信息光学（下）

介绍信息光学的基础知识

第8章 空间滤波

本章是傅里叶光学最具应用价值的章节之一，建立在第3章（传递函数）和第4章（部分相干理论）的基础上，讨论如何在光学系统的频谱面上对光场进行有目的的调制（滤波），从而改变像的性质。核心思想：像 = 物的频谱 × 滤波函数 → 反变换。

核心思想链：

8.1 空间滤波的基本原理

8.1.1 阿贝成像理论

阿贝二次衍射成像理论（1873）：

德国物理学家恩斯特·阿贝（Ernst Abbe）提出了一种全新的成像理论，将成像过程分解为两步衍射过程：

第一步：分频（分解）

物面上的光场分布经照明后，发出各种方向的平面波分量。透镜将这些不同方向的平面波会聚到其后焦面（频谱面）上的不同位置：

频谱面上的每一点对应物面上某一空间频率分量。高频对应大角度（偏离光轴远的点），低频对应小角度（靠近光轴的点）。

第二步：合成（再衍射）

频谱面上各点发出的球面波在像面上再次干涉叠加，合成出物体的像：

阿贝理论的革命性意义：

阿贝-波特实验（1894）：

阿贝的学生波特用实验验证了阿贝理论：

• 用正交光栅（二维周期结构）作为物体
• 在透镜后焦面（频谱面）上观察到规则的点阵（二维频谱）
• 用狭缝挡住频谱面上的某些点 → 像的结构发生相应变化
• 挡住水平方向的频谱点 → 像中水平条纹消失
• 挡住垂直方向的频谱点 → 像中垂直条纹消失

结论：频谱面上的每一点确实对应物面上特定方向和频率的结构信息！

8.1.2 空间滤波的傅里叶分析

4f系统（标准空间滤波系统）：

最经典的空间滤波光路是4f系统（两个透镜，焦距均为 $f$）：

物面 → [透镜1] → 频谱面 → [透镜2] → 像面
  0      f          2f         3f        4f

数学描述：

物面： $U_o(x, y)$

频谱面（透镜1的后焦面）：

在频谱面放置滤波器 $H(x_f, y_f)$：

滤波后的频谱：

像面（透镜2的后焦面）：

卷积定理：

其中 $h(x, y) = \mathcal{F}^{-1}\{H(f_x, f_y)\}$ 是滤波器的脉冲响应（点扩散函数）。

常见滤波器类型：

低通滤波示例：

滤波器为圆孔（只允许低频通过）：

像 = 物与 sinc 函数的卷积 → 高频成分被抑制 → 像变模糊，细节消失。

高通滤波示例：

滤波器为圆孔的补集（挡住低频，通过高频）：

像中的缓慢变化被抑制 → 边缘和细节被增强。

方向滤波示例：

滤波器为一条狭缝（只允许某一方向的频率通过）：

（狭缝方向与 $\theta$ 垂直）

效果：像中只保留与狭缝垂直方向的结构。

8.2 系统与滤波器

8.2.1 空间滤波系统

4f系统的详细分析：

光路构成：

• 光源（通常为激光，经扩束准直）
• 物面（输入面）
• 透镜 L₁（焦距 $f$）
• 频谱面（L₁的后焦面 = L₂的前焦面）
• 透镜 L₂（焦距 $f$）
• 像面（输出面）

为什么是4f？

• 物到 L₁：距离 $f$ → 满足傅里叶变换条件
• L₁到频谱面：距离 $f$ → L₁的后焦面
• 频谱面到 L₂：距离 $f$ → L₂的前焦面
• L₂到像面：距离 $f$ → 满足傅里叶变换条件
• 总长度：$4f$（故称4f系统）

像的倒立：

4f系统经过两次傅里叶变换：

负号表示像是倒立的（与几何光学结论一致）。

相干 vs 非相干4f系统：

相干滤波的优势：

相干滤波可以同时调制振幅和相位，灵活性远大于非相干滤波。例如：

• 相位对比滤波（将相位变化转为振幅变化）
• 匹配滤波（复共轭滤波）
• 微分滤波

8.2.2 空间滤波器

滤波器的制作技术：

1. 振幅型滤波器：

• 金属膜 + 光刻：在玻璃基板上镀金属膜，光刻出透光的图案
• photographic film：用照相底片记录滤波图案
• 液晶空间光调制器（SLM）：实时可编程

2. 相位型滤波器：

• 在透明基板上制作浮雕结构，引入空间变化的相位延迟
• 相息图技术
• 光折变晶体

3. 复合型滤波器（振幅+相位）：

• 全息法制作：用光学全息记录目标滤波函数的复振幅
• 计算全息法：用计算机设计并输出

常用滤波器的透过率函数：

低通滤波器（圆孔）：

物理实现：在频谱面上放一个圆孔光阑。

高通滤波器（圆屏）：

物理实现：在频谱面中心放一个小圆屏（挡住零频和低频）。

带通滤波器（环带）：

物理实现：两个同心圆环之间的透光带。

方向滤波器（狭缝）：

物理实现：一条可旋转的狭缝。

匹配滤波器（复函数）：

其中 $\tilde{O}$ 是目标物的频谱。必须用全息方法制作。

8.3 空间滤波应用举例

8.3.1 策尼克相衬显微镜

问题背景：

生物细胞、细菌等透明样品对光的吸收极小（振幅几乎不变），但会引入相位延迟。在普通显微镜下，相位变化无法被眼睛或相机感知（人眼和探测器只能响应光强），因此透明样品"看不见"。

