
- 本质：时间换空间（需要大量帧累积）

**方法五：光瞳工程（Pupil Engineering）**

- 原理：在光瞳面上插入特殊相位板（如涡旋相位板、环形光瞳），改变 PSF 形状
- 效果：可以压窄 PSF 主瓣（代价是旁瓣增大），或者使 PSF 对离焦不敏感（扩展焦深）
- 应用：超振荡透镜（Super-oscillatory lens）

**方法六：4Pi 显微术**

- 原理：两个物镜从两侧对同一焦点相干照明/探测，等效增大数值孔径
- 轴向分辨率：提高约 7 倍

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### 第4章 部分相干理论

前几章讨论的都是理想化的极端情况：完全相干光（如理想激光）和完全非相干光（如热光源经充分散射后）。然而，**实际光源大多介于两者之间**——既非完全相干，也非完全非相干，而是**部分相干**的。本章从统计光学的角度，建立描述部分相干光场的严格理论框架。

**本章核心问题：**
- 如何定量描述光的"相干程度"？
- 相干性如何影响干涉、衍射和成像？
- 光源的大小和光谱宽度如何决定相干性？

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#### 4.1 多色光场的解析信号表示

##### 4.1.1 单色信号的复表示

**实信号与复表示的关系：**

实际测量的光场是实数电场：

$$V^{(r)}(t) = a \cos(2\pi\nu_0 t - \phi)$$

引入**解析信号**（Analytic Signal），将实信号扩展为复信号：

$$V(t) = V^{(r)}(t) + i V^{(i)}(t) = a e^{i(2\pi\nu_0 t - \phi)}$$

其中虚部 $V^{(i)}(t)$ 是实部的**希尔伯特变换**：

$$V^{(i)}(t) = \mathcal{H}\{V^{(r)}(t)\} = \frac{1}{\pi} \text{P.V.} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{V^{(r)}(\tau)}{t - \tau} d\tau$$

（P.V. 表示柯西主值积分）

**频域理解：**

对实信号做傅里叶变换，频谱关于原点对称（包含正负频率）。解析信号的频谱：

$$\tilde{V}(\nu) = \begin{cases} 2\tilde{V}^{(r)}(\nu), & \nu > 0 \\ 0, & \nu < 0 \end{cases}$$

即：解析信号**只保留正频率分量**，负频率被滤除，正频率幅度加倍。

**物理意义：**
- 对于单色光，解析信号的模 $|V(t)| = a$ 是常数（振幅包络）
- 解析信号的幅角 $\arg V(t) = 2\pi\nu_0 t - \phi$ 是瞬时相位
- 光强 $I = \langle |V(t)|^2 \rangle$（时间平均）

##### 4.1.2 多色信号的复表示

**多色（非单色）光场的解析信号：**

实际光场不是严格单色的，而是有一定频谱宽度的多色场：

$$V^{(r)}(t) = \int_0^{+\infty} a(\nu) \cos[2\pi\nu t - \phi(\nu)] d\nu$$

其解析信号为：

$$V(t) = \int_0^{+\infty} a(\nu) e^{i[2\pi\nu t - \phi(\nu)]} d\nu = \int_0^{+\infty} \tilde{V}(\nu) e^{i 2\pi\nu t} d\nu$$

**准单色光（Quasi-monochromatic light）：**

如果频谱集中在中心频率 $\bar{\nu}$ 附近，频谱宽度 $\Delta\nu \ll \bar{\nu}$，则称为准单色光。此时解析信号可写为：

$$V(t) = A(t) e^{i[2\pi\bar{\nu}t - \Phi(t)]}$$

其中：
- $A(t)$ 是慢变的振幅包络
- $\Phi(t)$ 是慢变的相位
- "慢变"的含义：$A(t)$ 和 $\Phi(t)$ 在光频周期 $1/\bar{\nu}$ 内几乎不变

**光强的定义：**

$$I = \langle V^{(r)2}(t) \rangle_t = \frac{1}{2} \langle |V(t)|^2 \rangle = \frac{1}{2} \langle A^2(t) \rangle$$

对于平稳过程（统计特性不随时间平移而改变），时间平均等于系综平均。

**互强度（Mutual Intensity）的引入动机：**

单点的解析信号只能描述一个位置的光场。要描述**两点之间的相干关系**，需要引入两点在不同时刻的相关函数——这就是互相干函数。

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#### 4.2 互相干函数

##### 4.2.1 互相干函数

**互相干函数的定义：**

对于空间中两点 $P_1$ 和 $P_2$，互相干函数定义为：

$$\Gamma_{12}(\tau) = \langle V_1(t + \tau) V_2^*(t) \rangle = \langle V(P_1, t+\tau) V^*(P_2, t) \rangle$$

其中：
- $\tau$ 是两点之间的时间延迟
- $V_1 = V(P_1, t)$，$V_2 = V(P_2, t)$
- 角括号表示时间平均（或系综平均）

**自相干函数：**

当 $P_1 = P_2$ 时：

$$\Gamma_{11}(\tau) = \langle V_1(t + \tau) V_1^*(t) \rangle$$

自相干函数衡量同一位置不同时刻的场的自我相关程度。

**归一化互相干函数（复相干度）：**

$$\gamma_{12}(\tau) = \frac{\Gamma_{12}(\tau)}{\sqrt{\Gamma_{11}(0) \Gamma_{22}(0)}} = \frac{\Gamma_{12}(\tau)}{\sqrt{I_1 I_2}}$$

其中 $I_1 = \Gamma_{11}(0)$，$I_2 = \Gamma_{22}(0)$ 分别是两点的光强。

**复相干度的性质：**

- $|\gamma_{12}(\tau)| \leq 1$（由柯西-施瓦茨不等式保证）
- $|\gamma_{12}| = 1$：完全相干
- $0 < |\gamma_{12}| < 1$：部分相干
- $|\gamma_{12}| = 0$：完全不相干
- $\gamma_{12}(\tau) = \gamma_{21}^*(-\tau)$（厄米对称性）

**干涉实验中的物理意义：**

在杨氏双孔干涉实验中，两孔处的光场分别为 $V_1$ 和 $V_2$，观察屏上某点的光强为：

$$I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cdot \text{Re}\{\gamma_{12}(\tau) e^{-i 2\pi\bar{\nu}\tau}\}$$

$$= I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cdot |\gamma_{12}(\tau)| \cos[2\pi\bar{\nu}\tau - \arg\gamma_{12}(\tau)]$$

**干涉条纹可见度（对比度）：**

$$\mathcal{V} = \frac{I_{max} - I_{min}}{I_{max} + I_{min}} = \frac{2\sqrt{I_1 I_2}}{I_1 + I_2} |\gamma_{12}(\tau)|$$

当 $I_1 = I_2$ 时：

$$\mathcal{V} = |\gamma_{12}(\tau)|$$

**核心结论：归一化互相干函数的模 $|\gamma_{12}|$ 直接等于干涉条纹的可见度！** 这是相干性最有物理意义的诠释。

##### 4.2.2 互相干函数的谱表示

**互功率谱密度（Cross-Spectral Density）：**

对互相干函数做傅里叶变换：

$$W_{12}(\nu) = \int_{-\infty}^{+\infty} \Gamma_{12}(\tau) e^{i 2\pi\nu\tau} d\tau$$

$W_{12}(\nu)$ 称为互功率谱密度（或互谱密度），表示两点之间在频率 $\nu$ 处的交叉功率分布。

**维纳-辛钦定理（Wiener-Khinchin Theorem）：**

对于单个点（自相干函数）：

$$S(\nu) = \int_{-\infty}^{+\infty} \Gamma_{11}(\tau) e^{i 2\pi\nu\tau} d\tau$$

即：**光功率谱是自相干函数的傅里叶变换**。

- $\Gamma_{11}(\tau)$ 和 $S(\nu)$ 构成傅里叶变换对
- 自相干函数在时域的宽度 $\leftrightarrow$ 功率谱在频域的宽度（不确定性关系）

**互谱密度的性质：**

- $W_{12}(\nu) = W_{21}^*(\nu)$
- $W_{11}(\nu) = S(\nu) \geq 0$（自谱密度始终非负）
- $|W_{12}(\nu)|^2 \leq W_{11}(\nu) W_{22}(\nu)$

**谱相干度：**

$$\mu_{12}(\nu) = \frac{W_{12}(\nu)}{\sqrt{S_1(\nu) S_2(\nu)}}$$

描述在特定频率 $\nu$ 处两点之间的相干程度。

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#### 4.3 时间相干性

##### 4.3.1 时间相干性

**时间相干性的物理来源：**

实际光源不是严格单色的，有一定的频谱宽度 $\Delta\nu$。不同频率成分的叠加导致场的相位随时间随机漂移，使得场在不同时刻的相关性逐渐降低。

**迈克尔逊干涉仪中的时间相干性：**

在迈克尔逊干涉仪中，一束光被分成两束，经不同路径后再合束干涉。两臂光程差为 $\Delta L$，对应时间延迟 $\tau = \Delta L / c$。

干涉条纹可见度：

$$\mathcal{V}(\tau) = |\gamma_{11}(\tau)| = \frac{|\Gamma_{11}(\tau)|}{\Gamma_{11}(0)}$$

**洛伦兹线型光谱的例子：**

如果光源的光谱为洛伦兹线型：

$$S(\nu) = \frac{S_0}{1 + \left(\frac{\nu - \bar{\nu}}{\Delta\nu/2}\right)^2}$$

则自相干函数为：

$$\Gamma_{11}(\tau) = I_0 e^{-\pi\Delta\nu|\tau|} e^{i 2\pi\bar{\nu}\tau}$$

$$|\gamma_{11}(\tau)| = e^{-\pi\Delta\nu|\tau|}$$

可见度随延迟指数衰减，衰减速率由谱宽 $\Delta\nu$ 决定。

**高斯线型光谱的例子：**

$$S(\nu) = S_0 \exp\left[-\frac{(\nu - \bar{\nu})^2}{2(\Delta\nu)^2}\right]$$

$$|\gamma_{11}(\tau)| = \exp\left[-2\pi^2(\Delta\nu)^2\tau^2\right]$$

可见度随延迟高斯衰减。

**核心结论：**
- 光谱越宽（$\Delta\nu$ 越大），$|\gamma_{11}(\tau)|$ 衰减越快，时间相干性越差
- 光谱越窄（如激光），$|\gamma_{11}(\tau)|$ 衰减越慢，时间相干性越好
- 单色光（$\Delta\nu \to 0$）的时间相干性为无限长

##### 4.3.2 相干时间

**相干时间的定义：**

相干时间 $\tau_c$ 是衡量时间相干性"持续多久"的特征时间，有几种等价的定义方式：

**定义一（半高宽定义）：**

$$|\gamma_{11}(\tau_c)| = \frac{1}{2} \quad \text{或} \quad \frac{1}{e}$$

**定义二（积分定义）：**

$$\tau_c = \int_{-\infty}^{+\infty} |\gamma_{11}(\tau)|^2 d\tau$$

**定义三（等效矩形宽度）：**

将 $|\gamma_{11}(\tau)|^2$ 曲线下的面积等效为一个矩形的面积，矩形的宽度即为 $\tau_c$。

**相干长度的定义：**

$$L_c = c \cdot \tau_c$$

即光在相干时间内传播的距离。

**相干时间与谱宽的关系：**

对于洛伦兹线型：

$$\tau_c \approx \frac{1}{\pi\Delta\nu}$$

对于高斯线型：

$$\tau_c \approx \frac{1}{\Delta\nu}$$

一般近似关系：

$$\tau_c \cdot \Delta\nu \sim 1$$

**相干长度与谱宽的关系：**

$$L_c = \frac{c}{\Delta\nu} = \frac{\lambda^2}{\Delta\lambda}$$

（利用 $\Delta\nu/\nu = \Delta\lambda/\lambda$）

**典型数值：**

| 光源 | $\Delta\lambda$ | $L_c$ |
|------|:---:|:---:|
| 白光 | ~300 nm | ~1 μm |
| 钠灯 | ~0.1 nm | ~3 mm |
| 单模激光 | ~10⁻⁶ nm | ~数百米 |

##### 4.3.3 傅里叶变换光谱术

**基本原理：**

由维纳-辛钦定理，光谱 $S(\nu)$ 和自相干函数 $\Gamma_{11}(\tau)$ 构成傅里叶变换对。因此，可以通过测量 $\Gamma_{11}(\tau)$（即测量不同光程差下的干涉条纹可见度），再做傅里叶变换来**间接获得光谱**。

**迈克尔逊干涉仪方案：**

1. 改变干涉仪一臂的长度，扫描光程差 $\Delta L$
2. 记录每个光程差下干涉条纹的可见度 $\mathcal{V}(\Delta L)$
3. $\mathcal{V}(\Delta L) = |\gamma_{11}(\Delta L/c)|$
4. 对测量数据进行傅里叶变换，得到光谱 $S(\nu)$