策尼克的解决方案（1934，1953年获诺贝尔奖）：

将相位变化转换为振幅（光强）变化，使透明样品可见。

原理分析：

透明样品的透过率：

其中：

• “1”：直接透射光（零频成分）
• “$i\phi(x,y)$"：被样品调制的光（高频成分，携带相位信息）

在频谱面上的分离：

• 零频成分集中在频谱面中心（一个亮点）
• 相位调制成分分布在零频周围

相衬滤波器：

在频谱面中心放置一个相移板（Phase Plate），只对零频成分引入 $\pi/2$ 的相位延迟：

滤波后的像：

光强：

关键结果：

像的光强直接正比于样品的相位分布 $\phi(x, y)$！相位信息被转换成了可见的光强变化。

正相衬 vs 负相衬：

• 正相衬：相移板引入 $+\pi/2$ → 相位超前的区域变亮
• 负相衬：相移板引入 $-\pi/2$ → 相位超前的区域变暗

相移板的实现：

在玻璃板上刻一个浅坑（深度 $d = \frac{\lambda}{4(n-1)}$），使通过该区域的光产生 $\pi/2$ 的附加相位。

8.3.2 补偿滤波器

像差补偿滤波：

成像系统存在像差时，传递函数为 $H_{ab}(f_x, f_y) = |H_{ab}|e^{i\phi_{ab}}$。在频谱面放置补偿滤波器：

总传递函数：$H_{total} = H_{ab} \cdot H_{comp} = 1$（理想成像）

实际困难：

• $|H_{ab}|$ 可能为零（截止频率以外），无法补偿
• 需要精确知道系统的像差函数
• 振幅补偿（$1/|H_{ab}|$）难以实现（需要负吸收）

纯相位补偿（波前校正）：

如果像差主要是相位型的（如大气湍流、光学元件面形误差），只需补偿相位：

这正是自适应光学的基本原理。

8.4 傅里叶变换透镜

傅里叶变换透镜的作用

在空间滤波系统中，透镜的核心功能是实现傅里叶变换。但普通透镜并不完全满足理想傅里叶变换的要求：

普通透镜的问题：

1. 相位因子残留：

普通透镜后焦面上的场为：

注意前面有一个二次相位因子 $e^{i\frac{k}{2f}(x_f^2 + y_f^2)}$，这不是严格的傅里叶变换。

2. 消除方法： 将物体放在透镜的前焦面上，则相位因子自动消失（严格傅里叶变换）。

3. 像差问题： 普通透镜对轴上点校正了像差，但傅里叶变换要求对大角度（离轴）的平面波也能精确聚焦 → 需要专门的傅里叶变换透镜。

8.4.1 傅里叶透镜的截止频率、空间带宽积和视场

截止频率：

透镜的孔径限制了可以通过的最高空间频率。

对于直径为 $D$ 的透镜，焦距 $f$：

其中 $\text{NA} = \frac{D}{2f}$ 是透镜的数值孔径。

空间带宽积（SBP）：

对于一维：$\text{SBP}_x = \frac{2x_{max} \cdot D}{\lambda f}$

对于二维：$\text{SBP} = \text{SBP}_x \times \text{SBP}_y$

SBP 表示系统能同时处理的最大独立信息量。

视场（Field of View）：

物体最大尺寸受限于透镜孔径。物面上偏离光轴距离为 $x_o$ 的点，其主光线通过透镜边缘时：

（严格限制取决于具体光路安排）

傅里叶透镜的设计权衡：

8.4.2 傅里叶透镜对校正像差的要求

普通透镜 vs 傅里叶变换透镜：

普通摄影透镜：校正轴上点和近轴区域的像差（物像共轭关系）。

傅里叶变换透镜：需要将不同入射角的平面波精确会聚到焦面上的对应点 → 校正要求完全不同。

具体像差校正要求：

1. 球差（Spherical Aberration）：

必须校正。球差会导致不同孔径的光线聚焦在不同位置，频谱点模糊，降低滤波精度。

2. 彗差（Coma）：

必须校正。彗差使离轴频谱点产生不对称的拖尾，影响方向滤波的精度。

3. 像散（Astigmatism）：

必须校正。像散使频谱点在不同方向上的聚焦位置不同。

4. 场曲（Field Curvature）：

不必完全校正。 频谱面本身可以是曲面（只要探测器/滤波器能适配）。

5. 畸变（Distortion）：

必须严格控制。畸变使频谱面上点的位置发生非线性偏移，即 $x_f \neq \lambda f \cdot f_x$，破坏频率与位置的线性对应关系。

傅里叶变换透镜的畸变要求：< 0.1%（普通透镜可容忍 1-2%）。

6. 色差（Chromatic Aberration）：

对相干光（单色激光）系统不是问题。对白光系统需要校正。

傅里叶变换透镜的设计特点：

• 对称结构（有利于消除畸变和倍率色差）
• 大视场、大孔径
• 通常由多片透镜组合而成
• 设计时以频谱面的波前误差为优化目标（而非像面的点列图）

8.4.3 傅里叶变换透镜的结构

典型结构类型：

1. 双透镜对称结构：

物面 → [透镜组A] → 频谱面 → [透镜组B] → 像面

两个完全对称的透镜组，分别完成正变换和逆变换。

优点：对称性好，畸变自然消除

2. 单透镜结构（简化型）：

仅用于要求不高的场合（如教学演示）。

3. 复杂多片结构（高性能）：

用于科研和工业级空间滤波系统，由8-12片透镜组成。

常见商业傅里叶变换透镜规格：

使用注意事项：

1. 物体必须精确位于前焦面上（误差 < 焦距的 0.1%）
2. 频谱面必须精确位于后焦面上
3. 入射光必须是平行光（准直良好）
4. 滤波器的位置精度应优于频谱点尺寸的 1/10

第9章 波前调制

本章讨论如何对光波的波前（振幅、相位、偏振）进行主动控制和调制。这是现代光信息处理、全息显示、自适应光学和光通信等领域的核心技术。从传统照相胶片的感光特性，到现代空间光调制器（SLM），再到微纳尺度的衍射光学元件（DOE），波前调制技术经历了从被动记录到主动控制、从宏观器件到微纳器件的发展历程。

9.1 照相胶片

虽然照相胶片看似是"老技术”，但它是理解光记录介质物理机制的基础，也是制作空间滤波器、全息图的重要工具。

9.1.1 胶片处理的物理过程

照相胶片的结构：

照相胶片由以下几层组成（从上到下）：

1. 保护层：明胶薄层，防止划伤
2. 感光乳剂层：核心层，厚度约 5-20 μm
   • 包含大量卤化银微晶（AgBr、AgCl、AgI等），尺寸约 0.1-2 μm
   • 微晶分散在明胶基质中
3. 结合层：使乳剂层粘附在基片上
4. 片基：透明基底（醋酸纤维素或聚酯薄膜），厚度约 100-200 μm
5. 防光晕层：防止反射光造成二次曝光

曝光过程（物理化学机制）：

卤化银晶体吸收光子后发生光电效应：

被释放的电子在晶格缺陷处（感光中心）俘获，形成银原子团簇（潜影中心）。含有潜影中心的微晶在显影过程中优先被还原。

显影过程：

显影液（还原剂）将已曝光的卤化银微晶还原为金属银：

未曝光的微晶不被显影。

定影过程：

定影液（硫代硫酸钠，俗称"海波"）溶解未曝光的卤化银：

溶解后的物质被水洗去除。

最终结果：

胶片上形成了由金属银颗粒构成的密度分布图像——负片（曝光越多的地方越暗）。

9.1.2 H-D 曲线

**H-D曲线（Hurter-Driffield曲线）**是描述胶片曝光量与光密度关系的特性曲线，是理解胶片感光性能的核心工具。

定义：

• 横轴：曝光量的对数 $\log_{10} E$（$E = I \cdot t$，光强×时间）
• 纵轴：光密度 $D$

光密度的定义：

其中：

• $I_0$：入射光强
• $I_t$：透射光强
• $T = I_t/I_0$：透射率

H-D曲线的典型形状（S形曲线）：

D ↑
  |                    ___（饱和区/肩部）
  |                  /
  |                 /  ← 直线段（工作区）
  |                /
  |    ___        /
  |   /          /
  |  /（趾部）  /
  | /
  +------------------→ log₁₀E
     曝光量增加 →

曲线各区域的特点：

直线段的数学描述：

其中：

• $D_0$：最小密度（灰雾密度）
• $\gamma$：反差系数（曲线直线段的斜率）

γ 的物理意义：

• $\gamma > 1$：高反差胶片（硬调），对比度大，灰度层次少
• $\gamma = 1$：正常反差，透射率与曝光量成反比
• $\gamma < 1$：低反差胶片（软调），对比度小，灰度层次丰富

胶片的感光度（ISO/ASA）：

感光度定义为达到某一基准密度所需曝光量的倒数。ISO值越大，胶片越灵敏，所需曝光量越小。

胶片的其他重要参数：

9.1.3 胶片用于非相干光学系统中

在非相干（白光）成像系统中，胶片记录的是光强分布，透过率 $T(x, y)$ 与曝光量 $E(x, y)$ 的关系为：

线性化条件：

要使胶片在非相干系统中线性记录光强（$T \propto 1/E$），需要：

此时：

即在胶片的工作区，透射率与曝光量成反比。

实际应用中的校正：

由于实际胶片的 $\gamma$ 通常不等于1，需要通过以下方式校正：

• 选择 $\gamma \approx 1$ 的胶片
• 控制曝光量在直线段中段
• 后期数字校正

9.1.4 胶片用于相干光学系统中

在相干（激光）光学系统中，胶片调制的是复振幅（主要是振幅），而非光强。

振幅透过率的定义：

胶片的 γ 与振幅调制的关系：

在相干系统中，振幅透过率与曝光量的关系：

要使振幅透过率与曝光量成线性关系（$t \propto E$），需要：

这在物理上不可能（$\gamma$ 为正数）。因此，胶片在相干系统中不能实现严格的线性振幅调制。

实际做法：

利用胶片工作区的一小段近似线性区域，通过偏置曝光（Bias Exposure）使工作点位于合适位置：

其中 $E_B$ 是偏置曝光量，$\beta = \left.\frac{dt}{dE}\right|_{E_B}$。

9.1.5 调制传递函数

**调制传递函数（MTF）**是描述成像系统（包括胶片）对不同空间频率的传递能力的函数。

MTF的定义：

其中 $C$ 是对比度（调制深度）：

物理含义：

• $\text{MTF} = 1$：该频率的信号完全无损失地传递
• $\text{MTF} = 0$：该频率的信号完全丢失
• MTF 随频率增大而下降

胶片的MTF特性：

胶片的MTF下降主要由以下因素引起：

1. 银颗粒的有限尺寸：颗粒越大，高频响应越差
2. 光散射：乳剂层内的光散射（H-D曲线的"肩部"和"趾部"）
3. 卤化银晶体的光扩散：光在乳剂层中的横向扩散

典型胶片的MTF曲线：

• 高速胶片（ISO 400+）：颗粒大 → MTF下降快，截止频率低（~50 lp/mm）
• 低速胶片（ISO 25-100）：颗粒细 → MTF下降慢，截止频率高（~200-500 lp/mm）
• 全息干板（特殊）：分辨率可达 3000-5000 lp/mm

系统MTF：

整个成像系统的MTF是各环节MTF的乘积：

MTF与分辨率的关系：

• 截止频率（$\text{MTF} \to 0$）：理论极限分辨率
• 实用分辨率（$\text{MTF} = 0.1$）：实际可用分辨率

9.2 空间光调制器

空间光调制器（Spatial Light Modulator, SLM）是波前调制的核心器件——能够用电信号（或光信号）实时控制光场的空间分布（振幅、相位或偏振）。

9.2.1 概述

空间光调制器的定义：

SLM是一种二维阵列器件，由大量独立可控的像素组成，每个像素可以独立调制通过它的光的某个属性（振幅、相位、偏振方向）。

SLM与胶片的核心区别：

SLM的分类（按调制方式）：

SLM的分类（按驱动方式）：

• 电控：液晶SLM、DMD（数字微镜器件）
• 光控：光电导液晶光阀、光折变晶体
• 热控：热光效应SLM
• 磁控：磁光调制器

SLM的主要性能参数：

SLM的主要应用：

• 全息显示（加载CGH图样）
• 自适应光学（波前校正）
• 光镊（产生复杂光阱）
• 光束整形（产生涡旋光、贝塞尔光等）
• 光学信息处理（实时空间滤波）
• 量子光学（产生纠缠态）

9.2.2 液晶光阀

**液晶光阀（Liquid Crystal Light Valve, LCLV）**是最早的实用化空间光调制器之一。

液晶的基本物理：

液晶是介于液态和晶态之间的物质状态，分子具有取向有序性但位置无序性。

向列相液晶的旋光效应：

向列相液晶分子呈棒状，具有各向异性折射率：

• 寻常光折射率 $n_o$（沿短轴方向）
• 非寻常光折射率 $n_e$（沿长轴方向）

当液晶分子在两个平行基板之间扭曲90°排列时（扭曲向列型，TN），入射光的偏振方向随液晶分子的扭曲而旋转90°。

TN型液晶光阀的工作原理：

结构：

玻璃基板（带透明电极ITO）
├── 取向层（摩擦方向：水平）
├── 液晶层（扭曲90°，厚度 ~5-10 μm）
├── 取向层（摩擦方向：垂直）
└── 玻璃基板（带光电导层）

工作方式：

• 无电压时：液晶分子扭曲90°，入射偏振光的偏振方向被旋转90°，通过检偏器 → 亮态
• 有电压时：液晶分子沿电场方向排列，失去旋光能力，偏振方向不变，被检偏器阻挡 → 暗态

透过率与电压的关系：

其中 $V_{th}$ 为阈值电压，$V_{sat}$ 为饱和电压。

光控LCLV（光电导型）：

用光电导材料（如CdS、a-Si）代替下电极，光照射到光电导层上产生载流子，降低局部电阻，从而在液晶层产生局部电压变化 → 实现光写入、光读出。

LCLV的特点：

• 优点：结构相对简单、成本低
• 缺点：响应时间较慢（ms级）、分辨率有限

9.2.3 磁光空间调制器

磁光效应（法拉第效应）：

当线偏振光通过置于磁场中的磁光材料时，偏振面会发生旋转，旋转角为：

其中：

• $V$：费尔德（Verdet）常数（材料特性）
• $B$：磁感应强度
• $L$：光在材料中传播的距离

磁光调制器的工作原理：

利用微型电磁线圈阵列（每个像素一个线圈）产生局部磁场，控制通过该像素的光的偏振旋转角度。配合检偏器即可将偏振旋转转化为振幅调制。

磁光材料：

• 钇铁石榴石（YIG，Y₃Fe₅O₁₂）
• 铽镓石榴石（TGG）
• 磁性薄膜（Fe、Co合金薄膜）

特点：

• 响应速度快（μs级）
• 耐辐射、耐高温
• 但驱动电流大、功耗高
• 分辨率受线圈尺寸限制

主要应用：

• 高速光开关
• 激光防护
• 空间光互连

9.2.4 可变形反射镜空间光调制器

可变形反射镜（Deformable Mirror, DM）是一种通过机械变形反射面来调制光波相位的器件。

工作原理：

反射镜的表面形状可以被多个致动器（Actuator）独立驱动而变形。每个致动器对应镜面上的一个区域，通过控制各致动器的位移量，可以在镜面上形成任意的面形（相位分布）。

相位调制原理：

镜面局部变形量 $\Delta h$ 引起的相位变化：

（因子2是因为光往返经过反射面）

致动器类型：

可变形镜的分类：

• 连续镜面DM：反射面是一整块薄镜，致动器在背面推拉
• 分立镜面DM（Segmented DM）：反射面由多个独立的小镜面拼接而成

主要性能参数：

应用领域：

• 自适应光学（天文望远镜校正大气湍流）
• 激光光束质量控制
• 视网膜成像（校正人眼像差）
• 光通信（大气信道补偿）

9.2.5 LCOS空间光调制器

**LCOS（Liquid Crystal on Silicon）**是目前应用最广泛的SLM技术之一，结合了液晶调制和CMOS集成电路的优势。

结构：

┌─────────────────────────────────┐
│  玻璃保护窗（带AR膜）           │
│  透明电极（ITO）               │
│  液晶层（~2-5 μm）            │
│  像素电极（Al，反射式）       │
│  CMOS驱动芯片（含控制电路）   │
│  硅衬底                       │
└─────────────────────────────────┘

工作原理：

• CMOS芯片的每个像素包含一个反射电极和驱动晶体管
• 液晶层位于反射电极和透明电极之间
• 电压施加在液晶层上，控制液晶分子的取向
• 光从透明侧入射，经液晶层→反射电极→液晶层→出射
• 往返两次经过液晶层，相位调制效率翻倍

LCOS的类型：

相位型LCOS：

• 液晶分子平行于基片排列（平行排列，Homogeneous）
• 通过电压控制液晶分子的倾角，改变有效折射率
• 实现 $0 \sim 2\pi$ 的纯相位调制
• 用于全息显示、光束整形

振幅型LCOS：

• 在LCOS前后加偏振片
• 液晶的偏振旋转效应转化为振幅调制
• 用于显示、空间滤波

LCOS的优势：

LCOS的局限性：

• 相位响应非线性，需要校准（查表校正）
• 存在"闪烁"效应（fringing field，相邻像素间电场畸变）
• 对波长敏感（设计波长固定的相位调制量，换波长需要重新校准）
• 刷新率有限（液晶响应时间限制，通常60-240 Hz）

高速LCOS（铁电液晶LCOS）：

使用铁电液晶（FLC）代替向列相液晶：

• 响应时间：μs级（比向列相快1000倍）
• 但只能实现二值相位调制（0或$\pi$）
• 用于高速全息显示

9.3 衍射光学元件

衍射光学元件（Diffractive Optical Element, DOE）是利用微纳结构表面产生的衍射效应来实现光波调制的器件，代表了波前调制技术从"宏观"走向"微纳"的发展方向。

9.3.1 微光学与二元光学

微光学（Micro-optics）：

微光学是研究和制作特征尺寸在微米量级的光学元件的学科。与传统光学元件（透镜、棱镜等）相比：

二元光学（Binary Optics）：

二元光学是微光学的重要分支，其特点是：

• 元件表面结构由二值（或多级）台阶构成
• 用半导体工艺（光刻+刻蚀）制作
• 可实现任意波前调制（透镜、分束器、光束整形等）

“二元"的含义：

• 最初：每个位置只有两种状态（透/不透、高/低）→ 二值
• 扩展：多个二值掩模叠加 → 多级台阶（4级、8级、16级…）
• 极限：台阶数 → ∞ → 连续表面（折射透镜）

二元光学的核心优势：

• 轻量化：薄膜结构，重量远小于传统透镜
• 多功能集成：一个元件可实现多种光学功能
• 可批量制造：半导体工艺，成本低
• 设计自由度大：不受传统光学表面（球面/非球面）的限制
• 特殊功能：传统光学无法实现的功能（如涡旋相位板、拓扑荷元件）

9.3.2 二元光学的产生和发展

历史沿革：

二元光学的技术驱动力：

1. 半导体工业的溢出效应：光刻、刻蚀、薄膜沉积等工艺成熟
2. 计算机设计能力的提升：优化算法（GS算法、遗传算法等）
3. 应用需求：光通信、激光加工、AR/VR显示等

二元光学与传统光学设计哲学的对比：

9.3.3 二元光学元件的设计

设计问题的数学表述：

已知：

• 输入光场 $U_{in}(x, y)$
• 期望的输出光场 $U_{out}(x', y')$

求：元件的透过率函数 $t(x, y)$，使得

其中 $\mathcal{P}$ 表示传播算子（傅里叶变换、菲涅耳衍射等）。

设计方法分类：

1. 解析法（Analytical Method）：

当输入和输出之间的关系有解析解时，直接计算透过率函数。

典型例子：二元透镜（Fresnel Zone Plate）

透镜的相位函数：

二元化（二值相位）：

即：交替的透明环和不透明环（Fresnel波带片）。

2. 迭代傅里叶变换算法（Gerchberg-Saxton算法）：

GS算法是最经典的迭代优化算法，用于设计纯相位元件：

初始化：随机相位 φ₀(x,y)
迭代：
  ① 正向传播到输出面：U_out = F{exp(iφₙ)}
  ② 替换振幅为期望振幅：U'_out = A_target · exp(i·arg(U_out))
  ③ 反向传播回元件面：U_in = F⁻¹{U'_out}
  ④ 替换振幅为输入振幅：U'_in = A_in · exp(i·arg(U_in))
  ⑤ φₙ₊₁ = arg(U'_in)
  直到收敛

3. 直接二元搜索算法（DBS）：

将元件面离散化为二值像素阵列，逐个像素翻转，接受使评价函数改善的翻转。

4. 模拟退火/遗传算法：

全局优化方法，适合复杂目标函数的优化，但计算量大。

典型二元光学元件的设计：

（1）二元菲涅耳透镜：

相位函数：$\phi(r) = -\frac{\pi r^2}{\lambda f}$

N级台阶近似：

衍射效率：

（2）达曼光栅（Dammann Grating）：

产生等强度多光束分束。设计变量为二值光栅的跃变点位置，优化目标是各衍射级次的强度均匀性。

（3）涡旋相位板：

产生携带轨道角动量的涡旋光束：

其中 $l$ 为拓扑荷（整数），$\theta$ 为方位角。

9.3.4 二元光学元件的制作

制作流程（以硅基DOE为例）：

硅片 → 清洗 → 涂胶 → 曝光（光刻）→ 显影 → 刻蚀 → 去胶 → 检测

关键工艺步骤：

1. 光刻（Photolithography）：

• 涂覆光刻胶（正胶或负胶）
• 用掩模版进行紫外曝光
• 显影后形成图形化的光刻胶掩模
• 最小特征尺寸：~0.5 μm（紫外光刻）

2. 刻蚀（Etching）：

• 干法刻蚀（反应离子刻蚀RIE）：
  • 各向异性好（垂直刻蚀）
  • 刻蚀深度精确可控
  • 适合制作多级台阶
• 湿法刻蚀：
  • 各向同性（侧向腐蚀）
  • 成本低
  • 适合大批量生产

3. 多级台阶的制作（N级需要log₂N次掩模）：

以4级台阶为例（需2次掩模）：

• 第一次掩模：刻蚀深度 $d_1 = \frac{\lambda}{2(n-1)}$（对应$\pi$相位）
• 第二次掩模：刻蚀深度 $d_2 = \frac{\lambda}{4(n-1)}$（对应$\pi/2$相位）
• 两次掩模的图形互不重叠，叠加后形成4级台阶