**优点：**
- 高通量（Fellgett 优点）：不需要狭缝，所有光都参与测量
- 多通道（Jacquinot 优点）：同时测量所有光谱分量
- 高分辨率：分辨率由最大光程差决定

**应用：**
- 傅里叶变换红外光谱仪（FTIR）
- 天文光谱测量
- 气体成分分析

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#### 4.4 空间相干性

**空间相干性的物理来源：**

光源不是理想点源，而是有**有限大小**的扩展光源。光源上不同点发出的光彼此不相干，它们在观察面上叠加后，会降低空间两点之间的相干度。

**杨氏双孔实验中的空间相干性：**

光源为扩展光源（尺寸 $b$），距离双孔平面为 $R$，双孔间距为 $d$。

- 光源上不同点产生的干涉条纹有不同的空间位置（因为入射角不同）
- 所有条纹叠加后，总可见度降低
- 当光源宽度 $b$ 满足 $b \cdot d/R \approx \lambda$ 时，可见度降为零

**范西泰特-策尼克定理（Van Cittert-Zernike Theorem）：**

这是空间相干性的核心定理（详见4.7节）：

**远场近似下，扩展非相干光源产生的光场，其空间相干度等于光源强度分布的归一化傅里叶变换。**

数学表述：

$$\gamma_{12}(0) = \frac{\iint I(\xi, \eta) e^{-i 2\pi(f_x \xi + f_y \eta)} d\xi d\eta}{\iint I(\xi, \eta) d\xi d\eta}$$

其中 $f_x = \frac{x_1 - x_2}{\lambda R}$，$f_y = \frac{y_1 - y_2}{\lambda R}$。

**物理意义：**
- 光源越大 → 傅里叶变换越窄 → 空间相干区域越小
- 光源越小 → 傅里叶变换越宽 → 空间相干区域越大
- 点光源 → 完全空间相干

**横向相干宽度：**

对于角直径为 $\theta$ 的圆形均匀光源：

$$d_c \approx \frac{\lambda}{\theta}$$

这是空间中横向两点能保持显著相干性的最大距离。

**典型例子——太阳：**

太阳的角直径 $\theta \approx 0.5°$，在可见光波段（$\lambda \approx 500$ nm）：

$$d_c \approx \frac{500 \times 10^{-9}}{0.5 \times \pi/180} \approx 6 \, \mu\text{m}$$

所以太阳光的横向相干宽度只有约 6 μm。这就是为什么普通太阳光下看不到杨氏双缝干涉条纹（双缝间距远大于 6 μm）。

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#### 4.5 在准单色条件下的干涉

**准单色条件：**

$$\Delta\nu \ll \bar{\nu} \quad \text{即} \quad \Delta\lambda \ll \bar{\lambda}$$

此时光场的相干时间 $\tau_c \gg 1/\bar{\nu}$（一个光频周期）。

**准单色近似下的互相干函数：**

$$\Gamma_{12}(\tau) \approx J_{12} \cdot e^{i 2\pi\bar{\nu}\tau}$$

其中 $J_{12} = \Gamma_{12}(0)$ 称为**互强度**（Mutual Intensity）。

**互强度的物理意义：**

互强度 $J_{12}$ 描述同一时刻（$\tau = 0$）空间两点 $P_1$ 和 $P_2$ 之间的相干关系，是空间相干性的核心量。

**归一化互强度：**

$$\mu_{12} = \frac{J_{12}}{\sqrt{J_{11} J_{22}}} = \frac{J_{12}}{\sqrt{I_1 I_2}}$$

在准单色条件下，$|\mu_{12}|$ 直接决定干涉条纹的可见度。

**准单色干涉公式：**

$$I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cdot |\mu_{12}| \cos[2\pi\bar{\nu}\tau - \arg\mu_{12}]$$

**结论：**
- $|\mu_{12}|$ 决定条纹可见度
- $\arg\mu_{12}$ 决定条纹位置（相位偏移）
- 准单色近似下，时间延迟 $\tau$ 只出现在快速振荡的载波相位中，包络 $|\mu_{12}|$ 与 $\tau$ 无关

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#### 4.6 准单色光的传播和衍射

##### 4.6.1 互相干的传播

**问题陈述：**

已知光源平面上的互强度 $J(\xi_1, \eta_1; \xi_2, \eta_2)$，求传播到观察面上的互强度 $J(x_1, y_1; x_2, y_2)$。

**传播公式（准单色近似）：**

$$J(x_1, y_1; x_2, y_2) = \iiiint J(\xi_1, \eta_1; \xi_2, \eta_2) \cdot h(\xi_1, \eta_1; x_1, y_1) \cdot h^*(\xi_2, \eta_2; x_2, y_2) d\xi_1 d\eta_1 d\xi_2 d\eta_2$$

其中 $h$ 是从光源面到观察面的脉冲响应（球面波的复振幅）。

**物理意义：**

- 互强度的传播是**双线性变换**（与两个源点和两个观察点都有关）
- 相干光的传播是线性变换（单点→单点），而非相干光的传播也是线性变换（光强→光强）
- 但部分相干光的传播涉及四点关系，数学上更复杂

**自由空间传播的具体形式：**

$$J(x_1, y_1; x_2, y_2) = \left(\frac{1}{\lambda z}\right)^2 \iint J(\xi_1, \eta_1; \xi_2, \eta_2) \frac{e^{ik(r_1 - r_2)}}{r_1 r_2} \cos\theta_1 \cos\theta_2 d\xi_1 d\eta_1 d\xi_2 d\eta_2$$

其中 $r_1 = \sqrt{z^2 + (x_1-\xi_1)^2 + (y_1-\eta_1)^2}$，$r_2$ 类似。

##### 4.6.2 薄透明物体对互强度的影响

**薄透明物体的透过率函数：**

$$t(x, y) = A(x, y) e^{i\phi(x, y)}$$

**透过物体后互强度的变化：**

$$J'(x_1, y_1; x_2, y_2) = t(x_1, y_1) \cdot t^*(x_2, y_2) \cdot J(x_1, y_1; x_2, y_2)$$

**物理意义：**
- 物体在每点引入的振幅和相位调制分别作用于互强度的两个空间变量
- 这与相干光的情况（$U' = t \cdot U$）和非相干光的情况（$I' = |t|^2 \cdot I$）都不同
- 当物体是纯相位物体时（$A=1$），$J' = e^{i[\phi(x_1,y_1) - \phi(x_2,y_2)]} J$，互强度的模不变，但相位被调制

##### 4.6.3 部分相干光的衍射

**部分相干光通过衍射孔径：**

考虑部分相干光入射到孔径 $P(x, y)$ 上，衍射后的光强分布为：

$$I(x, y) = J(x, y; x, y) = \iint J_0(\xi_1, \eta_1; \xi_2, \eta_2) \cdot h(\xi_1, \eta_1; x, y) \cdot h^*(\xi_2, \eta_2; x, y) d\xi_1 d\eta_1 d\xi_2 d\eta_2$$

**两种极限情况：**

**完全相干极限：**

$$J_0(\xi_1, \eta_1; \xi_2, \eta_2) = U_0(\xi_1, \eta_1) U_0^*(\xi_2, \eta_2)$$

$$I(x, y) = \left|\int U_0(\xi, \eta) h(\xi, \eta; x, y) d\xi d\eta\right|^2$$

即：先叠加振幅再取模平方。

**完全非相干极限：**

$$J_0(\xi_1, \eta_1; \xi_2, \eta_2) = I_0(\xi_1, \eta_1) \delta(\xi_1 - \xi_2, \eta_1 - \eta_2)$$

$$I(x, y) = \int I_0(\xi, \eta) |h(\xi, \eta; x, y)|^2 d\xi d\eta$$

即：直接叠加光强。

**部分相干的一般情况：**

介于两者之间，既不是振幅叠加也不是光强叠加，而需要用互强度严格计算。

**Wolf方程：**

互强度满足波动方程：

$$\nabla_1^2 J(\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2) + k^2 J(\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2) = 0$$

$$\nabla_2^2 J(\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2) + k^2 J(\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2) = 0$$

这表明互相干函数本身也满足波动方程（对每个坐标变量分别满足）。

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#### 4.7 范西泰特-策尼克定理

##### 4.7.1 范西泰特-策尼克定理

**定理表述：**

一个准单色的**空间非相干**扩展光源，在远场（或经过透镜在焦面上）产生的光场，其空间复相干度 $\mu_{12}$ 等于光源强度分布的**归一化傅里叶变换**。

**数学公式：**

设光源面坐标为 $(\xi, \eta)$，光源强度分布为 $I(\xi, \eta)$。观察面上两点 $P_1(x_1, y_1)$ 和 $P_2(x_2, y_2)$，距离光源面为 $z$。

则：

$$\mu(x_1, y_1; x_2, y_2) = \frac{\iint I(\xi, \eta) e^{-i 2\pi\left[\frac{(x_2-x_1)\xi + (y_2-y_1)\eta}{\lambda z}\right]} d\xi d\eta}{\iint I(\xi, \eta) d\xi d\eta}$$

即：

$$\mu(\Delta x, \Delta y) = \frac{\mathcal{F}\{I(\xi, \eta)\}\Big|_{f_x = \frac{\Delta x}{\lambda z}, \, f_y = \frac{\Delta y}{\lambda z}}}{\mathcal{F}\{I(\xi, \eta)\}\Big|_{f_x=0, f_y=0}}$$

其中 $\Delta x = x_2 - x_1$，$\Delta y = y_2 - y_1$。

**推导要点：**

1. 光源是空间非相干的 → 光源面上互强度 $J_0(\xi_1, \eta_1; \xi_2, \eta_2) = I(\xi_1, \eta_1) \delta(\xi_1-\xi_2, \eta_1-\eta_2)$
2. 利用互强度的传播公式
3. 在远场近似下，相位因子中的距离差可线性化
4. 最终得到傅里叶变换关系

**核心物理意义：**

| 光源特性 | 决定 | 相干特性 |
|----------|------|----------|
| 光源的**强度分布** | → | 空间**相干度**的分布 |
| 光源越**小** | → | 相干区域越**大** |
| 光源越**大** | → | 相干区域越**小** |

这一定理建立了**光源空间结构**与**光场空间相干性**之间的精确对应关系。

**与光学成像的类比：**

范西泰特-策尼克定理在数学形式上与夫琅禾费衍射公式完全相同！

- 夫琅禾费衍射：孔径的傅里叶变换 → 衍射图样的振幅分布
- 范西泰特-策尼克：光源的傅里叶变换 → 相干度的分布

这种数学上的对偶性体现了傅里叶光学中"空间域-频率域"对应关系的普适性。

##### 4.7.2 相干面积

**相干面积的定义：**

相干面积 $A_c$ 是观察面上两点之间能保持显著相干性的区域面积。

对于圆形光源（角半径 $\theta_0$）：

$$A_c \approx \pi \left(\frac{\lambda}{\pi\theta_0}\right)^2 = \frac{\lambda^2}{\pi\theta_0^2}$$

更一般地，相干面积与光源立体角 $\Omega$ 的关系：

$$A_c \approx \frac{\lambda^2}{\Omega}$$

**相干面积与相干体积：**

将时间相干性和空间相干性结合起来：

**相干体积：**

$$V_c = A_c \cdot L_c \approx \frac{\lambda^2}{\Omega} \cdot \frac{\lambda^2}{\Delta\lambda}$$

相干体积内的光子（或光场模式）彼此相干。

**相干体积的物理意义：**
- 热光源（如白炽灯）的相干体积很小（~几个波长立方）
- 激光的相干体积很大（可达宏观尺度）
- 相干体积决定了光场的**模式数**：$N = V/V_c$

##### 4.7.3 均匀圆形光源

**具体计算：**

对于均匀亮度的圆形光源（半径 $a$，距离 $z$），光源强度分布为：

$$I(\xi, \eta) = I_0 \cdot \text{cyl}\left(\frac{\sqrt{\xi^2 + \eta^2}}{a}\right)$$

其傅里叶变换（利用圆柱对称性）：

$$\mathcal{F}\{I\} = I_0 \cdot \pi a^2 \cdot \frac{2J_1(\rho)}{\rho}$$

其中 $\rho = \frac{2\pi a}{\lambda z} r = \frac{2\pi a}{\lambda z}\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$。

**归一化相干度：**

$$|\mu(\Delta r)| = \left|\frac{2J_1(\rho)}{\rho}\right|$$

**特征值：**

- 第一个零点：$\rho = 3.832$，对应：

$$\Delta r_0 = 1.22 \frac{\lambda z}{2a} = 0.61 \frac{\lambda}{\theta_0}$$

（$\theta_0 = a/z$ 是光源的角半径）

- 这个公式与圆孔衍射的艾里斑半径公式形式完全相同！

**物理解读：**

- 两点间距 $< 0.61\lambda/\theta_0$：显著相干（可产生高可见度干涉条纹）
- 两点间距 $= 0.61\lambda/\theta_0$：相干度第一次降为零
- 两点间距更大：相干度振荡衰减

**星体角直径的测量（迈克耳孙星体干涉仪）：**

迈克耳孙利用上述原理测量恒星的角直径：
- 用双孔干涉仪观察星光，逐渐增大双孔间距
- 当干涉条纹可见度第一次降为零时，双孔间距 $d = 1.22\lambda/\theta$
- 由此可反推出恒星的角直径 $\theta = 1.22\lambda/d$
- 1920年，迈克耳孙首次测得参宿四（Betelgeuse）的角直径