4. 其他制作技术：

质量检测：

• 表面形貌：原子力显微镜（AFM）、扫描电子显微镜（SEM）
• 光学性能：衍射效率测量、波前测试（干涉仪）

第10章 相干光学处理

本章是傅里叶光学理论的综合应用章，建立在第3章（线性系统理论）、第4章（衍射与傅里叶光学）和第8章（空间滤波）的基础上，讨论如何利用相干光（激光）对图像信息进行各种数学运算和处理。核心优势：相干光处理是对复振幅进行操作，可以同时处理振幅和相位，实现非相干系统无法完成的功能。

10.1 图像相减

图像相减（Image Subtraction）是光学信息处理中最经典的应用之一，目的是比较两幅图像的差异——相同的部分抵消为零，不同的部分保留。

10.1.1 空域编码频域解码相减方法

基本原理：

将两幅图像 $A(x,y)$ 和 $B(x,y)$ 编码为一个合成图像，使它们在频谱面上占据不同的空间频率通道，然后在频域中通过滤波实现相减。

编码步骤：

第一步：光栅调制（载频搬移）

将图像 A 与正交光栅相乘（调制到载频 $+f_0$）：

将图像 B 与同一光栅但相位相反调制（调制到载频 $-f_0$）：

第二步：叠加编码图像

频谱分析：

对编码图像做傅里叶变换：

整理后，频谱包含以下成分：

• 零频区：$\tilde{A}(f_x) + \tilde{B}(f_x)$（两图像频谱之和）
• $+f_0$ 区：$\frac{1}{2}[\tilde{A}e^{i\phi} + \tilde{B}e^{-i\phi}]$
• $-f_0$ 区：$\frac{1}{2}[\tilde{A}e^{-i\phi} + \tilde{B}e^{i\phi}]$

解码（滤波相减）：

在频谱面的 $+f_0$ 处放置滤波器 $H = e^{-i\phi} - e^{i\phi} = -2i\sin\phi$：

逆傅里叶变换后：

结果： 输出光强正比于两图像的差值的平方。

10.1.2 正弦光栅滤波器相减方法

Johns 和 Kozma 方法（1962）：

更简洁的图像相减方案，只需一个正弦光栅作为滤波器。

制作编码图像：

将两幅图像 A 和 B 并排曝光在同一张胶片上，中间夹入一个正弦光栅。两次曝光之间，光栅移动半个周期（相位变化 $\pi$）。

第一次曝光（图像 A）：

其中 $t_g(x) = \frac{1}{2}[1 + \cos(2\pi f_0 x)]$ 是光栅透过率。

第二次曝光（图像 B，光栅移动半周期）：

编码图像：

频谱面上的成分：

滤波相减：

在 $+f_0$ 或 $-f_0$ 处放一个通光小孔（只让一侧的边带通过）：

逆变换后：

光强分布：

应用：

• 医学影像：比较同一患者治疗前后的X光片
• 遥感：检测地表变化（建筑物增减、植被变化）
• 工业检测：产品与标准模板的差异检测

10.2 匹配滤波与图像识别

匹配滤波（Matched Filtering）是光学模式识别的核心技术——在一个复杂场景中自动"找到"目标物体的位置。

10.2.1 匹配空间滤波器

匹配滤波器的概念：

匹配滤波器是信号检测理论中的最优滤波器——在加性白噪声背景下，使输出信噪比最大化的滤波器。

一维信号中的匹配滤波器：

输入信号：$s(t) + n(t)$（信号+噪声）

匹配滤波器的传递函数：

其中 $S(f) = \mathcal{F}\{s(t)\}$ 是信号的频谱，$S^*(f)$ 是其复共轭，$t_0$ 是时间延迟。

二维空间匹配滤波器（光学）：

目标图像：$o(x, y)$

匹配滤波器的透过率函数：

其中 $\tilde{O}(f_x, f_y) = \mathcal{F}\{o(x, y)\}$ 是目标图像的傅里叶变换。

滤波过程：

输入场景 $s(x, y)$（含目标和噪声）→ 傅里叶变换 → 乘以 $H(f_x, f_y)$ → 逆变换

输出：

这就是 $s(x,y)$ 和 $o(x,y)$ 的互相关函数：

匹配滤波的物理含义：

匹配滤波的输出 = 输入场景与目标的互相关！

• 当输入场景中存在目标时，在目标所在位置 $(x_0, y_0)$ 处，互相关函数出现尖锐的峰值
• 峰值位置 = 目标在场景中的位置
• 峰值高度 = 匹配程度（相似度）

信噪比分析：

输出信噪比（峰值信号功率/噪声功率）：

匹配滤波器在所有线性滤波器中使 $\text{SNR}_{out}$ 达到最大值。

10.2.2 用全息制作复数滤波器

问题：

匹配滤波器 $H(f_x, f_y) = \tilde{O}^*(f_x, f_y)$ 是一个复值函数（既有振幅调制，也有相位调制）。但实际的光学元件只能实现实非负的透过率 $0 \leq t \leq 1$。

解决方案：用全息方法制作复数滤波器（Vander Lugt 滤波器，1964）。

制作步骤：

第一步：记录目标频谱的全息图

1. 将目标图像 $o(x, y)$ 放在透镜 L₁ 的前焦面上
2. 用平面波照明，在 L₁ 的后焦面上得到目标的频谱 $\tilde{O}(f_x, f_y)$
3. 同时引入一束离轴平面参考光 $R(f_x, f_y) = A_r e^{i 2\pi f_y \cdot y_f}$（沿 $y$ 方向倾斜）
4. 频谱与参考光干涉，记录在全息干板上

记录面上的光强：

第二步：显影得到全息图

全息图的透过率正比于光强：

第三步：用原参考光照射全息图（再现）

各项含义：

• 第1项：0级衍射（直透光），沿参考光方向
• 第2项：+1级衍射，正比于 $\tilde{O}$（原始频谱）
• 第3项：-1级衍射，正比于 $\tilde{O}^* e^{i 2\pi f_y y_f}$

关键发现：

-1级衍射光正好正比于 $\tilde{O}^*$ 乘以载频相因子！这正是我们需要的匹配滤波器。

Vander Lugt 滤波器的使用：

1. 将制作好的全息图（Vander Lugt 滤波器）精确放回频谱面的原位置
2. 输入待识别场景 $s(x, y)$
3. 场景频谱 $\tilde{S}$ 通过滤波器：

4. 逆变换后，在像面上出现互相关峰值，位置偏移 $y_f$（载频引入的偏移，便于观察）

10.2.3 图像识别

Vander Lugt 相关器（光学模式识别系统）：

完整的光路为4f系统：

输入场景 → [L₁] → 频谱面（Vander Lugt滤波器）→ [L₂] → 相关输出面

输入场景：

（目标 $o$ 出现在位置 $(x_0, y_0)$，加上背景噪声 $n$）

输出面光强分布：

识别判据：

• 输出面上出现亮斑（自相关峰值）的位置 $(x_0, y_0)$ 就是目标在场景中的位置
• 峰值的锐度由目标的自相关函数决定：

识别能力的限制因素：

优点：

• 实时识别（光速处理）
• 并行处理（整个场景同时处理）
• 对噪声和遮挡有较好鲁棒性

10.2.4 联合变换相关识别

**联合变换相关器（Joint Transform Correlator, JTC）**是 Vander Lugt 相关器的替代方案，不需要制作复数滤波器。

JTC 的原理：

第一步：联合输入

将目标图像 $o(x, y)$ 和待识别场景 $s(x, y)$ 并排放置在输入面上：

（两图像中心相距 $2a$）

第二步：傅里叶变换

在频谱面上：

第三步：平方律探测（CCD 记录）

频谱面的光强：

第四步：再次傅里叶变换

对 $I(f_x, f_y)$ 做逆傅里叶变换：

输出面包含四项：

识别信号：

在 $x' = \pm 2a$ 处出现互相关峰值。若场景中存在目标，则在 $+2a$ 处出现尖锐亮斑。

JTC 与 Vander Lugt 的对比：

10.3 不变的图样识别光学方法

标准匹配滤波器对目标的旋转和缩放非常敏感——目标旋转几度就可能无法识别。本节介绍几种实现旋转不变和尺度不变识别的方法。

10.3.1 梅林相关器

梅林变换（Mellin Transform）：

梅林变换是一种积分变换，具有尺度不变性——函数缩放后，其梅林变换只产生一个相位因子。

一维梅林变换定义：

尺度不变性证明：

若 $g(x) = f(ax)$（$a>0$ 为缩放因子），则：

当 $\sigma = 0$（即 $s = i\omega$）时：

结论：梅林变换的模对尺度变化不变！

梅林相关器的实现：

第一步：对数-极坐标变换

将输入图像从直角坐标 $(x, y)$ 变换为对数-极坐标 $(\ln r, \theta)$：

坐标变换的效果：

关键突破： 缩放和旋转在 $(u, v)$ 坐标中都变成了平移！

第二步：标准匹配滤波

在对数-极坐标域中，用普通的匹配滤波器即可实现旋转和尺度不变的识别。

10.3.2 圆谐波相关

圆谐波展开（Circular Harmonic Expansion）：

将图像在极坐标中展开为角向的傅里叶级数：

其中第 $n$ 阶圆谐波系数：

旋转性质：

若图像旋转角度 $\alpha$：

每个圆谐波分量只获得一个相位因子 $e^{-in\alpha}$，其模不变。

旋转不变匹配滤波器：

选择某一阶圆谐波分量 $f_m(r)$ 作为滤波器的设计基础：

其中 $(\rho, \phi)$ 是频谱面的极坐标。

识别输出：

当输入图像旋转 $\alpha$ 时，输出峰值的位置不变，但峰值的相位变化 $m\alpha$。通过检测峰值的相位还可以确定目标的旋转角度。

10.3.3 合成判别式函数

合成判别式函数（Synthetic Discriminant Function, SDF）的思路：不用单一目标的图像来设计滤波器，而是用目标的多个视角/旋转版本的线性组合来设计一个"合成"滤波器，使其对所有版本都能产生足够高的相关峰。

设计方法：

设目标的 $N$ 个训练图像为 $\{o_1, o_2, \ldots, o_N\}$。

合成滤波器：

系数 $\{a_i\}$ 通过求解线性方程组确定，使：

即滤波器对每个训练图像的响应都等于同一常数 $c$。

矩阵形式：

其中 $\mathbf{R}$ 是训练图像之间的互相关矩阵，$\mathbf{u}$ 是期望响应向量（通常为全1向量）。

优点：

• 对目标的视角变化、旋转、形变有较好容忍度
• 设计简单（只需线性代数运算）

10.4 模糊图像的复原

图像在获取或传输过程中可能因各种原因变得模糊（运动模糊、离焦模糊、大气湍流等）。本节介绍如何用相干光学方法进行图像复原（Image Restoration）。

10.4.1 逆滤波器

退化模型：

模糊图像的形成为：

其中：

• $f(x,y)$：原始清晰图像
• $h(x,y)$：退化系统的点扩散函数（PSF）
• $n(x,y)$：加性噪声
• $g(x,y)$：观测到的模糊图像

频域表达：

逆滤波（Inverse Filtering）：

设计滤波器 $H_{inv} = 1/\tilde{H}$，使：

理想情况（无噪声）：

实际情况（有噪声）：

逆滤波的致命问题：

在 $\tilde{H}$ 接近零的频率处（通常是高频区），$\frac{\tilde{N}}{\tilde{H}} \to \infty$，噪声被无限放大，复原结果完全被噪声淹没。

典型退化函数的例子：

（1）匀速直线运动模糊：

零点出现在 $f_x = n/a$（$n = \pm 1, \pm 2, \ldots$）。

（2）离焦模糊：

（Airy 函数，有无穷多个零点）

10.4.2 维纳滤波器

**维纳滤波器（Wiener Filter）**是均方误差意义下的最优线性滤波器，在逆滤波的基础上加入了对噪声的抑制。

设计准则：

使复原图像与原始图像之间的均方误差最小：

维纳滤波器的传递函数：

其中：

• $S_F(f_x, f_y)$：原始图像的功率谱
• $S_N(f_x, f_y)$：噪声的功率谱

与逆滤波的对比：

第二项为正则化因子（也称维纳系数）：

行为分析：

简化形式（常系数近似）：

如果 $S_N/S_F$ 近似为常数 $K$：

光学实现：

维纳滤波器是复值函数，需要用全息方法（类似 Vander Lugt 滤波器）制作。

其他改进的复原方法：

10.5 合成孔径雷达

合成孔径雷达（Synthetic Aperture Radar, SAR）是利用光学信号处理原理对雷达回波数据进行处理的经典应用，是傅里叶光学在微波波段的最重要应用之一。

10.5.1 合成孔径概念

传统雷达的距离分辨率与方位分辨率：

• 距离分辨率（Range Resolution）：由脉冲宽度决定

  $$\Delta R = \frac{c\tau}{2}$$

  （$\tau$ 为脉冲宽度）

• 方位分辨率（Azimuth Resolution）：由天线波束宽度决定

  $$\Delta x = R \cdot \theta_B = R \cdot \frac{\lambda}{D}$$

  （$D$ 为天线孔径，$R$ 为斜距）

问题： 要提高方位分辨率，需要增大天线孔径 $D$。但机载/星载平台无法携带巨大的天线。

合成孔径的思想：

利用雷达平台的运动，将一个小天线在不同位置接收到的信号等效合成为一个大孔径天线的效果。

等效原理：

• 小天线（实际孔径 $d$）在飞行过程中依次经过位置 $x_1, x_2, \ldots, x_N$
• 将这些位置的回波信号相干叠加
• 等效孔径 = 合成孔径长度 $L_s = N \cdot \Delta x$（飞行距离）
• 等效方位分辨率：$\Delta x_{eq} \approx \frac{d}{2}$（与距离和波长无关！）

惊人的结论：合成孔径雷达的方位分辨率只取决于实际天线尺寸的一半，与距离无关！

10.5.2 航向信息的记录

SAR 数据记录方式：

雷达回波信号包含两个维度的信息：

• 快时间（脉冲内时间）→ 距离维信息
• 慢时间（脉冲间时间/航向位置）→ 方位维信息

信号模型：

设目标在位置 $(x_0, R_0)$，雷达沿 $x$ 方向以速度 $v$ 飞行。

雷达到目标的瞬时距离：

回波信号（复数表示）：

关键发现：

回波信号是一个线性调频信号（Chirp Signal），其相位为二次函数：

这恰好等价于一个透镜的相位变换！

等效透镜焦距：

光学处理的思路：

SAR 回波数据记录在胶片上（光密度正比于回波强度），形成一个一维光栅。用激光照射这个"光栅”，配合柱面透镜即可实现聚焦（即方位压缩）。

第11章 非相干光学处理

本章与第10章"相干光学处理"形成对比和互补，讨论以非相干光（自然光、白光、LED等）作为光源的光学信息处理方法。核心优势在于：没有相干噪声（散斑），系统稳定性要求低，更适合工程实用化。

11.1 相干与非相干光学处理

11.1.1 相干与非相干光学处理的比较

两种处理方式的根本区别：

相干处理的独特能力：

• 可处理相位信息（如相衬显微、全息）
• 可实现复数滤波（匹配滤波、逆滤波）
• 可做严格的傅里叶变换

非相干处理的独特能力：

• 天然对非负实函数做卷积/相关
• 可用白光光源，系统简单可靠
• 无相干噪声干扰

OTF（光学传递函数）的性质：

非相干系统的OTF是相干系统光瞳函数的自相关：

其中 $P(x,y)$ 是光瞳函数。

OTF的重要性质：

• $\text{OTF}(0,0) = 1$（归一化）
• $|\text{OTF}(f_x, f_y)| \leq 1$（非相干系统只会降低对比度）
• OTF的截止频率是CTF的两倍（非相干分辨率更高）

11.1.2 非相干光学处理系统的噪声抑制

非相干系统的噪声来源：

• 散粒噪声（光子统计涨落）：不可消除，是物理极限
• 探测器噪声（暗电流、读出噪声）
• 光源涨落噪声
• 背景杂散光

相干散斑噪声在非相干系统中的消失：

相干散斑（Speckle）源于大量随机相位散射光的干涉。在非相干照明下：

• 不同点光源之间无固定相位关系
• 强度直接叠加，不产生干涉条纹
• 散斑完全消失

信噪比改善：

用空间非相干扩展光源照明，等效于对散斑图样做空间平均：

其中 $N_{photon}$ 为接收到的总光子数。扩展光源面积越大，散斑对比度越低。

11.2 基于几何光学的非相干处理系统

11.2.1 成像

几何光学成像模型：

在非相干成像系统中，物体上每一点发出的光经透镜会聚到像面上的对应点。理想成像时物像一一对应。

实际成像（考虑衍射和像差）：

像面光强分布 = 物面光强分布与系统点扩散函数（PSF）的卷积：

其中 $\text{PSF}(x,y) = |h(x,y)|^2$，$h(x,y)$ 是相干脉冲响应（光瞳函数的傅里叶变换）。

非相干成像的频率响应：

OTF = $\mathcal{F}\{\text{PSF}\}$

11.2.2 无运动元件的卷积和相关运算

卷积运算的几何光学实现：

在非相干系统中，卷积 = 物函数与PSF的卷积。关键思想：设计系统的PSF使其等于所需的卷积核。

方法一：在光瞳面放置振幅掩模

光瞳函数 $P(x,y)$ 决定了PSF：

通过设计光瞳面的透过率分布，可以间接控制PSF的形状。

方法二：双光栅卷积

将两个光栅叠放在成像光路中：

• 光栅1（物体侧）的透过率 = $f(x)$
• 光栅2（像面侧）的透过率 = $g(x)$
• 两光栅之间有一漫射器（消除相干性）

输出光强正比于 $f(x) \ast g(-x)$，即互相关。

相关运算：

相关与卷积的区别在于一个函数是否翻转。通过适当的光路安排（如反射镜），可实现相关运算。

优点（无运动元件）：

• 无需机械扫描
• 处理速度快（光速）
• 适合实时处理

缺点：

• 只能处理非负实函数
• 设计光瞳函数受限（$0 \leq |P| \leq 1$）

11.2.3 用散焦系统得到脉冲响应的综合

散焦系统的PSF：

当像面偏离理想聚焦位置时，点光源在像面上形成一个模糊圆斑（弥散圆）。

弥散圆半径：

其中 $D$ 为入瞳直径，$\Delta z$ 为离焦量，$d_i$ 为像距。

离焦PSF的表达式：

即均匀圆斑。

利用离焦综合任意PSF：

如果将光瞳面分割为多个区域，每个区域有不同的透过率和相位，则离焦时的PSF可以是这些区域的贡献之和。

广义原理（波前编码）：

在光瞳面放置特殊的相位掩模（如立方相位板 $\phi(x,y) = \alpha(x^3 + y^3)$），使PSF对离焦不敏感，然后在数字域做反卷积恢复。这就是**波前编码（Wavefront Coding）**技术。