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#### 4.8 部分相干光场中透镜的傅里叶变换性质

**问题背景：**

第2章中透镜的傅里叶变换性质是在完全相干光条件下推导的。本节讨论：在部分相干照明下，透镜是否仍然具有傅里叶变换性质？

**核心结论：**

在部分相干照明下，透镜的**后焦面上的光强分布**不再简单地等于物面光强的傅里叶变换。而是需要更复杂的处理。

**互强度通过透镜的变换：**

$$J'(\xi_1, \eta_1; \xi_2, \eta_2) = t_l(\xi_1, \eta_1) t_l^*(\xi_2, \eta_2) J(\xi_1, \eta_1; \xi_2, \eta_2)$$

其中 $t_l(x, y) = e^{-i\frac{k}{2f}(x^2+y^2)}$ 是透镜的透过率函数。

**后焦面上的互强度：**

经过传播到后焦面的计算，在满足特定条件下（物紧贴透镜），后焦面上的互强度为：

$$J_f(u_1, v_1; u_2, v_2) \propto \iint J_0(\xi_1, \eta_1; \xi_2, \eta_2) e^{-i\frac{k}{f}(u_1\xi_1 - u_2\xi_2 + v_1\eta_1 - v_2\eta_2)} \times e^{-i\frac{k}{2f}(\xi_1^2 - \xi_2^2 + \eta_1^2 - \eta_2^2)} d\xi_1 d\eta_1 d\xi_2 d\eta_2$$

**特殊情况——完全相干照明：**

$J_0 = U_0(\xi_1)U_0^*(\xi_2)$，上式退化为：

$$I_f(u, v) \propto |\mathcal{F}\{U_0\}|^2$$

恢复经典结论：焦面光强 = 物面振幅频谱的模平方。

**特殊情况——完全非相干照明：**

$J_0 = I_0(\xi)\delta(\xi_1-\xi_2)$，得到：

$$I_f(u, v) = \text{常数}$$

（均匀光强分布，不携带物的结构信息——这解释了为什么非相干照明下，物紧贴透镜时在焦面上得不到物的频谱信息）

**实际有用的配置：**

要使透镜在部分相干照明下仍能在焦面上获得有意义的频谱信息，需要：
- 使用**准相干照明**（相干面积远大于物的特征尺寸）
- 或者将物放在透镜**前焦面**上（而非紧贴透镜）

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#### 4.9 部分相干成像

**成像系统的互强度传递：**

对于相干成像系统，像面复振幅 = 物面复振幅 ⊛ 振幅PSF。

对于非相干成像系统，像面光强 = 物面光强 ⊛ 光强PSF。

对于部分相干成像系统，需要用互强度描述：

$$J_i(x_1, y_1; x_2, y_2) = \iiiint J_o(\xi_1, \eta_1; \xi_2, \eta_2) \cdot K(\xi_1, \eta_1; x_1, y_1) \cdot K^*(\xi_2, \eta_2; x_2, y_2) d\xi_1 d\eta_1 d\xi_2 d\eta_2$$

其中 $K$ 是成像系统的振幅脉冲响应（四点函数）。

**透射交叉系数（Transmission Cross-Coefficient, TCC）：**

Hopkins 引入 TCC 函数来描述部分相干成像：

$$TCC(f_x', f_y'; f_x'', f_y'') = \iint S(f_x, f_y) \cdot H_c(f_x+f_x', f_y+f_y') \cdot H_c^*(f_x+f_x'', f_y+f_y'') df_x df_y$$

其中 $S(f_x, f_y)$ 是照明光源的频谱（有效光源分布），$H_c$ 是系统的相干传递函数。

**像的光强频谱：**

$$\tilde{I}_i(f_x, f_y) = \iint TCC(f_x', f_y'; f_x'+f_x, f_y'+f_y) \cdot \tilde{U}_o(f_x', f_y') \cdot \tilde{U}_o^*(f_x'+f_x, f_y'+f_y) df_x' df_y'$$

**部分相干成像的特点：**

- 介于相干成像（振幅线性）和非相干成像（光强线性）之间
- 不存在单一的传递函数能完全描述系统
- 成像质量依赖于照明条件（相干因子 $\sigma$）

**相干因子 $\sigma$：**

$$\sigma = \frac{\text{照明数值孔径（NA}_{illum})}{\text{成像数值孔径（NA}_{obj})}$$

- $\sigma \to 0$：接近相干照明
- $\sigma \to \infty$：接近非相干照明
- 实际光刻机常用 $\sigma \approx 0.3 \sim 0.8$

**光学光刻中的应用：**

部分相干成像理论是现代光刻技术的基础：
- 通过调节照明相干性（$\sigma$）优化分辨率和焦深
- 离轴照明（OAI）技术利用部分相干性增强特定方向图案的对比度
- 相移掩模（PSM）技术结合部分相干照明实现超分辨

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### 第5章 光学全息

本章介绍全息术（Holography）的基本原理、各类全息图的记录与再现方法，以及全息技术的重要应用。全息术的核心思想是**同时记录光场的振幅和相位信息**，突破了传统摄影只记录光强的局限。

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#### 5.1 光学全息概述

**全息术的发明：**

全息术由英籍匈牙利物理学家**丹尼斯·伽博（Dennis Gabor）**于1948年发明，最初目的是提高电子显微镜的分辨率。伽博因此获得1971年诺贝尔物理学奖。

**"全息"的含义：**

"Holography"源自希腊语 "holos"（全部）和 "graphia"（记录），意为**记录全部信息**——即同时记录光波的振幅和相位。

**全息术的两个基本步骤：**

1. **波前记录（Recording）：** 利用干涉原理，将物光波与参考光波干涉，在记录介质上形成干涉条纹（全息图）。干涉条纹同时编码了物光波的振幅和相位信息。

2. **波前再现（Reconstruction）：** 用参考光（或共轭光）照射全息图，通过衍射效应，从全息图中重建出原始物光波的波前，观察者可以看到三维的物体像。

**全息术与摄影的根本区别：**

| 特征 | 普通摄影 | 光学全息 |
|------|---------|---------|
| 记录内容 | 仅光强（振幅平方） | 振幅 + 相位 |
| 信息完整性 | 不完整（丢失相位） | 完整波前信息 |
| 图像维度 | 二维平面 | 三维立体 |
| 记录原理 | 物镜成像 | 干涉记录 |
| 再现原理 | 直接观察 | 衍射再现 |
| 部分损坏 | 信息丢失 | 仍可再现（分辨率降低） |

**全息术的必要条件：**

- 高相干性光源（激光）
- 稳定的光路（振动小于波长量级）
- 高分辨率记录介质（干涉条纹间距通常为微米量级）
- 记录介质的分辨率需满足：$R \geq \frac{1}{\lambda \sin\theta}$（$\theta$ 为物光与参考光夹角）

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#### 5.2 波前记录与再现

##### 5.2.1 波前记录

**记录光路（伽博全息）：**

物光波：$O(x, y) = A_o(x, y) e^{i\phi_o(x, y)}$

参考光波：$R(x, y) = A_r(x, y) e^{i\phi_r(x, y)}$

记录面上的总光场：
$$U(x, y) = O(x, y) + R(x, y)$$

记录面上的光强分布：
$$I(x, y) = |O + R|^2 = |O|^2 + |R|^2 + O R^* + O^* R$$

$$= A_o^2 + A_r^2 + A_o A_r e^{i(\phi_o - \phi_r)} + A_o A_r e^{-i(\phi_o - \phi_r)}$$

**全息图的透过率函数：**

经过曝光和显影后，全息图的振幅透过率：

$$t(x, y) = t_0 + \beta \cdot I(x, y)$$

$$= t_0 + \beta(A_o^2 + A_r^2) + \beta A_o A_r e^{i(\phi_o - \phi_r)} + \beta A_o A_r e^{-i(\phi_o - \phi_r)}$$

其中：
- $t_0$：未曝光部分的透过率（偏置）
- $\beta$：记录介质的响应系数（曝光-透过率曲线的斜率）

**四项的物理含义：**

| 项 | 表达式 | 物理含义 |
|----|--------|---------|
| 偏置项 | $t_0 + \beta(A_o^2 + A_r^2)$ | 背景透过率（均匀部分） |
| 物光项 | $\beta A_o A_r e^{i(\phi_o - \phi_r)}$ | 包含物光波的全部信息 |
| 共轭物光项 | $\beta A_o A_r e^{-i(\phi_o - \phi_r)}$ | 物光波的共轭 |

##### 5.2.2 波前再现

**再现光路：**

用与参考光相同的光波 $R$ 照射全息图：

$$U_{out} = R \cdot t = R \cdot [t_0 + \beta(A_o^2 + A_r^2)] + \beta R \cdot A_o A_r e^{i(\phi_o - \phi_r)} + \beta R \cdot A_o A_r e^{-i(\phi_o - \phi_r)}$$

假设参考光为平面波 $R = A_r e^{i\phi_r}$，则：

$$U_{out} = A_r e^{i\phi_r}[t_0 + \beta(A_o^2 + A_r^2)] + \beta A_r^2 A_o e^{i\phi_o} + \beta A_o^2 A_r e^{-i(\phi_o - 2\phi_r)}$$

**三项的物理含义：**

| 项 | 结果 | 传播方向 |
|----|------|---------|
| 0级（直透光） | $A_r e^{i\phi_r}[t_0 + \beta(A_o^2 + A_r^2)]$ | 与参考光同方向 |
| +1级（原始物光波） | $\beta A_r^2 \cdot O$ | **原始物光波的精确复制！** |
| -1级（共轭物光波） | $\beta A_o^2 A_r e^{-i(\phi_o - 2\phi_r)}$ | 共轭波（汇聚波） |

**关键结论：**

+1级衍射光恰好正比于原始物光波 $O(x, y) = A_o e^{i\phi_o}$！观察者迎着这一级衍射光看去，看到的波前与直接观察原始物体完全一样——具有完整的三维视觉效果（视差、聚焦调节等）。

##### 5.2.3 全息图的基本类型

**按记录方式分类：**

- **振幅全息图**：透过率的振幅随干涉图样变化
- **相位全息图**：透过率的相位随干涉图样变化（衍射效率更高）

**按物光与参考光的几何关系分类：**

- **同轴全息图**（伽博全息）：物光与参考光共线
- **离轴全息图**（利思-乌帕特尼克斯全息）：物光与参考光有一定夹角

**按记录介质的厚度分类：**

- **平面全息图**（薄全息图）：介质厚度 $\ll$ 条纹间距
- **体积全息图**（厚全息图）：介质厚度 $\gg$ 条纹间距

**按再现方式分类：**

- **透射全息图**：再现光从全息图一侧入射，从另一侧出射
- **反射全息图**：再现光与衍射光在同一侧

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#### 5.3 同轴全息图和离轴全息图

##### 5.3.1 同轴全息图

**伽博同轴全息的光路：**

- 物光与参考光沿同一轴线传播
- 光源为扩展的准单色光源
- 物为"弱散射体"（大部分光直接透过作为参考光，少部分被散射作为物光）

**特点：**

- 结构简单，无需分束器
- 记录时：物光（散射光）与参考光（直透光）干涉
- 再现时：0级（直透光）、+1级（虚像）、-1级（实像）三者共线

**致命缺陷——孪生像问题：**

由于0级光、虚像和实像在同一方向传播，观察者在看虚像时，实像和背景光也同时进入眼睛，造成严重的**像间干扰**（孪生像干扰），图像质量很差。

**适用场景：**

仅适用于记录几乎透明的物体（如生物标本、微粒），此时物光很弱，共轭像的干扰相对较小。

##### 5.3.2 离轴全息图

**利思-乌帕特尼克斯（Leith-Upatnieks）离轴全息：**

1962年，随着激光器的发明，利思和乌帕特尼克斯将通信理论中的"载频"概念引入全息术，发明了离轴全息。

**核心思想：**

让物光与参考光以一定角度 $\theta$ 相交，相当于在空间频率域中给物光信息加上一个"载频"，使再现时的各级衍射光在空间上分离。

**光路安排：**

- 激光经分束器分为两束
- 一束照明物体，散射光到达记录面（物光）
- 另一束直接到达记录面（参考光，平面波或球面波）
- 两束光夹角 $\theta$（通常数度到数十度）