11.3 基于衍射的非相干处理——非相干频域综合

11.3.1 切趾术

**切趾术（Apodization）**是通过修改光瞳函数的振幅分布来改变系统PSF的旁瓣结构的技术。

问题背景：

理想光瞳（均匀圆形）的PSF是Airy斑：

Airy斑有较高的旁瓣（第一旁瓣约为主瓣的1.75%），在天文观测中会淹没邻近的暗星。

切趾的目的：

• 压低旁瓣（提高对比度）
• 代价：主瓣变宽（分辨率略有下降）

常见切趾函数：

数学原理：

PSF = $|\mathcal{F}\{P(r)\}|^2$

• 光瞳函数越平滑（边缘渐变为0）→ 频谱的旁瓣越低
• 光瞳函数越陡峭（阶跃边缘）→ 频谱的旁瓣越高（Gibbs现象）

应用：

• 天文望远镜（观测暗弱天体）
• 光谱仪（提高谱线分辨率）
• 激光束整形

11.3.2 沃耳特(Wolter)最小强度检出滤波器

沃耳特滤波器的目的：

在非相干成像系统中，检测微弱信号（低对比度目标）的存在。

基本原理：

沃耳特滤波器通过在光瞳面上设计特殊的振幅分布，使系统的OTF在特定频率处达到最小值（甚至零点）。当输入图像中含有该频率的成分时，输出对比度极低（被"滤除"）。

反转使用：

如果在滤波器前先将目标频谱做预调制，使得目标频率成分移到OTF的最大值处，而背景移到OTF的最小值处 → 目标信号相对于背景的信噪比大幅提高。

11.4 白光光学信息处理技术

白光（宽谱光源）光学处理结合了非相干系统的"无散斑"优势和频域处理的能力。

11.4.1 白光光学处理的基本原理

白光光源的特殊性：

白光是多色光（宽谱），时间相干性极低。不同波长成分之间不相干，同一波长的不同方向之间也不相干。

白光系统的处理原理：

虽然白光没有空间相干性，但在色散系统中，不同波长的光在空间中分开，每个波长成分独立地进行傅里叶变换和处理，最后再叠加。

白光处理系统的核心元件——色散元件：

• 光栅（Grating）：将白光色散为光谱
• 棱镜（Prism）：波长→空间位置的映射

白光4f处理系统：

白光光源 → 狭缝 → [L₁] → 频谱面（光栅色散）→ [L₂] → 输出面

在频谱面上：

• 一个方向（如 $x$ 方向）：空间频率编码（来自物体的结构）
• 垂直方向（如 $y$ 方向）：波长色散（来自光源的谱宽）

白光处理的优势：

• 每个波长独立处理 → 无散斑
• 不同波长的处理结果在输出面叠加 → 可实现彩色编码
• 光源便宜（卤素灯、白光LED），无需激光器

11.4.2 实时假彩色编码

假彩色编码的概念：

将灰度图像（黑白图像）通过光学处理转换为彩色图像，使不同灰度等级对应不同颜色，增强图像的可视性和信息可读性。

白光假彩色编码的原理：

编码步骤：

1. 将输入灰度图像用光栅进行空间调制：

   $$t(x) = a + b \cdot g(x) \cdot \cos(2\pi f_0 x)$$

   其中 $g(x)$ 是图像的灰度分布。

2. 白光通过光栅后，不同波长的一级衍射角不同：

   $$\sin\theta = \frac{\lambda}{d}$$

3. 在频谱面上放置彩色滤波器：

   • 红光区域：高通滤波
   • 绿光区域：带通滤波
   • 蓝光区域：低通滤波

4. 输出面上的彩色像：

   • 图像的高频成分（边缘、细节）→ 红色
   • 中频成分 → 绿色
   • 低频成分（均匀背景）→ 蓝色

实时假彩色编码的实现：

用白光光源 + 实时空间光调制器（LCOS）+ 色散光栅，可实现视频帧率的实时假彩色编码。

应用：

• 医学影像增强（X光片、超声图像的伪彩色显示）
• 遥感图像的地物分类
• 红外热像的可视化

11.5 相位调制假彩色编码

这是白光信息处理中一种特殊的编码技术——用相位调制（而非振幅调制）来编码灰度信息。

11.5.1 光栅抽样

光栅抽样的原理：

将连续图像用一维或二维光栅进行空间抽样，使图像信息被"载"到光栅的各衍射级次上。

一维光栅抽样：

其中 $c_n$ 是光栅的傅里叶系数。

频谱：

即原图像频谱被复制到各个衍射级次 $n f_0$ 处。

二维光栅抽样（正交光栅）：

频谱被复制到二维网格的各个节点上。

11.5.2 漂白处理

漂白（Bleaching）的概念：

将振幅型光栅（吸收型）转化为相位型光栅（透明但有相位调制）的处理过程。

物理机制：

• 振幅型光栅：银颗粒分布不均匀 → 透过率变化
• 漂白液将银颗粒转化为透明化合物 → 振幅调制消失
• 但化合物与基片折射率不同 → 产生相位调制

漂白后的透过率：

其中 $\phi(x)$ 正比于原光栅的振幅分布。

漂白处理的优点：

• 光能利用率高（无吸收，透过率接近100%）
• 衍射效率提高
• 适合白光处理系统（不引入色散吸收）

11.5.3 白光信息处理系统中的滤波解调

解调的基本思想：

在白光处理系统中，经过编码和滤波后的信号需要通过解调恢复为可视图像。

白光解调的光路：

编码输入 → [L₁] → 频谱面（滤波）→ [L₂] → 输出面（解调像）

频率-波长映射关系：

白光系统中一个独特的现象是空间频率与波长的交叉耦合：

其中 $x_f$ 是频谱面上的位置，$\lambda$ 是波长，$f_x$ 是空间频率。

这意味着：

• 同一空间频率 → 不同波长 → 频谱面上不同位置
• 同一频谱面位置 → 不同波长对应不同空间频率

解调滤波器的设计：

利用上述映射关系，在频谱面上放置的滤波器可以同时对空间频率和波长进行联合调制，实现：

• 边缘增强（高通）
• 平滑去噪（低通）
• 假彩色编码（波长选择性滤波）

第12章 几个变换在光学中的应用

本章将多种重要的数学变换引入光学信息处理领域，展示了光学系统不仅能实现标准的傅里叶变换，还能实现分数傅里叶变换、几何变换、Hankel变换、Radon变换、Hough变换和小波变换等丰富的数学操作。这些变换为光学信号处理、图像识别、三维重建和医学成像等应用提供了强大的理论基础。

12.1 分数傅里叶变换

分数傅里叶变换（Fractional Fourier Transform, FrFT）是传统傅里叶变换的推广，是近年来光学信息处理中最重要的发展之一。

12.1.1 分数傅里叶变换的定义

从旋转角度理解傅里叶变换：

传统傅里叶变换可以理解为在相空间（位置-频率空间）中将信号旋转90°：

分数傅里叶变换则是将信号旋转一个任意角度 $\alpha = p \cdot \frac{\pi}{2}$（$p$ 为任意实数）：

其中 $K_p(x', x)$ 是分数傅里叶变换的核函数：

其中：

• $\alpha = p \cdot \frac{\pi}{2}$（旋转角）
• $A_\alpha = \frac{\exp[-i\frac{\pi}{4}\text{sgn}(\sin\alpha)]}{\sqrt{|\sin\alpha|}}$
• $p$：分数阶次（$p=1$ 时还原为标准傅里叶变换）