**空间频率分析：**

记录面上的干涉条纹空间频率：

$$f = \frac{\sin\theta}{\lambda}$$

要使各级像在再现时完全分离，需要满足：

$$f \geq 3B$$

其中 $B$ 是物光的最高空间频率（带宽）。

**离轴全息的优点：**

- 0级光、+1级虚像、-1级实像在空间上完全分开
- 观察者可以只看虚像，不受共轭像和背景光干扰
- 图像质量大幅提高
- 可以记录不透明物体的反射全息

**离轴全息图已成为现代全息术的标准形式。**

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#### 5.4 基元全息图

**基元全息图的概念：**

基元全息图（Elementary Hologram）是最简单的全息图——由两个点光源（物点和参考点）的干涉产生。任何复杂的全息图都可以看作基元全息图的线性叠加。

**两球面波干涉的全息图：**

物光：从点 $(x_o, y_o, z_o)$ 发出的球面波

$$O = \frac{A_o}{r_o} e^{ikr_o}$$

参考光：从点 $(x_r, y_r, z_r)$ 发出的球面波

$$R = \frac{A_r}{r_r} e^{ikr_r}$$

干涉图样为一组同心圆环（当两点在垂直于记录面的轴线上时）或偏心圆环（当两点有横向偏移时）。

**再现分析：**

用参考光照射时，+1级衍射光重建出原始物点发出的球面波——观察者看到一个"虚点"在原始物点的位置。

**基元全息图的分类：**

- **Gabor型**（同轴）：物点与参考点在同一轴线上
- **Leith型**（离轴）：物点与参考点有横向偏移
- **像面型**：记录面在物的像面上

**全息图作为衍射光栅：**

基元全息图本质上是一个**光栅**，其条纹间距由物光和参考光的夹角决定。复杂全息图 = 许多不同空间频率、不同方向的光栅的叠加。

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#### 5.5 菲涅耳全息图

##### 5.5.1 点源全息图的记录和再现

**菲涅耳全息图的定义：**

记录面位于物光的**菲涅耳衍射区**内（即 $z \sim a^2/\lambda$ 量级），物光波既不是远场（夫琅禾费区）也不是近场（几何光学区）。

**点源记录：**

设物点位于 $(0, 0, -z_o)$，参考光源点位于 $(x_r, y_r, -z_r)$。

记录面上的物光（球面波的菲涅耳近似）：

$$O(x, y) = \frac{A_o}{z_o} \exp\left[i\frac{k}{2z_o}(x^2 + y^2)\right]$$

参考光：

$$R(x, y) = \frac{A_r}{z_r} \exp\left[i\frac{k}{2z_r}((x-x_r)^2 + (y-y_r)^2)\right]$$

干涉条纹为**非等间距的圆环**（称为菲涅耳波带片）。

**再现：**

用原参考光照射全息图，+1级衍射光恰好重建出原始物点发出的球面波。观察者看到一个虚像点在原始物点的位置。

**用不同波长的光再现：**

如果再现波长 $\lambda_c \neq$ 记录波长 $\lambda_o$，则像的位置和大小都会变化（这是全息放大和全息干涉计量的基础）。

##### 5.5.2 几种特殊情况的讨论

**平面参考波：**

$z_r \to \infty$，参考光为平面波，干涉条纹简化为等间距的直线光栅叠加在菲涅耳波带片上。

**平面参考波 + 物在无穷远：**

此时记录的是夫琅禾费衍射图样与平面波的干涉，过渡到傅里叶变换全息图。

**共轭参考光再现：**

用参考光的共轭 $R^*$ 照射全息图，得到物光波的共轭 $O^*$，产生一个**实像**（可以在屏幕上接收），而非虚像。

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#### 5.6 傅里叶变换全息图

##### 5.6.1 傅里叶变换全息图

**记录光路：**

1. 将物体放在透镜的前焦面上
2. 用平行光照明物体
3. 在透镜的后焦面（频谱面）上，物光的复振幅分布为 $\mathcal{F}\{O\}$
4. 同时引入一束离轴平面参考光，也到达频谱面
5. 物光的频谱与参考光干涉，记录在频谱面上

**记录面上的光场：**

$$U(f_x, f_y) = \tilde{O}(f_x, f_y) + R e^{-i 2\pi(f_{xr} x + f_{yr} y)}$$

其中 $\tilde{O}$ 是物光场的傅里叶变换，$(f_{xr}, f_{yr})$ 是参考光的倾斜对应的空间频率。

**记录面上的光强：**

$$I = |\tilde{O}|^2 + |R|^2 + \tilde{O} R^* e^{i 2\pi(f_{xr} x + f_{yr} y)} + \tilde{O}^* R e^{-i 2\pi(f_{xr} x + f_{yr} y)}$$

**全息图的透过率：**

$$t = t_0 + \beta I$$

**再现：**

用原参考光照射傅里叶变换全息图，+1级衍射光为：

$$U_{+1} \propto \tilde{O}(f_x, f_y) e^{i 2\pi(f_{xr} x + f_{yr} y)}$$

再经过一次傅里叶变换（透镜或自由空间传播），即可得到物体的像。

**傅里叶变换全息图的优点：**

- 记录在频谱面上，信息更加紧凑
- 对记录介质的分辨率要求相对较低（因为频谱的能量主要集中在低频区）
- 适合数字全息和光学信息处理

##### 5.6.2 准傅里叶变换全息图

**准傅里叶变换全息图：**

物体不严格放在透镜的前焦面上，而是放在透镜前方任意位置。此时记录面上的光场不再是精确的傅里叶变换，而是带有二次相位因子的"准傅里叶变换"。

透过率函数：

$$t \propto \mathcal{F}\left\{O \cdot e^{i\frac{k}{2d}(x^2+y^2)}\right\}$$

其中 $d$ 是物到透镜的距离。

虽然不完全是傅里叶变换，但再现时仍然可以得到物体的像（带有相位畸变）。

##### 5.6.3 无透镜傅里叶变换全息图

**无透镜方案：**

利用点光源照明，不需要透镜也能实现傅里叶变换全息。

**原理：**

- 点光源位于物体和记录面的对称位置
- 物光和参考光（来自同一参考点源）在记录面上干涉
- 当物点和参考点源到记录面的距离相等时，记录面上的干涉图样正好正比于物体的傅里叶变换的模平方

**优点：**

- 无需透镜，光路更简单
- 避免透镜像差的影响
- 特别适用于X射线全息、电子全息等没有合适透镜的波段

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#### 5.7 像全息图

##### 像全息图的基本概念

**像全息图（Image Hologram）：**

不是直接记录物体本身的全息图，而是先通过成像透镜形成物体的实像，然后将全息记录面放在实像面附近进行记录。

**光路：**

物体 → 成像透镜 → 实像面 → 全息干板放在实像面附近

参考光同时到达干板，与物光（会聚到实像的光）干涉。

**特点：**

- 再现时，像出现在全息图附近（而非远处）
- 对再现光源的要求大大降低（可以用白光再现）

##### 5.7.1 再现光源宽度的影响

**光源尺寸的影响：**

像全息图可以用扩展光源（如白炽灯）再现，因为：

- 光源上不同点发出的光照射全息图，各自产生一个再现像
- 由于像在干板附近，不同光源点产生的像几乎重合
- 只有轻微的模糊（与光源尺寸成正比）

**允许的扩展光源最大尺寸：**

$$\Delta \theta \approx \frac{\lambda}{d}$$

其中 $d$ 是像到全息图的距离。像离全息图越近，允许的光源尺寸越大。

##### 5.7.2 再现光源光谱宽度的影响

**光谱宽度的影响：**

不同波长的光再现时，像的位置和大小不同（色散效应）：

- 像的纵向位置：$z_i \propto \lambda$
- 像的横向放大率：$M \propto \lambda$

白光再现时，不同颜色的光产生不同位置和大小的像 → **色模糊**。

##### 5.7.3 色模糊

**色模糊的定量分析：**

白光再现时，波长范围 $\Delta\lambda$ 导致的像的模糊量：

纵向模糊：$\Delta z \approx z_i \cdot \frac{\Delta\lambda}{\lambda}$

横向模糊：$\Delta x \approx x_i \cdot \frac{\Delta\lambda}{\lambda}$

**减小色模糊的方法：**

- 减小像到全息图的距离（像全息的本质）
- 使用窄带光源再现
- 使用反射型体积全息图（布拉格选择性）

##### 5.7.4 像全息的制作

**典型光路：**

1. 激光经扩束后照明物体
2. 成像透镜将物体成像在干板附近
3. 参考光经另一路直接到达干板
4. 曝光、显影

**应用：**

- 白光再现全息显示
- 全息光学元件（HOE）
- 安全防伪

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#### 5.8 彩虹全息

**彩虹全息（Rainbow Hologram）的发明：**

1969年由Stephen Benton发明，目的是实现**白光再现三维全息图**。

**核心思想：**

通过牺牲一个方向的视差（通常牺牲垂直视差），换取色散的"可控性"——使不同波长的光在不同角度再现，观察者看到的是不同颜色而非彩色模糊的像。

##### 5.8.1 二步彩虹全息

**第一步：制作中间全息图（H1）**

- 制作一个普通的离轴透射全息图（记录物体）
- H1 包含物体的完整三维信息

**第二步：制作彩虹全息图（H2）**

1. 用共轭参考光照射 H1，产生物体的实像
2. 在实像光路中插入一个**水平狭缝**
3. 狭缝限制了垂直方向的信息（牺牲垂直视差）
4. H2 记录狭缝像与参考光的干涉

**白光再现：**

- 白光从原参考光方向入射
- 不同波长的光再现出狭缝在不同位置（色散）
- 观察者在不同高度看到不同颜色的像（"彩虹"效果）
- 在固定高度（眼睛位置），只有一种波长的光进入眼睛 → 单色清晰像

##### 5.8.2 一步彩虹全息

一步彩虹全息将两步合为一步：

- 物体通过柱面透镜成像（在水平方向成像，在垂直方向保持原样）
- 加入狭缝，在一次曝光中完成记录
- 简化了工艺，但像质量略低于二步法

##### 5.8.3 彩虹全息的色模糊

**色模糊的分析：**

彩虹全息中，观察者眼睛位于某个高度时，只有一种波长的光进入眼睛。但当眼睛偏离最佳位置时，会有部分其他波长混入，造成色模糊。

**色模糊与狭缝宽度的关系：**

狭缝越窄 → 色选择性越好 → 色模糊越小 → 但光强也越弱

**最优设计：**

狭缝宽度 $\approx$ 瞳孔直径在彩虹全息图上的投影

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#### 5.9 相位全息图

**振幅全息图 vs 相位全息图：**

| 特征 | 振幅全息图 | 相位全息图 |
|------|-----------|-----------|
| 调制方式 | 透过率的振幅变化 | 透过率的相位变化 |
| 吸收损失 | 大（有吸收） | 小（几乎无吸收） |
| 衍射效率 | 低（~6%） | 高（~33%薄，~100%厚） |
| 记录材料 | 银盐干板 | 光致聚合物、光折变晶体 |

**相位全息图的透过率：**

$$t(x, y) = e^{i\phi(x, y)}$$

其中 $\phi(x, y) \propto I(x, y)$（记录面上的干涉光强）

**衍射效率：**

对于薄相位全息图（正弦相位调制），最大衍射效率为 33.9%（J₁(φ₀)² 的最大值，当 φ₀ ≈ 1.84 rad 时）。

**厚相位全息图（体积全息图）**的衍射效率可达近100%（详见5.11节）。

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#### 5.10 模压全息图

**模压全息图的用途：**

大量复制全息图，用于商品包装、信用卡防伪、艺术品等。

##### 5.10.1 白光再现浮雕全息图的制作

**制作流程：**

1. 制作原始相位全息图（在光致抗蚀剂干板上记录）
2. 显影后形成**表面浮雕**结构（干涉条纹表现为表面凹凸）
3. 在浮雕表面镀导电层

##### 5.10.2 电铸金属模板

**电铸（Electroforming）：**

- 在浮雕表面用电沉积方法生长一层镍
- 剥离后得到金属"母模"（表面结构与原浮雕互补）
- 母模可以复制出正模，再复制出工作模

##### 5.10.3 模压

**大批量复制：**

- 将金属模板安装在热压机上
- 在塑料薄膜（如PET）上热压出浮雕结构
- 镀铝增加反射率
- 每分钟可生产数米长的全息图

**特点：**

- 成本极低（大批量时）
- 无法直接复制（需要从原始干板重新制作母模）→ 防伪功能

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#### 5.11 体积全息图

##### 5.11.1 透射体积全息图

**体积全息图的条件：**

记录介质的厚度 $d$ 满足克莱因条件（Klein criterion）：

$$Q = \frac{2\pi\lambda d}{n\Lambda^2} \gg 1$$

其中 $\Lambda$ 是干涉条纹间距，$n$ 是介质折射率。

粗略条件：$d \gg \Lambda^2/\lambda$。

**布拉格选择性：**

体积全息图中，干涉条纹在介质内部形成三维"晶格"。再现时满足**布拉格条件**才能高效衍射：

$$2\Lambda \sin\theta_B = \frac{\lambda}{n}$$

其中 $\theta_B$ 是布拉格角。

**角度选择性：**

入射光方向偏离布拉格角时，衍射效率急剧下降。角度选择性的半高宽：

$$\Delta\theta \approx \frac{\lambda}{n d \sin\theta_B}$$

介质越厚，角度选择性越尖锐。

**波长选择性：**

同样，波长偏离记录波长时，衍射效率也急剧下降。这使得体积全息图可以用白光再现（只有满足布拉格条件的波长被衍射）。

##### 5.11.2 反射全息图

**反射全息图的记录：**

物光和参考光从记录介质的**两侧**入射（对射），干涉条纹面几乎平行于介质表面（条纹间距 $\Lambda \approx \lambda/2n$）。

**丹尼苏克（Denisyuk）反射全息：**

- 1962年由Yuri Denisyuk提出
- 物体紧贴干板背面
- 参考光从干板正面入射，透射过干板后照明物体
- 物光（反射回来）与参考光（入射光）在干板内干涉
- 形成反射型体积全息图