整数阶次的特例：

分数阶的连续性：

$p$ 可以是任意实数，因此 FrFT 构成一个连续群（旋转群 SO(2) 在信号空间上的表示）。

12.1.2 分数傅里叶变换的几个基本性质

1. 可加性（旋转角可加）：

这是 FrFT 最核心的性质——两次分数傅里叶变换等价于一次阶次相加的变换。

2. 可逆性：

逆变换的阶次为负。

3. 线性：

4. 帕塞瓦尔定理：

能量守恒。

5. 与标准傅里叶变换的关系：

6. 分数阶卷积定理：

存在分数阶卷积的定义，使得：

7. 缩放性质：

若 $g(x) = f(ax)$，则 $\mathcal{F}^p\{g\}$ 的表达式可通过坐标变换得到。

12.1.3 用透镜系统实现分数傅里叶变换

FrFT的光学实现是本领域最重要的结果之一。

标准傅里叶变换的光学实现回顾：

物体放在透镜的前焦面上 → 后焦面上得到标准傅里叶变换。

分数傅里叶变换的光学实现：

方法一：单透镜系统（Lohmann Type I）

输入面 → [距离 d₁] → [透镜 f] → [距离 d₂] → 输出面

当满足以下条件时，输出面得到输入信号的分数傅里叶变换：

其中 $\alpha = p \cdot \frac{\pi}{2}$。

变换的阶次由距离决定：

当 $d = f$ 时，$p = 1$，回到标准傅里叶变换。

方法二：双透镜系统（Lohmann Type II）

输入面 → [距离 d] → [透镜 f₁] → [距离 L] → [透镜 f₂] → [距离 d] → 输出面

通过选择适当的 $f_1$、$f_2$、$d$、$L$，可实现任意阶次的 FrFT。

物理意义：

FrFT 对应于光场在相空间（Wigner分布空间）中的旋转。标准傅里叶变换是旋转90°，分数傅里叶变换是旋转任意角度。

Wigner分布与FrFT：

信号的 Wigner 分布函数：

FrFT 的作用就是在 $(x, f_x)$ 相空间中将 Wigner 分布旋转角度 $\alpha$：

FrFT的应用：

12.2 几何变换

12.2.1 几何变换定义和种类

**几何变换（Geometric Transformation）**是指对图像进行坐标变换（而非灰度变换）的操作。

一般形式：

其中 $T$ 是坐标映射函数。

常见的几何变换类型：

12.2.2 广义几何变换

广义几何变换超越简单的坐标映射，包括非线性变换和任意映射。

数学描述：

输出图像：$g(x', y') = f(T^{-1}(x', y'))$

其中 $T^{-1}$ 是反向映射（从输出坐标回到输入坐标）。

非线性几何变换的例子：

桶形畸变/枕形畸变：

其中 $k>0$ 为桶形畸变，$k<0$ 为枕形畸变。

极坐标→直角坐标映射（用于旋转不变识别）：

将图像从 $(x, y)$ 变换到 $(u, v) = (\ln\sqrt{x^2+y^2}, \arctan(y/x))$。

旋转在原图中对应 $\Delta\theta$，在 $(u,v)$ 空间中对应 $v$ 方向的平移。

12.2.3 几何变换的光学实现

用光学系统实现几何变换的优势：

• 光速并行处理（整个图像同时变换）
• 无需数字化和计算机运算

实现方法：

1. 光纤束（Fiber Bundle）方法：

将输入端的光纤按一种几何排列，输出端按另一种排列 → 实现坐标映射。

例如：输入端按直角网格排列，输出端按极坐标排列 → 实现直角→极坐标变换。

2. 空间光调制器（SLM）方法：

用两个SLM配合透镜系统，通过相位调制实现坐标变换。

3. 折射/反射光学元件：

特殊面形的透镜或反射镜可以实现特定的几何变换。

例如：轴锥镜（Axicon）实现直角→极坐标的光场变换。

4. 全息方法：

用计算全息图编码所需的坐标映射关系。

12.3 Hankel 变换

12.3.1 Hankel 变换的数学定义

Hankel 变换是傅里叶变换在圆对称条件下的特殊形式，也称为傅里叶-贝塞尔变换。

定义：

对于圆对称函数 $f(r)$（仅依赖于径向坐标 $r = \sqrt{x^2+y^2}$），其零阶Hankel变换为：

其中 $J_0$ 是零阶第一类贝塞尔函数。

逆变换：

Hankel 变换是自逆的（与傅里叶变换类似）。

$n$ 阶Hankel变换：

12.3.2 极坐标下的傅里叶变换

与二维傅里叶变换的关系：

二维傅里叶变换的一般形式：

转换到极坐标：

• 空域：$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$
• 频域：$f_x = \rho\cos\phi$，$f_y = \rho\sin\phi$

当 $f(x,y)$ 是圆对称的（即 $f(x,y) = f(r)$）：

利用贝塞尔函数的积分表达式：

得到：

结论：圆对称函数的二维傅里叶变换 = 其零阶Hankel变换。

重要性质：

圆对称函数的傅里叶变换仍然是圆对称的，且只需计算一维积分（而非二维）。

光学中的典型例子：

（1）圆孔的傅里叶变换：

这就是著名的 Airy 图案的振幅分布。

（2）高斯光束：

高斯函数的傅里叶变换仍为高斯函数。

（3）轴锥镜（Axicon）：

轴锥镜产生的光场沿轴向的分布需要用Hankel变换来描述。

12.4 Radon 变换

12.4.1 Radon 变换的定义

Radon 变换是将二维函数沿所有可能的直线进行线积分所得到的变换，是计算机断层成像（CT）的数学基础。

定义：

对于二维函数 $f(x, y)$，其 Radon 变换定义为沿直线 $L(s, \theta)$ 的线积分：

其中：

• $s$：直线到原点的距离（有正负）
• $\theta$：直线法线与 $x$ 轴的夹角
• $\delta$：Dirac δ 函数

物理含义：

$\mathcal{R}\{f\}(s, \theta)$ 是函数 $f(x,y)$ 沿方向 $\theta$、距原点距离为 $s$ 的直线上所有值的积分。

投影图（Sinogram）：

将 $\mathcal{R}\{f\}(s, \theta)$ 对不同的 $s$ 和 $\theta$ 画成二维图，称为投影图或正弦图（Sinogram）。

名称来源：一个点源 $(x_0, y_0)$ 的 Radon 变换为：

在 $(s, \theta)$ 平面上这是一条正弦曲线。

12.4.2 像的重构

从 Radon 变换恢复原图像（逆 Radon 变换）：

这是 CT 成像的核心问题——从各个角度的投影数据重建物体的截面图像。

中心切片定理（Central Slice Theorem）：

这是连接 Radon 变换和傅里叶变换的桥梁。

定理内容：

函数 $f(x,y)$ 沿角度 $\theta$ 的 Radon 变换的一维傅里叶变换，等于 $f(x,y)$ 的二维傅里叶变换在角度 $\theta$ 方向上的切片：

证明思路：

重建算法：

滤波反投影（Filtered Back-Projection, FBP）：

1. 对每个角度的投影 $\mathcal{R}\{f\}(s, \theta)$ 做一维傅里叶变换
2. 乘以滤波器 $|\rho|$（斜坡滤波器）
3. 逆傅里叶变换
4. 对所有角度进行反投影（Back-projection）

其中 $h(s)$ 是斜坡滤波器的冲激响应。

光学实现 Radon 变换的方法：

1. 扫描法： 用狭缝光束逐线扫描物体，累加得到线积分
2. 全息法： 用体全息存储实现投影的并行获取
3. 透镜阵列法： 用柱面透镜阵列同时获取多个角度的投影

12.5 Hough 变换

12.5.1 Hough 变换定义

Hough 变换是一种用于检测图像中直线、圆等几何形状的变换方法，最初由 Paul Hough 于1962年提出用于粒子轨迹检测。

直线检测的 Hough 变换：

图像中的一条直线可以用参数方程表示：

Hough 变换的思想是：图像空间中的一个点 $(x_0, y_0)$ 对应参数空间 $(s, \theta)$ 中的一条正弦曲线：

图像空间中共线的多个点对应的正弦曲线在参数空间中交于同一点 $(s_0, \theta_0)$。

检测步骤：

1. 将参数空间 $(s, \theta)$ 离散化为累加器数组
2. 对图像中的每个边缘点，在参数空间中画出对应的正弦曲线
3. 沿该曲线对所有累加器单元加1
4. 累加器中的局部最大值即对应图像中的直线参数

圆检测的 Hough 变换：

圆的参数方程：$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$

参数空间为三维 $(a, b, r)$，原理相同但计算量更大。

12.5.2 Hough 变换的光学实现

光学实现 Hough 变换的优势：

• 并行处理（所有边缘点同时参与）
• 高速（光速）
• 适合实时检测

光学实现方法：

方法一：空间光调制器 + 柱面透镜

1. 将边缘检测后的图像加载到SLM上
2. 用柱面透镜系统在光学上实现 $(x, y) \to (s, \theta)$ 的坐标映射
3. 在输出面上，直线对应的参数处出现亮斑

方法二：全息方法

用计算全息图编码 Hough 变换的映射关系，光通过全息图后直接在输出面得到 Hough 空间。

光学 Hough 变换的应用：

• 工业检测中的直线/圆检测
• 医学图像中的血管检测
• 遥感图像中的道路检测
• 机器人视觉中的导航线检测

12.6 光学小波变换

12.6.1 从短时傅里叶变换到小波变换

傅里叶变换的局限性：

傅里叶变换给出信号的全局频率成分，但丢失了时间（位置）信息——无法知道某个频率成分出现在信号的什么位置。

短时傅里叶变换（STFT）：

引入滑动窗口函数 $w(t)$：

窗口 $w(t-\tau)$ 在 $\tau$ 处截取信号的一小段，做局部傅里叶分析。

STFT的局限：

窗口宽度固定 → 时间分辨率和频率分辨率不可兼得（Heisenberg不确定原理）：

• 窗口窄 → 时间分辨率好，频率分辨率差
• 窗口宽 → 频率分辨率好，时间分辨率差

小波变换的突破：

小波变换使用可变宽度的窗口：

• 分析高频成分时使用窄窗口（时间分辨率高）
• 分析低频成分时使用宽窗口（频率分辨率高）

这正是信号分析中所需的行为——高频瞬变事件需要精确定位时间，低频缓变成分需要精确确定频率。

12.6.2 小波变换

连续小波变换（CWT）的定义：

其中：

• $\psi(t)$：母小波函数（Mother Wavelet）
• $a$：尺度参数（$a>0$，对应频率的倒数）
• $b$：平移参数（对应时间位置）
• $\frac{1}{\sqrt{|a|}}$：能量归一化因子