**白光再现：**

反射体积全息图可以用白光（如白炽灯、日光）再现，因为：

- 布拉格条件只选择性地反射满足条件的窄带波长
- 其他波长直接透过，不参与衍射
- 再现像为单色像（颜色由记录波长决定）

**特点：**

- 可以用白光再现三维像
- 像看起来"浮在"全息图表面
- 常用于艺术品、博物馆展示

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#### 5.12 平面全息图的衍射效率

##### 5.12.1 振幅全息图的衍射效率

**衍射效率的定义：**

$$\eta = \frac{\text{衍射光功率}}{\text{入射光功率}}$$

**薄振幅全息图（正弦振幅调制）：**

透过率：$t = t_0 + t_1 \cos(2\pi f x)$

最大衍射效率（当调制深度最大时）：

$$\eta_{max} = \frac{1}{16} \approx 6.25\%$$

##### 5.12.2 相位全息图的衍射效率

**薄相位全息图（正弦相位调制）：**

透过率：$t = e^{i\phi_0 \cos(2\pi f x)}$

衍射效率（第一级）：$\eta = J_1^2(\phi_0)$

最大值：$\eta_{max} \approx 33.9\%$（当 $\phi_0 \approx 1.84$ rad 时）

**体积相位全息图：**

- 透射型：$\eta_{max} \approx 100\%$（当相位调制足够大时）
- 反射型：$\eta_{max} \approx 100\%$

体积相位全息图的高衍射效率使其在全息显示和全息光学元件中广泛应用。

**各类全息图衍射效率总结：**

| 类型 | 最大衍射效率 |
|------|:---:|
| 薄振幅全息图 | 6.25% |
| 薄相位全息图 | 33.9% |
| 体积振幅全息图 | 7.2% |
| 体积透射相位全息图 | ~100% |
| 体积反射相位全息图 | ~100% |

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#### 5.13 全息干涉计量

**全息干涉计量的基本原理：**

利用全息术可以精确记录并再现波前的特性，将物体在两个不同状态下的波前进行干涉比较，从而测量极其微小的变化（位移、变形、振动等），精度可达波长量级（亚微米级）。

**优势：**

- 非接触测量
- 全场测量（不是单点测量）
- 灵敏度高（~λ/10）
- 适用于复杂形状物体

##### 5.13.1 二次曝光法

**步骤：**

1. 在**同一张**全息干板上进行**两次曝光**
   - 第一次：物体在初始状态
   - 第二次：物体在变形/加载状态
2. 两次曝光的物光波与同一参考光干涉，叠加记录在同一干板上
3. 显影后用参考光再现

**再现结果：**

再现光场中包含两个物光波的叠加，两者之间产生干涉条纹：

$$I \propto |O_1 + O_2|^2 = |O_1|^2 + |O_2|^2 + 2|O_1||O_2|\cos(\phi_2 - \phi_1)$$

条纹对应于相位差 $\Delta\phi = \phi_2 - \phi_1 = \frac{2\pi}{\lambda}\Delta L$ 为常数（2π的整数倍）的等高线。

**条纹解读：**

- 一条条纹对应光程差变化 $\lambda$
- 位移测量精度可达 λ/10 ~ λ/100
- 条纹密度反映变形梯度

**应用：**

- 应力应变分析
- 热变形测量
- 压力形变测量

##### 5.13.2 单次曝光法（实时干涉法）

**步骤：**

1. 制作一张物体初始状态的全息图
2. 显影后将全息图**精确放回**原位置
3. 用参考光照射全息图，同时物体仍处于光路中
4. 再现的波前（初始状态）与物体当前状态的物光波实时干涉

**优点：**

- 可以**实时观察**变形过程
- 调整物体状态时，条纹实时变化
- 适合动态测量

**缺点：**

- 需要精确复位全息图
- 全息干板的收缩/膨胀会引入误差

##### 5.13.3 时间平均法

**用于振动分析：**

1. 物体在振动状态下，全息干板进行**长时间曝光**
2. 曝光时间远大于振动周期（记录了振动的全部时间历程）
3. 再现时，干涉条纹反映了振动的振幅分布

**条纹函数（时间平均条纹）：**

$$I \propto J_0^2\left(\frac{4\pi A}{\lambda}\right)$$

其中 $A$ 是振动振幅，$J_0$ 是零阶贝塞尔函数。

**条纹解读：**

- 亮条纹对应 $J_0(4\pi A/\lambda) = 0$ 的根
- 静止点（振幅为零）最亮
- 条纹越密 → 振幅梯度越大

**应用：**

- 扬声器振膜分析
- 叶片振动模态分析
- 机械结构共振检测

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#### 5.14 数字全息

##### 5.14.1 数字全息的基本概念及其特点

**数字全息（Digital Holography）：**

用CCD/CMOS数字图像传感器代替传统全息干板记录全息图，用计算机数值计算代替光学再现过程。

**发展时间线：**

- 1967年：Goodman和Lawrence首次提出数字全息概念
- 1990年代：随着CCD分辨率和计算机速度的提升，数字全息变得实用
- 2000年代后：广泛应用于显微、计量、生物等领域

**数字全息的特点：**

| 特点 | 说明 |
|------|------|
| 无需化学处理 | 记录后立即可用 |
| 数值再现 | 可灵活调整再现参数 |
| 三维信息数字化 | 便于存储、传输、处理 |
| 相位定量测量 | 直接获取定量相位图 |
| 分辨率受限 | CCD像素尺寸限制了可记录的最高空间频率 |

**分辨率限制：**

CCD像素尺寸为 $p$，可记录的最高空间频率为 $f_{max} = 1/(2p)$。对于离轴全息，物光与参考光的夹角需满足：

$$\sin\theta \leq \frac{\lambda}{4p}$$

对于典型 CCD（$p \approx 5\mu m$），$\theta \leq 1°$（远小于传统全息）。

##### 5.14.2 数字全息的基本原理

**数值再现的算法：**

记录面上数字化的全息图 $H(x, y)$，用计算机模拟参考光照射和传播过程：

**菲涅耳衍射法：**

$$U(x', y') = \frac{e^{ikz}}{i\lambda z} \iint H(x, y) R(x, y) \exp\left[i\frac{k}{2z}\left((x'-x)^2 + (y'-y)^2\right)\right] dx dy$$

用FFT加速计算。

**角谱法：**

$$U(x', y') = \mathcal{F}^{-1}\left\{\mathcal{F}\{H \cdot R\} \cdot \exp\left[i\frac{2\pi z}{\lambda}\sqrt{1 - (\lambda f_x)^2 - (\lambda f_y)^2}\right]\right\}$$

**相位解包裹：**

数字全息可以直接获取物光波的相位分布，但计算得到的相位被包裹在 $[-\pi, \pi]$ 范围内，需要通过**相位解包裹**（Phase Unwrapping）算法恢复连续相位。

**应用：**

- 数字全息显微（细胞无标记成像）
- 微结构三维形貌测量
- 流体折射率场测量
- 实时变形监测

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#### 5.15 全息数据存储

**全息数据存储的基本原理：**

利用体积全息图的布拉格选择性和角度/波长复用能力，在同一块介质中存储大量数据页（Page）。

**数据页的概念：**

- 不是逐位（bit）存储，而是以"页"为单位（每页包含数百万像素的二维图案）
- 用空间光调制器（SLM）将数据编码为光场的二维图案
- 一页数据在一次曝光中整体记录

**复用技术：**

| 复用方式 | 原理 | 存储密度 |
|---------|------|---------|
| 角度复用 | 改变参考光角度 | ~1000页/cm³ |
| 波长复用 | 改变记录波长 | ~数百页/cm³ |
| 相位编码复用 | 用正交相位编码 | ~数百页/cm³ |
| 空间移位复用 | 移动记录位置 | 结合其他方法 |

**记录介质：**

- 光折变晶体（LiNbO₃:Fe）
- 光致聚合物
- 光色材料

**优势：**

- 超高存储密度（理论可达 TB/cm³）
- 高速数据传输（并行读出，Gbps量级）
- 长寿命（>50年）

**挑战：**

- 串扰噪声（复用页之间的干扰）
- 介质灵敏度低
- 写入/读出系统复杂
- 商业化进展缓慢

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### 第6章 计算全息

本章介绍**计算全息（Computer-Generated Holography, CGH）**——用计算机和绘图设备合成全息图，无需实际物体的存在，只需要物体光波的数学描述。这是光学全息从"被动记录"走向"主动设计"的革命性突破，是现代全息显示、光学信息处理、干涉计量和激光扫描等领域的核心技术基础。

**计算全息与光学全息的本质区别：**

| 对比项 | 光学全息 | 计算全息 |
|--------|---------|---------|
| 是否需要实物 | 必须有实际物体 | 不需要，只需数学描述 |
| 记录方式 | 光学干涉 | 计算机数值计算 |
| 灵活性 | 受光学条件限制 | 极高，可设计任意波前 |
| 可重复性 | 受环境影响 | 完全可重复 |
| 精度 | 受光学元件质量限制 | 由计算精度决定 |
| 适用范围 | 可见光波段为主 | 全波段（微波、X射线等） |

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#### 6.1 计算全息的理论基础

##### 6.1.1 概述

**计算全息的基本思想：**

传统光学全息的本质是"记录已知波前"，而计算全息的本质是"合成任意波前"。只要能写出一个波前的数学表达式，就可以用计算机计算出全息图的透过率分布，再通过绘图设备制作出实体全息图。

**计算全息的制作流程（五步）：**

1. **抽样**：将连续的物光波函数离散化为样点值
2. **计算**：计算物光波在全息面上的复振幅分布
3. **编码**：将复振幅编码为全息图的透过率函数（实数、非负）
4. **成图**：用计算机控制的绘图设备（光绘机、激光直写等）输出全息图
5. **再现**：用光学方法（激光照射）或数字方法再现像

**计算全息的主要应用：**

- 二维和三维物体的显示
- 光学信息处理中的空间滤波器制作
- 干涉计量中的参考波前产生
- 激光扫描器（全息扫描光栅）
- 全息数据存储
- 光束整形（如产生涡旋光束、贝塞尔光束）

##### 6.1.2 抽样定理

**为什么需要抽样？**

计算机只能处理离散数据，因此必须将连续的光场函数 $f(x, y)$ 离散化为样点序列 $f(m\Delta x, n\Delta y)$。抽样必须满足**不丢失信息**的条件。

**奈奎斯特-香农抽样定理（一维）：**

若信号 $f(x)$ 的频谱带宽限制在 $|f_x| \leq B$，则当抽样间隔满足：

$$\Delta x \leq \frac{1}{2B}$$

时，原信号可以从抽样值完全恢复。

**二维抽样定理：**

对于二维信号 $f(x, y)$，若频谱满足 $|f_x| \leq B_x$，$|f_y| \leq B_y$，则抽样间隔：

$$\Delta x \leq \frac{1}{2B_x}, \quad \Delta y \leq \frac{1}{2B_y}$$

**光学信号的特殊性：**

光学中处理的是**带通信号**而非低通信号。以离轴全息图为例，物光频谱被载频（参考光倾斜引入）搬移到高频区域。此时：

- 载频 $f_0 = \frac{\sin\theta}{\lambda}$（$\theta$ 为参考光与物光夹角）
- 信号带宽 $B$（物光自身的最高频率）
- 总带宽：从 $f_0 - B$ 到 $f_0 + B$

**满足不混叠的条件：**

$$\Delta x \leq \frac{1}{2(f_0 + B)} = \frac{1}{2\left(\frac{\sin\theta}{\lambda} + B\right)}$$

载频越高（离轴角越大），所需抽样间隔越小（抽样频率越高）。

**全息图的空间带宽积（Space-Bandwidth Product）：**

$$N = (2B_x \cdot W_x) \times (2B_y \cdot W_y)$$

其中 $W_x, W_y$ 是全息图的尺寸。$N$ 表示全息图包含的独立信息单元数（即抽样点总数）。

**典型数值：**

一张 $10\text{cm} \times 10\text{cm}$ 的全息图，带宽 $B = 1000 \text{线/mm}$：

$$N = (2 \times 1000 \times 100)^2 = 4 \times 10^{10} \text{ 样点}$$

这对计算和存储都是巨大挑战。

##### 6.1.3 计算全息的抽样与信息容量

**全息图的抽样网格设计：**

全息面被划分为 $M \times N$ 个抽样单元（cell），每个单元内编码一个复数样点值。

- 单元尺寸：$\Delta x \times \Delta y$
- 全息图总尺寸：$W_x = M\Delta x$，$W_y = N\Delta y$

**信息容量的限制因素：**

1. **物光带宽**：物体细节越丰富，带宽越大，所需抽样点越多
2. **全息图尺寸**：越大则总信息量越大
3. **编码精度**：每个样点用多少位（bit）表示（振幅量化级数、相位量化级数）
4. **输出设备分辨率**：绘图设备的极限分辨率决定了最小可实现的 $\Delta x$

**抽样条件与记录距离的关系：**

对于菲涅耳全息图，物光在记录面上的最高空间频率为：

$$f_{max} \approx \frac{x_{max}}{\lambda z}$$

其中 $x_{max}$ 是物体的最大尺寸，$z$ 是记录距离。因此抽样间隔需满足：

$$\Delta x \leq \frac{\lambda z}{2x_{max}}$$

距离 $z$ 越小、物体越大，抽样要求越苛刻。

##### 6.1.4 时域信号和空域信号的调制与解调

**类比通信理论：**

计算全息中编码复振幅的过程，本质上与通信中的调制/解调过程完全类比：

| 通信领域 | 计算全息 |
|---------|---------|
| 时域信号 | 空域信号 |
| 载波频率 | 载频（参考光倾斜） |
| 调制 | 编码（复振幅→透过率） |
| 解调 | 再现（透过率→衍射光场） |
| 信道带宽 | 全息图空间带宽积 |

**振幅调制（AM）类比：**

物光振幅 $A(x, y)$ 调制载频光栅的对比度：

$$t(x, y) = \frac{1}{2}[1 + A(x, y)\cos(2\pi f_0 x)]$$

**相位调制（PM/FM）类比：**

物光相位 $\phi(x, y)$ 调制载频光栅的位置（迂回相位法）：

$$\text{光栅条纹位置偏移} \propto \phi(x, y)$$

**解调过程：**

光学再现时，激光照射全息图产生衍射，+1级衍射光自动完成"解调"，恢复出原始物光波的振幅和相位。

##### 6.1.5 计算全息的分类

**按编码方式分类：**

- **迂回相位编码**（Detour-phase encoding）：Lohmann提出，利用光栅条纹位置的偏移编码相位
- **修正离轴参考光编码**：Burch、Lee等提出，通过计算机加入偏置项
- **相息图编码**（Kinoform）：纯相位编码，无振幅调制
- **二元脉冲密度编码**：用二值图像模拟灰度

**按记录波面类型分类：**

- **计算傅里叶变换全息图**：记录物光波的频谱
- **计算菲涅耳全息图**：记录物光波的菲涅耳衍射波
- **计算像全息图**：记录物光波的像面场

**按透过率取值分类：**

- **连续型**（多级灰度）：透过率取连续值
- **二元型**：透过率只取 0 或 1（制作简单、抗噪能力强）

---

#### 6.2 计算全息的编码方法

##### 6.2.1 计算全息的编码

**编码问题的本质：**

待编码的物光波复振幅为：

$$f(x, y) = A(x, y) e^{i\phi(x, y)}$$

其中 $A$ 和 $\phi$ 都是实函数。但全息图的实际透过率 $t(x, y)$ 必须满足：

- **实数**（不能是复数）
- **非负**（$0 \leq t \leq 1$）

因此需要将一个**复值函数**编码为一个**实非负函数**，同时保留振幅和相位的全部信息。

**编码算子的数学描述：**

$$t(x, y) = C\{f(x, y)\}$$

其中 $C$ 是编码算子，其设计原则是：在光学再现时，衍射光场的某一特定级次正比于原始复振幅 $f(x, y)$。

##### 6.2.2 迂回相位编码方法

**迂回相位法的核心思想：**

由Lohmann和Paris于1967年提出。灵感来源于不规则光栅的衍射——光栅条纹位置的局部偏移会在某一衍射级次中引入相位延迟。

**基本原理：**

考虑一个周期为 $d$ 的规则光栅，$m$ 级衍射角满足 $\sin\theta_m = m\lambda/d$。相邻光线的程差为 $L = d\sin\theta_m$。

如果光栅的局部周期变为 $d + \Delta d$，则在该位置处引入的附加相位为：

$$\Delta\Phi = \frac{2\pi}{\lambda}(\Delta L) = \frac{2\pi m}{d}\Delta d = 2\pi m \cdot \frac{\Delta d}{d}$$

对于 $m=1$ 级衍射：

$$\Delta\Phi = 2\pi \frac{\Delta d}{d}$$

**关键结论：光栅条纹的局部位置偏移 $\Delta d$ 直接在+1级衍射中引入相位 $2\pi(\Delta d/d)$！**

**罗曼型（Lohmann型）编码：**

将全息图分为 $M \times N$ 个抽样单元，每个单元尺寸为 $\Delta x \times \Delta y$。在每个单元内放置一个矩形通光孔径：

- **孔径的宽度**（面积）→ 编码振幅 $A_{mn}$
- **孔径的位置偏移** → 编码相位 $\phi_{mn}$

具体编码规则：

$$\text{孔径宽度} = w_0 \cdot A_{mn}$$

$$\text{孔径中心偏移} = \frac{\Delta x}{2\pi}\phi_{mn}$$

**光学再现：**

用平面波照射全息图，+1级衍射光的复振幅正比于原始物光波 $f(x, y)$。

**罗曼编码的类型：**

| 类型 | 特点 |
|------|------|
| 罗曼I型 | 固定孔径宽度，位置编码相位 |
| 罗曼II型 | 固定位置，孔径面积编码振幅 |
| 罗曼III型 | 同时用位置和宽度分别编码相位和振幅 |

##### 6.2.3 修正离轴参考光的编码方法

**Burch编码（博奇编码）：**

由Burch于1967年提出，核心思想是**用计算机模拟离轴参考光的干涉过程**。

**编码公式：**

物光波：$f(x, y) = A(x, y)e^{i\phi(x, y)}$，归一化使 $0 \leq A \leq 1$

模拟参考光：$R(x, y) = e^{i 2\pi f_0 x}$（平面波，倾斜角对应载频 $f_0$）

模拟干涉光强：

$$I(x, y) = |f + R|^2 = 1 + A^2 + 2A\cos(2\pi f_0 x - \phi)$$

归一化后作为全息图透过率：

$$t(x, y) = \frac{1}{2}\left[1 + A(x, y)\cos(2\pi f_0 x - \phi(x, y))\right]$$

**优点：**

- 编码简单直观（直接模拟光学干涉）
- 再现像质量好
- 适合多级灰度输出设备

**缺点：**

- 偏置项占用带宽
- 需要载频足够高（离轴角足够大）以避免各级衍射重叠

**Lee编码（李氏编码）：**

Lee在Burch基础上改进，通过正交分量分解提高编码效率：

$$t(x, y) = \frac{1}{2}\left[1 + A(x, y)\cos(2\pi f_0 x - \phi(x, y))\right]$$

利用 $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$：

$$t = \frac{1}{2}\left[1 + A\cos\phi\cos(2\pi f_0 x) + A\sin\phi\sin(2\pi f_0 x)\right]$$

将物光波分解为实部和虚部：

$$\text{Re}\{f\} = A\cos\phi, \quad \text{Im}\{f\} = A\sin\phi$$

两者分别调制载频的余弦和正弦分量。

##### 6.2.4 二元脉冲密度编码

**基本原理：**

将多级灰度的全息图转化为**二值图像**（透过率只取0或1），利用**脉冲密度调制**（Pulse Density Modulation）模拟灰度。

**实现方法：**

在一个抽样单元内放置多个二值像素（子单元），通过改变"1"（透光）像素占总像素的比例来模拟不同的透过率等级。

例如，一个抽样单元包含 $n \times n$ 个子像素：
- 全部为"0"：透过率 = 0
- $k$ 个"1"，其余"0"：透过率 = $k/n^2$
- 全部为"1"：透过率 = 1

**误差扩散法（Floyd-Steinberg抖动）：**

将量化误差扩散到相邻像素，使宏观平均透过率接近目标值：

$$\text{量化后值} = \begin{cases} 1, & \text{若当前值} \geq 0.5 \\ 0, & \text{否则} \end{cases}$$

$$\text{误差} = \text{当前值} - \text{量化后值}$$

误差按比例分配到右侧和下方的相邻像素。

**优点：**

- 只需二值输出设备（激光打印机、光绘机等）
- 制作简单、成本低
- 二元全息图的抗噪声能力强

**缺点：**

- 引入量化噪声（散斑）
- 衍射效率较低

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#### 6.3 计算傅里叶变换全息图

##### 6.3.1 抽样

**计算流程第一步：对物函数进行抽样。**

设物体复振幅函数为 $o(x, y)$，在全息面上需要计算其傅里叶变换：

$$O(f_x, f_y) = \iint o(x, y) e^{-i 2\pi(f_x x + f_y y)} dx dy$$

**离散化：**

物面抽样：$x_m = m\Delta x$，$y_n = n\Delta y$，$m, n = -N/2, \ldots, N/2-1$

频谱面抽样：$f_{xp} = p\Delta f_x$，$f_{yq} = q\Delta f_y$

其中：

$$\Delta f_x = \frac{1}{N\Delta x}, \quad \Delta f_y = \frac{1}{N\Delta y}$$

（DFT的频率分辨率公式）

**物函数的带宽估计：**

对于空间限制在 $W_x \times W_y$ 范围内的物体，其频谱近似带限于：

$$B_x \approx \frac{W_x}{\lambda z}, \quad B_y \approx \frac{W_y}{\lambda z}$$

##### 6.3.2 计算离散傅里叶变换

**利用FFT算法：**

离散傅里叶变换（DFT）：

$$O_{pq} = \sum_{m=0}^{N-1}\sum_{n=0}^{N-1} o_{mn} e^{-i 2\pi\left(\frac{pm}{N} + \frac{qn}{N}\right)}$$

用**快速傅里叶变换（FFT）**算法，计算复杂度从 $O(N^4)$ 降为 $O(N^2\log N)$。

**FFT的归一化：**

计算机FFT输出的值需要乘以 $\Delta x \Delta y$ 才等于连续傅里叶变换的近似值。

**相位修正：**

FFT默认输出以左上角为原点，需要进行 fftshift 操作，将零频移到中心。

##### 6.3.3 编码

**对复值频谱 $O(f_x, f_y)$ 进行编码：**

计算出每个样点的复数值 $O_{pq} = A_{pq} e^{i\phi_{pq}}$，然后选用前述编码方法之一：

- **迂回相位编码**：孔径宽度 $\propto A_{pq}$，孔径位置偏移 $\propto \phi_{pq}$
- **Burch编码**：$t_{pq} = \frac{1}{2}[1 + A_{pq}\cos(2\pi f_0 p\Delta f_x - \phi_{pq})]$

**归一化：**

编码前需要将振幅归一化到 $$ 范围：

$$A_{pq}^{norm} = \frac{A_{pq} - A_{min}}{A_{max} - A_{min}}$$

##### 6.3.4 绘制全息图

**输出设备：**

- **激光直写仪**：分辨率可达亚微米级，适合高精度全息图
- **光绘机**：用于制作大幅面全息图
- **电子束曝光**：纳米级分辨率，用于微纳光学元件
- **空间光调制器（SLM）**：实时显示，无需物理制作
- **液晶打印机**：低成本，分辨率约 $10-20\mu m$

**缩版处理：**

如果直接绘制的分辨率不够，可以先放大绘制再光学缩版（照相缩小），以提高有效分辨率。

##### 6.3.5 再现

**光学再现：**

用平面波（与编码时模拟的参考光相同）照射制作好的全息图，在透镜后焦面上观察再现像。

**数字再现：**

也可以直接在计算机中对编码后的全息图做逆傅里叶变换，模拟光学再现过程：

$$\text{再现像} = \mathcal{F}^{-1}\{t(x, y)\}$$

##### 6.3.6 几点讨论

**载频的选择：**

载频 $f_0$ 必须足够高以使各级衍射不重叠：

$$f_0 \geq 3B$$

但过高的载频会增加抽样点数（因为 $\Delta x \leq \frac{1}{2(f_0 + B)}$）。

**零级光斑问题：**

编码中的偏置项导致再现时存在强零级光斑，可能淹没有用信号。解决方法：
- 离轴编码（使零级与信号分离）
- 相息图（无偏置项）

**计算精度：**

- 振幅量化级数：通常 256 级（8 bit）足够
- 相位量化级数：通常 256 级，最少 16 级可接受

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#### 6.4 计算像面全息图

##### 6.4.1 抽样

**与傅里叶变换全息图的区别：**

计算像面全息图直接记录物体的复振幅分布 $o(x, y)$（或物体的像面场），而不是其傅里叶变换。因此：

- 不需要做傅里叶变换计算
- 抽样间隔由物光自身的带宽决定
- 编码更直接

**抽样条件：**

物光场 $o(x, y)$ 的带宽为 $B$，则：

$$\Delta x \leq \frac{1}{2B}$$

##### 6.4.2 编码

**直接编码物光复振幅：**

将 $o(x, y) = A(x, y)e^{i\phi(x, y)}$ 直接编码为全息图透过率，方法与6.2节相同。

**离轴像面全息：**

$$t(x, y) = \frac{1}{2}\left[1 + A(x, y)\cos(2\pi f_0 x - \phi(x, y))\right]$$

##### 6.4.3 全息图的绘制和再现

**绘制：** 与傅里叶变换全息图相同。

**再现：**

用平面波照射，+1级衍射光直接就是物光波的复制，无需透镜即可看到虚像（像在全息图附近）。

**优点：**

- 再现光路简单（无需透镜）
- 可以用扩展光源再现（因为像在全息图附近）

##### 6.4.4 四阶迂回相位编码的一个理论解释

**四阶迂回相位编码：**

传统罗曼型编码将每个抽样单元分为四个子区域，用四个子孔径的位置组合来编码一个复数值。这等效于将相位分为四个离散等级（0, $\pi/2$, $\pi$, $3\pi/2$）。

**理论解释：**

四阶编码等价于将物光波分解为四个正交分量：

$$f = A\cos\phi + iA\sin\phi = \text{Re}\{f\} + i\text{Im}\{f\}$$

再进一步分解为正负部分：

$$\text{Re}\{f\} = \text{Re}^+ - \text{Re}^-, \quad \text{Im}\{f\} = \text{Im}^+ - \text{Im}^-$$

四个分量分别对应四个子孔径的透过率。这种分解保证了每个子孔径的透过率都是非负的。

**优点：**

- 不需要载频（同轴编码）
- 制作分辨率要求低（x方向分辨率可降低一倍）
- 适合制作大幅面全息图

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#### 6.5 计算全息干涉图

##### 6.5.1 二元全息函数

**什么是计算全息干涉图？**

计算全息干涉图（CGH Interferogram）是用计算机计算出的干涉条纹图样，主要用于**光学检测**（如非球面检测、波前测量）。它不是用来"再现像"的，而是作为**参考波前**使用。

**二元全息函数的定义：**

将连续的余弦干涉条纹通过**硬限幅器**（Hard Limiter）转化为二值条纹：

$$h(x, y) = \begin{cases} 1, & \cos[2\pi f_0 x - \phi(x, y)] \geq \cos(\pi q) \\ 0, & \text{否则} \end{cases}$$

其中 $q(x, y)$ 是占空比参数，与物光振幅相关：

$$q(x, y) = \frac{1}{\pi}\arcsin[A(x, y)]$$

**傅里叶级数展开：**

二元条纹可以展开为：

$$h(x, y) = q + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{2}{k\pi}\sin(k\pi q)\cos[k(2\pi f_0 x - \phi)]$$

$k=1$ 项包含了完整的物光信息（振幅和相位）。

##### 6.5.2 二元全息干涉图的制作

**计算步骤：**

1. 根据被测波面（如非球面的理想波前）写出相位函数 $\phi(x, y)$
2. 加入载频：$\Phi(x, y) = 2\pi f_0 x - \phi(x, y)$
3. 对 $\cos\Phi(x, y)$ 做二值化处理（硬限幅）
4. 用绘图仪画出条纹边界线

**条纹边界的确定：**

满足 $\cos\Phi(x, y) = \cos(\pi q)$ 的点构成条纹边界。在计算机中通过数值求解这些等值线。

**应用于非球面检测：**

- 传统方法：非球面与理想球面的偏差太小，普通干涉仪无法检测
- CGH方法：计算全息图产生与理想非球面完全匹配的参考波前，与实际非球面反射光干涉，干涉条纹直接反映加工误差

##### 6.5.3 载波频率的选择

**载频选择的原则：**

1. **避免各级衍射重叠**：$f_0 \geq 3B$（$B$ 为相位梯度的最大空间频率）
2. **不超过输出设备分辨率**：$f_0 \leq \frac{1}{2\Delta x_{device}}$
3. **条纹可分辨**：相邻条纹间距应大于绘图仪的最小线宽

**载频过高 vs 载频过低：**

| 载频 | 优点 | 缺点 |
|------|------|------|
| 过高 | 各级分离好 | 条纹太密，制作困难 |
| 过低 | 条纹稀疏 | 各级重叠，无法分离信号 |

**最优载频：**

$$f_0 = \max\left(3B, \frac{1}{10\Delta x_{device}}\right)$$

##### 6.5.4 计算举例

**典型例子：非球面检测CGH**

设非球面方程为：

$$z(r) = \frac{cr^2}{1 + \sqrt{1 - (1+k)c^2r^2}} + \alpha r^4 + \beta r^6$$

其中 $c$ 为曲率，$k$ 为圆锥常数，$\alpha, \beta$ 为非球面系数。

CGH需要补偿的相位为：

$$\phi(x, y) = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot 2 \cdot \Delta z(x, y)$$

（因子2是因为反射光路，光程差为面形误差的两倍）

将此相位函数编码为二元干涉图，制作CGH板，放入干涉仪中作为参考元件。

---

#### 6.6 相息图

**相息图（Kinoform）的概念：**

相息图是一种**纯相位型**计算全息图，只调制相位、不调制振幅。透过率函数为：

$$t(x, y) = e^{i\phi(x, y)}$$

**相息图与振幅全息图的对比：**

| 特征 | 振幅全息图 | 相息图 |
|------|-----------|--------|
| 透过率 | 实数，$0 \leq t \leq 1$ | 复数，$|t| = 1$ |
| 光能利用率 | 低（大量光被吸收） | 高（几乎无吸收） |
| 衍射效率 | ~6%（薄）~ 34%（薄相位） | ~34%（薄）~ 100%（体积） |
| 编码难度 | 简单 | 需相位量化 |
| 零级光 | 强（偏置项大） | 弱（无偏置项） |

**相息图的编码：**

计算得到的物光相位 $\phi(x, y)$ 通常取模 $2\pi$（卷绕到 $[0, 2\pi]$ 范围）：

$$\phi_{kino}(x, y) = \phi(x, y) \mod 2\pi$$

**量化相息图：**

实际制作时相位只能取离散值。$L$ 级相位量化：

$$\phi_{quantized} = \frac{2\pi}{L} \cdot \text{round}\left(\frac{L\phi}{2\pi}\right)$$

量化级数对衍射效率的影响：

| 量化级数 $L$ | 理论衍射效率 |
|:---:|:---:|
| 2（二元） | 40.5% |
| 4 | 81.0% |
| 8 | 95.0% |
| 16 | 98.7% |
| ∞（连续） | 100% |

**迭代优化算法（GS算法）：**

Gerchberg-Saxton算法用于优化相息图，使再现像质量更好：

1. 初始相位随机
2. 正向传播到像面
3. 替换振幅为目标振幅，保持相位不变
4. 反向传播回全息面
5. 替换振幅为均匀振幅，保持相位不变
6. 重复2-5直至收敛

**应用：**

- 激光光束整形（产生平顶光束、涡旋光束等）
- 全息显示（SLM上加载相息图）
- 光学镊子（产生多焦点光阱）

---

#### 6.7 计算全息的应用

##### 6.7.1 空间滤波器

**Vander Lugt相关器中的匹配滤波器：**

在光学模式识别中，需要制作目标图像的**匹配空间滤波器**（Matched Spatial Filter），其透过率正比于目标图像频谱的共轭：

$$H(f_x, f_y) = \tilde{O}^*(f_x, f_y)$$

用计算全息可以精确合成这种滤波器，替代传统光学全息方法。

**优点：**

- 无需实物，只需目标的数字图像
- 可灵活修改和更新
- 精度高，不受光学元件像差影响

##### 6.7.2 干涉计量

**CGH在干涉计量中的应用：**

- **非球面检测**：CGH产生与理想非球面匹配的参考波前
- **自由曲面检测**：现代光学加工中的面形测量
- **波前传感**：CGH作为已知的参考波前校准Shack-Hartmann传感器
- **引力波探测**：LIGO中使用CGH校准光学元件

**CGH作为零位补偿器（Null Corrector）：**

传统干涉仪用球面波参考光只能检测球面。CGH可以产生任意形状的参考波前，使非球面的检测像球面一样简单——理想非球面的干涉图是均匀场（零条纹），条纹只反映加工误差。

##### 6.7.3 再现三维像

**计算全息三维显示：**

用计算机生成三维场景的计算全息图，用激光或SLM再现出真正的三维像（具有视差、聚焦等深度线索）。

**技术挑战：**

- **信息量巨大**：一个高质量三维全息图的数据量可达 TB 级别
- **实时计算**：需要在帧率（~30fps）内完成计算
- **SLM分辨率**：现有SLM像素数有限（典型 $1920\times1080$），空间带宽积不够

**加速计算方法：**

- 点源法（Point Source Method）：将三维物体分解为大量点源，每个点源对应一个球面波
- 层析法（Layer-based Method）：将三维物体分层，每层做傅里叶变换后叠加
- 查找表法（LUT）：预计算常用点源的CGH，实时拼接

##### 6.7.4 计算全息扫描器

**全息光栅扫描器：**

在激光扫描系统中（如激光打印机、条码扫描器、激光显示），用计算全息制作特殊的衍射光栅，实现：

- 一维/二维光束偏转
- 多光束同时扫描
- 特定扫描轨迹（如螺旋扫描）

**优点：**

- 无运动部件，可靠性高
- 扫描速度快
- 可以设计复杂的扫描图案

---

#### 6.8 计算全息的几种物理解释

**视角一：合成孔径**

计算全息等效于用一个合成的光学元件（全息图）来产生特定的波前变换。这个合成元件可以是物理上不存在的光学器件。

**视角二：衍射光栅的推广**

计算全息图本质上是一个空间变化的衍射光栅。光栅的局部周期、方向、对比度分别编码了波前的相位、传播方向和振幅。

**视角三：空间光调制器的编程**

现代CGH直接加载到SLM上，SLM就是一个可实时编程的"计算全息图"。每次改变加载图案，SLM就变成一个新的光学元件。

**视角四：逆问题求解**

CGH设计是一个逆问题：已知想要的输出光场，求输入面（全息面）的透过率分布。这是一个不适定问题（ill-posed problem），可能有多个解，需要附加约束（如非负、二值化等）来获得实用解。

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### 第7章 莫尔现象及其应用

莫尔现象（Moiré Effect）是两组周期性结构（如光栅、网格）叠加时产生的宏观拍频条纹现象。本章从**傅里叶光学和线性系统理论**的角度重新审视莫尔现象，建立其与干涉、全息之间的深刻联系，并介绍莫尔技术在计量学和三维轮廓测量中的重要应用。

**核心思想**：莫尔条纹本质上就是**空间载频的拍频**，与光学干涉条纹的物理本质完全相同，都可以用傅里叶频谱分析来统一描述。

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#### 7.1 莫尔现象的基本规律

##### 7.1.1 莫尔条纹的形成

**什么是莫尔条纹？**

当两组周期接近的条纹（光栅）重叠时，由于两组的透过率函数相乘（或相加），产生一组新的、周期远大于原始条纹的宏观条纹——这就是莫尔条纹。

日常生活中常见的例子：
- 两层纱窗重叠时出现的大花纹
- 数码相机拍摄屏幕时出现的彩色条纹
- 旋转两个光栅时出现的运动条纹

**数学描述（一维光栅）：**

设两个一维振幅光栅的透过率函数分别为：

$$t_1(x) = \frac{1}{2}\left[1 + \cos(2\pi f_1 x)\right]$$

$$t_2(x) = \frac{1}{2}\left[1 + \cos(2\pi f_2 x + \phi)\right]$$

其中 $f_1, f_2$ 分别为两光栅的空间频率，$\phi$ 为初始相位差。

**叠加后的透过率（乘法型）：**

$$t(x) = t_1(x) \cdot t_2(x)$$

$$= \frac{1}{4}\left[1 + \cos(2\pi f_1 x) + \cos(2\pi f_2 x + \phi) + \cos(2\pi f_1 x)\cos(2\pi f_2 x + \phi)\right]$$

利用积化和差：

$$\cos A \cos B = \frac{1}{2}[\cos(A+B) + \cos(A-B)]$$

得到：

$$t(x) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4}\cos(2\pi f_1 x) + \frac{1}{4}\cos(2\pi f_2 x + \phi) + \frac{1}{8}\cos\left[2\pi(f_1+f_2)x + \phi\right] + \frac{1}{8}\cos\left[2\pi(f_1-f_2)x - \phi\right]$$

**五项的物理含义：**

| 项 | 频率 | 含义 |
|----|------|------|
| 常数项 | 0 | 均匀背景 |
| 第三项 | $f_2$ | 光栅2的频率成分 |
| 第四项 | $f_1 + f_2$ | 和频（高频） |
| 第五项 | $|f_1 - f_2|$ | **差频（低频）= 莫尔条纹** |

**关键结论：莫尔条纹的频率等于两光栅频率之差！**

当 $f_1 \approx f_2$ 时，差频 $|f_1 - f_2| \ll f_1, f_2$，莫尔条纹的周期远大于原始光栅的周期。

**莫尔条纹的周期：**

$$\Lambda = \frac{1}{|f_1 - f_2|} = \frac{d_1 d_2}{|d_2 - d_1|}$$

其中 $d_1 = 1/f_1$，$d_2 = 1/f_2$ 为两光栅的周期。

**两光栅有夹角的情况：**

当两光栅频率相同（$f_1 = f_2 = f$，即 $d_1 = d_2 = d$），但彼此有一小夹角 $\theta$ 时：

莫尔条纹周期：

$$\Lambda = \frac{d}{2\sin(\theta/2)} \approx \frac{d}{\theta} \quad (\theta \text{很小})$$

莫尔条纹方向：近似垂直于两光栅条纹的角平分线。

##### 7.1.2 莫尔条纹的基本性质

**1. 放大效应（最核心性质）：**

莫尔条纹将微小的变化"放大"为宏观可见的条纹移动。

- 两光栅相对移动一个光栅周期 $d$ → 莫尔条纹移动一个莫尔周期 $\Lambda$
- 放大倍数：$M = \frac{\Lambda}{d} = \frac{d}{|d_2 - d_1|}$（同频不同周期时）

或：$M = \frac{1}{\theta}$（同周期有夹角时）

当 $\theta = 0.01$ rad 时，$M \approx 100$。

**物理意义：** 莫尔条纹使微小位移（或微小角度、微小周期变化）被放大为宏观的条纹移动，这是莫尔计量的基础。

**2. 平均效应（误差均化）：**

莫尔条纹是大量光栅线共同作用的结果，单个光栅线的局部缺陷（如刻线误差）被平均掉，莫尔条纹的精度可以高于单个光栅的精度。

**3. 对应关系：**

莫尔条纹的亮暗分布精确对应两光栅的相对位置关系。条纹移动一条 = 光栅相对移动一个周期。

**4. 傅里叶频谱解释：**

两光栅频谱的卷积产生和频项和差频项。差频项位于低频区，对应莫尔条纹。

频谱图示：
- 光栅1的频谱：$\delta(f - f_1) + \delta(f + f_1)$
- 光栅2的频谱：$\delta(f - f_2) + \delta(f + f_2)$
- 卷积结果中出现：$\delta(f - (f_1-f_2))$ 和 $\delta(f - (f_1+f_2))$
- 低频的 $\delta(f - (f_1-f_2))$ 就是莫尔条纹

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#### 7.2 干涉、全息与莫尔现象

##### 7.2.1 干涉条纹的莫尔模拟

**干涉与莫尔的本质联系：**

光学干涉条纹和莫尔条纹在数学上完全等价！

**双光束干涉：**

$$I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2}\cos(2\pi f x + \phi)$$

干涉条纹的空间频率：$f = \frac{\sin\theta}{\lambda}$（$\theta$ 为两光束夹角）

这与光栅透过率函数的形式完全一样：$t = \frac{1}{2}[1 + \cos(2\pi f x)]$

**莫尔模拟干涉的原理：**

用两个物理光栅的叠加来模拟两束光波的干涉。光栅的透过率函数对应光波的振幅分布，光栅的叠加（乘法）对应光波的干涉。

**具体方法：**

- 光栅1的透过率 $t_1(x)$ 对应第一束光的振幅
- 光栅2的透过率 $t_2(x)$ 对应第二束光的振幅
- 叠合后的透过率中的差频项 $\cos[2\pi(f_1-f_2)x]$ 对应干涉条纹

**优点：**
- 无需激光光源，白光即可观察
- 条纹间距可调（通过调整光栅参数）
- 适合教学演示和工程模拟

##### 7.2.2 全息与莫尔

**全息干涉条纹的莫尔模拟：**

全息图本质上是物光波和参考光波的干涉记录。从莫尔角度看：

- 全息图的透过率 = 物光振幅 $\times$ 参考光振幅的叠加
- 再现时，照明光通过全息图 = 照明光与全息图透过率的乘积
- 衍射光的差频项恢复出原始物光波

**莫尔视角下的全息再现：**

把全息图看作一个复杂的光栅（光栅条纹间距随位置变化），照明光通过时产生多级衍射。其中某一级衍射恰好等于原始物光波——这与莫尔条纹产生的差频项本质相同。

##### 7.2.3 全息干涉条纹的莫尔模拟

**全息干涉计量的莫尔模拟：**

在全息干涉计量中，同一底片上记录了物体两个状态的干涉。莫尔方法可以模拟这一过程：

- 状态1的干涉条纹记录为光栅1
- 状态2的干涉条纹记录为光栅2
- 两光栅叠合产生的莫尔条纹 = 两次全息干涉的差值条纹

**应用：**

用简单的莫尔方法模拟复杂的全息干涉过程，便于理解和定量分析。

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#### 7.3 莫尔计量术

莫尔计量的核心原理：利用莫尔条纹的**放大效应**和**对应关系**，将微小变化转化为条纹的宏观移动，通过计数条纹数实现精密测量。

##### 7.3.1 长度和角度测量

**长度（位移）测量：**

**光栅位移传感器的工作原理：**

1. 主光栅固定在基准上（长光栅，如 $d = 20\mu m$，长度为1m）
2. 指示光栅与测量物体连接，随物体移动
3. 两光栅叠合，产生莫尔条纹
4. 光电探测器接收莫尔条纹的光强变化

当物体移动距离 $\Delta x$ 时：

莫尔条纹移动距离：$\Delta X = M \cdot \Delta x = \frac{d}{|d_2-d_1|}\Delta x$

或直接用条纹数计数：

$$N = \frac{\Delta x}{d}$$

即：物体移动一个光栅周期 → 莫尔条纹移动一条。

**分辨率：**

- 基础分辨率 = 光栅周期（如 $20\mu m$）
- 电子细分后：可达 $0.1\mu m$ 甚至 $0.01\mu m$

**典型应用：**

- 数控机床的位置反馈
- 三坐标测量机
- 光栅尺（精度可达 $\pm 1\mu m/m$）

**角度测量：**

圆光栅（径向刻线）+ 指示光栅 → 莫尔条纹 → 角度测量。

角位移 $\Delta\theta$ 与条纹数 $N$ 的关系：

$$N = \frac{\Delta\theta}{d_\theta}$$

其中 $d_\theta = 360°/Z$（$Z$ 为圆光栅的刻线数）。

高精度圆光栅（$Z = 36000$）的分辨率可达 $0.01°$，经细分后可达角秒级。

##### 7.3.2 同心圆莫尔及其在二维位移测量中的应用

**同心圆光栅：**

光栅条纹为同心圆环，圆心处条纹间距最小，向外逐渐增大。

**同心圆莫尔的形成：**

两个相同的同心圆光栅叠合，但圆心有一个小偏移 $\delta$。产生的莫尔条纹为一组近似平行的直线。

**莫尔条纹方向与偏移方向的关系：**

莫尔条纹垂直于两圆心的连线方向。

**莫尔条纹间距与偏移量的关系：**

$$\Lambda = \frac{d^2}{\delta}$$

其中 $d$ 为圆心附近的光栅周期。

**二维位移测量原理：**

- 一个同心圆光栅固定，另一个随被测物体移动
- 莫尔条纹的方向给出位移的方向
- 莫尔条纹的移动量给出位移的大小
- 二维信息同时获取

**优点：**

- 同时测量 $x$ 和 $y$ 方向位移
- 无需区分两个正交光栅
- 适合二维精密定位

##### 7.3.3 用于应力变形测量

**基本原理：**

将光栅粘贴在被测构件表面，构件受力变形时，光栅随之变形（周期和方向发生变化）。变形前后的光栅叠合（或变形光栅与参考光栅叠合），产生莫尔条纹。

**应变与莫尔条纹的关系：**

设原始光栅周期为 $d$，变形后周期变为 $d + \Delta d$。

莫尔条纹周期：$\Lambda = \frac{d(d+\Delta d)}{|\Delta d|} \approx \frac{d^2}{|\Delta d|}$

应变：$\varepsilon = \frac{\Delta d}{d} = \frac{d}{\Lambda}$

**从莫尔条纹图解读应变：**

- 条纹越密 → 应变越大
- 条纹为等间距直线 → 均匀应变
- 条纹弯曲 → 应变梯度

**应变分量测量：**

- 用水平光栅 → 测量 $\varepsilon_x$
- 用垂直光栅 → 测量 $\varepsilon_y$
- 用 $\pm 45°$ 光栅 → 测量剪应变 $\gamma_{xy}$

**优点：**

- 全场测量（非单点测量）
- 直观显示应变分布
- 适合复杂形状构件

**缺点：**

- 分辨率受光栅周期限制（通常 $\sim 10^{-4}$ 应变）
- 需要贴片，不适合高温等特殊环境

##### 7.3.4 螺旋莫尔及其在光束准直性测量中的应用

**螺旋光栅：**

光栅条纹为螺旋线（类似阿基米德螺旋）。

**螺旋莫尔的形成：**

两个相同的螺旋光栅叠合，一个相对另一个旋转一个小角度 $\theta$，产生螺旋形莫尔条纹。

**莫尔条纹的特征：**

- 条纹呈放射状（从中心向外发散的直线）
- 放射状条纹的数量与旋转角度成正比
- 旋转方向决定条纹旋向

**光束准直性测量：**

利用螺旋莫尔测量光束的准直性（平行度）：

1. 将螺旋光栅置于待测光束中
2. 光束通过光栅产生投影
3. 投影与参考螺旋光栅叠合
4. 莫尔条纹的形状反映光束的波前偏差

**准直性判断：**

- 光束完全准直 → 莫尔条纹为规则的放射状直线
- 光束发散/会聚 → 莫尔条纹弯曲
- 光束有像散 → 莫尔条纹呈椭圆放射状

**应用：**

- 激光器输出光束质量评估
- 望远镜光学系统准直
- 光学加工中的面形检测

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#### 7.4 莫尔轮廓术

莫尔轮廓术（Moiré Profilometry）是利用莫尔条纹测量三维物体表面形貌的技术。

##### 7.4.1 阴影莫尔法

**阴影莫尔法（Shadow Moiré）的原理：**

阴影莫尔法是最简单的莫尔轮廓术，只需要一个光栅。

**光路：**

1. 将光栅放置在待测物体上方（距离物体较近，光栅平面近似平行于物体的基准面）
2. 光源从一侧照射，光栅的影子投射到物体表面
3. 从另一侧（或光栅上方）观察，直接看到光栅本身和物体表面影子的叠加
4. 两者的干涉产生莫尔条纹

**莫尔条纹的物理含义：**

莫尔条纹是物体表面的**等高线**！每条条纹对应物体表面与光栅平面之间的高度差为光栅周期的整数倍。

**高度与条纹级次的关系：**

设光源到光栅的距离为 $L_s$，观察点到光栅的距离为 $L_o$（通常 $L_s \approx L_o \approx L$），光栅周期为 $d$。

第 $N$ 级莫尔条纹对应的高度：

$$h_N = \frac{N \cdot d \cdot L}{L - N \cdot d} \approx N \cdot d \quad (\text{当 } L \gg N \cdot d \text{ 时})$$

更精确的公式（当光源和观察点在光栅法线两侧对称位置）：

$$h_N = \frac{N \cdot d}{\tan\alpha + \tan\beta}$$

其中 $\alpha$ 和 $\beta$ 分别为照明角和观察角。

**条纹级次的确定：**

- 接触点（物体与光栅接触处）：$N = 0$（零级条纹）
- 向外依次为 $N = 1, 2, 3, \ldots$

**优点：**

- 光路极其简单（只需要一个光栅和一个光源）
- 实时观察，无需拍照
- 适合大面积测量

**缺点：**

- 精度较低（受光栅周期限制，通常 $\sim 0.1mm$）
- 需要光栅靠近物体
- 不适合高陡度表面

##### 7.4.2 投影莫尔法

**投影莫尔法（Projection Moiré）的原理：**

投影莫尔法改进了阴影莫尔法，光栅不需要靠近物体，适合测量较大物体。

**光路：**

1. **投影光路**：光源 → 投影光栅 $G_1$ → 投影透镜 → 将光栅像投影到物体表面
2. **观察光路**：物体表面的变形光栅像 → 观察透镜 → 参考光栅 $G_2$（位于像面）→ 相机

物体表面是三维的，因此投影到物体表面的光栅条纹发生变形（不再是等间距直线）。

参考光栅 $G_2$ 与变形光栅像叠合 → 产生莫尔条纹。

**莫尔条纹的含义：**

莫尔条纹仍然是物体表面的等高线，但高度灵敏度由投影几何决定。

**高度灵敏度公式：**

$$\Delta h = \frac{p}{\sin\alpha + \sin\beta}$$

其中 $p$ 为投影光栅在物体上的等效周期，$\alpha$ 为投影角，$\beta$ 为观察角。

**与阴影莫尔的对比：**

| 对比项 | 阴影莫尔 | 投影莫尔 |
|--------|---------|---------|
| 光栅数量 | 1个 | 2个（投影+参考） |
| 光栅与物体距离 | 需紧贴 | 可远距离 |
| 测量范围 | 小 | 大 |
| 精度 | 较低 | 较高 |
| 光路复杂度 | 简单 | 中等 |

##### 7.4.3 扫描莫尔法

**扫描莫尔法（Scanning Moiré）的原理：**

扫描莫尔法是投影莫尔法的进一步发展，通过扫描光栅来消除载频，直接获得包裹相位。

**扫描操作：**

将投影光栅在自身平面内垂直于条纹方向做步进移动（每次移动 $d/N$，$N$ 为步数），每一步拍摄一幅莫尔条纹图。

**相位提取：**

$N$ 步扫描后，每个像素处得到 $N$ 个光强值，用相位步进算法提取相位：

$$\phi(x, y) = \arctan\left(\frac{\sum I_k \sin(2\pi k/N)}{\sum I_k \cos(2\pi k/N)}\right)$$

**优点：**

- 相位精度高于条纹判读（可达 $\lambda/100$）
- 自动提取相位，无需人工判读条纹级次
- 适合计算机自动处理

**应用：**

- 工业零件三维检测
- 人体面部三维扫描
- 文物数字化