母小波的要求：

其中 $\Psi(\omega) = \mathcal{F}\{\psi(t)\}$。

二维小波变换（图像处理）：

其中 $R_\theta$ 是旋转算子。

小波变换与傅里叶变换的对比：

12.6.3 小波函数

常用的小波函数：

（1）Haar小波（最简单）：

特点：不连续，计算简单，适合阶跃信号。

（2）Daubechies小波（dbN）：

正交小波，具有紧支撑和 vanishing moments。

（3）Mexican Hat（墨西哥帽）小波：

是高斯函数的二阶导数。

（4）Morlet小波：

是调制的复高斯函数，最接近短时傅里叶变换的窗口。

（5）Marr小波（DOG）：

高斯函数的导数族。

多分辨率分析（MRA）：

Mallat 提出多分辨率分析理论，将小波变换理解为信号在不同尺度下的逐层分解：

二维图像的 MRA 分解：

• LL：低频近似（缩小版原图）
• LH：水平细节（水平边缘）
• HL：垂直细节（垂直边缘）
• HH：对角细节（对角边缘）

12.6.4 光学小波变换

光学实现小波变换的意义：

• 高速并行处理
• 适合实时图像处理
• 可用于光学模式识别和特征提取

光学实现方法：

方法一：联合变换相关器（JTC）方法

将小波函数作为参考图像，用 JTC 系统计算输入图像与小波函数的互相关，得到小波系数。

方法二：Vander Lugt 相关器方法

制作小波函数的匹配滤波器（Vander Lugt 滤波器），输入图像通过滤波器后的输出即为小波系数。

方法三：衍射光学元件（DOE）方法

设计 DOE 使其脉冲响应等于特定尺度的小波函数。多个 DOE 级联实现多尺度分解。

方法四：光折变晶体方法

利用光折变晶体的动态全息特性，实时记录小波函数，实现自适应小波变换。

光学小波变换的优势：

• 不同尺度的小波可以并行处理（空间复用）
• 光速运算
• 适合大图像实时处理

12.6.5 光学 Morlet 小波变换的实例

Morlet 小波的特殊价值：

Morlet 小波 $\psi(t) = e^{i\omega_0 t} e^{-t^2/2}$ 本质上是一个带通滤波器（中心频率 $\omega_0$，带宽由高斯包络决定）。

在光学中，Morlet 小波变换等价于用一组Gabor滤波器（不同尺度和方向）对图像进行滤波。

光学实现（基于4f系统）：

在4f系统的频谱面上放置 Morlet 小波的傅里叶变换作为滤波器：

这是一个高斯带通滤波器，中心在 $\omega_0$。

多尺度多方向分解：

用多个不同尺度和方向的 Morlet 滤波器并行滤波：

• 尺度 $a$ → 控制滤波器的带宽
• 方向 $\theta$ → 控制滤波器的取向

应用实例：

• 纹理分析： 不同尺度和方向的 Morlet 小波系数构成纹理特征向量
• 边缘检测： 小波系数大的位置对应图像边缘
• 图像压缩： 保留大系数，舍弃小系数
• 去噪： 阈值处理小波系数

第13章 数字光计算

本章是傅里叶光学和信息光学的延伸，探讨如何将光学技术应用于数字计算和信息处理领域。与传统的电子数字计算不同，数字光计算利用光子的物理特性（如并行性、高带宽、互不干扰等）来实现逻辑运算、矩阵计算、数据互连和海量存储，是突破传统电子计算机物理瓶颈（如散热、带宽限制、时钟延迟）的重要前沿方向。

13.1 光学逻辑运算

光学逻辑运算旨在用光器件（如非线性光学元件、半导体光放大器、干涉仪等）替代晶体管，实现基本的布尔逻辑运算（如与、或、非、异或）。

基本原理： 利用光场的非线性相互作用或干涉效应：

• 干涉原理：两个同频率、同相位的光束相干相长（逻辑“1”），反相位则相消（逻辑“0”）。
• 非线性吸收/折射：在高光强下，材料的透过率或折射率发生突变，实现光开关功能（类似电子三极管的开关特性）。
• 双稳态器件：在特定输入范围内，器件存在两个稳定的输出状态，可用于存储二进制数据。

13.2 离散模拟光学处理器

虽然数字计算精度高，但某些大规模数学运算（如矩阵乘法、卷积）在电子芯片上耗时巨大。离散模拟光学处理器利用光学系统的天然并行性，可以在单次光传输过程中完成海量数据的模拟计算。

13.2.1 信息和系统的离散表示

在光学系统中，连续的模拟光场通过空间光调制器（SLM）和光电探测器（CCD/CMOS）被离散化，表示为数字矩阵或矢量。

13.2.2 串行矩阵-矢量乘法器

利用一维光调制器和柱面透镜系统，通过时间上的串行输入和空间上的并行光学累加，实现矩阵与矢量的乘法运算。这种方式对系统同步性和时间分辨率要求极高。

13.2.3 并行的非相干光矩阵-矢量乘法器

利用二维SLM和非相干光照明：

• 矩阵元素由SLM的透过率或反射率表示。
• 矢量数据由输入光强阵列表示。
• 通过柱面透镜组在探测器上进行一维光学求和（积分）。
• 优势在于整个矩阵-矢量乘积在一个光传输周期内同时完成。

13.2.4 外积处理器

利用两束光在空间上的交叉分布实现矢量外积运算：

其中 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 分别调制两个正交方向的光强分布，其乘积在探测器二维阵列上直接形成矩阵 $\mathbf{C}$。这是构建神经网络光学加速器的核心技术之一。

13.3 光学互连

在传统超大规模集成电路（VLSI）中，金属导线互连的电阻、电容延迟和串扰已成为系统性能的瓶颈。光学互连利用光子代替电子进行芯片内或芯片间的数据传输。

13.3.1 自由空间光互连

• 原理：利用微透镜阵列、分束器或全息光学元件，在自由空间中实现光束的定向传输和路由。
• 优点：带宽极高、无电磁干扰（EMI）、空间交叉互不干扰（可实现三维立体互连）。

13.3.2 光纤和集成光波导光互连

• 原理：利用光波导（如硅光子芯片上的二氧化硅/硅波导）将光信号约束在亚微米尺度内进行引导传输。
• 优点：结构紧凑，可与现有半导体工艺兼容，适合芯片级（On-chip）和板级（Board-level）高密度互连。

13.4 光存储

随着数据量的爆炸式增长，传统磁存储和半导体存储面临容量和寿命的限制。光存储利用光的物理特性实现高密度、长寿命的数据保存。

13.4.1 光盘存储器

利用激光在光敏介质上烧蚀出微米级或纳米级的“凹坑（Pits）”或改变其相变状态（如CD、DVD、Blu-ray），通过反射光强的变化读取二进制数据。其存储容量受限于光斑的衍射极限（$\approx \lambda/2\text{NA}$）。

13.4.2 光全息存储

• 原理：利用体全息技术在光折变晶体（如铌酸锂 $\text{LiNbO}_3$）中记录数据的干涉条纹。通过改变参考光的角度或波长，可以在同一体积内复用存储成百上千张全息图（角度复用或波长复用）。
• 优势：
  • 三维体存储，理论容量可达 TB 级甚至 PB 级。
  • 数据以“页（Page）”为单位并行读写，传输速率极高。
  • 寿命长达数十年。

13.5 光计算机

光计算机（Optical Computer）是结合了上述光学逻辑、模拟处理器、光互连和光存储技术的终极计算系统。

光计算机的分类：

1. 全光数字计算机：利用光学逻辑门实现二进制计算（目前处于实验室探索阶段，受限于光学非线性效应的能耗和体积）。
2. 光电混合计算机：用光进行高速互连和矩阵/模拟运算，用电子进行逻辑控制和结果存储（如当前的光神经网络加速器，是目前最实用的商业化方向）。
3. 量子光计算机：利用光子的量子态（偏振、路径等）进行量子计算，具有极强的并行求解能力（如“九章”量子计算机）。

第14章 光学三维传感

本章系统性地介绍了利用光学手段获取物体三维空间形貌（深度、表面轮廓）的核心理论与技术。与传统的接触式三维测量（如三坐标测量机 CMM）相比，光学三维传感具有非接触、高精度、高速度、大面积测量等无可比拟的优势，广泛应用于工业检测、逆向工程、生物医学和机器人视觉等领域。

14.1 主动三维传感的基本概念

被动三维传感（如双目立体视觉）通过被动接收环境光成像，依赖图像特征匹配，在无纹理或光照不足区域极易失效。 主动三维传感（Active 3D Sensing）则是向被测物体主动投射人工调制光（如点、线、面结构光），通过测量光波在被测表面反射或散射后的几何变化或相位变化，来高精度地解算三维形貌。

14.1.1 主动照明的三维传感方法

根据信息载体和探测原理的不同，主要分为：

• 基于几何三角测量原理：利用几何投影和成像关系（如激光三角法、结构光法）。
• 基于光飞行时间原理（TOF）：测量光脉冲或调制光波在空间传播的时间延迟（如 TOF 相机、激光雷达）。
• 基于干涉原理：利用相干光的干涉条纹变化测量微小高度（如白光干涉、相移干涉）。

14.1.2 三种基本的结构照明方式

1. 点扫描照明：使用单点激光束逐点扫描物体表面。
2. 线扫描（片光）照明：将激光束展开为光片，逐线扫描物体表面。
3. 面结构照明：一次性将整个编码图案（如格雷码、正弦条纹）投射到物体表面，实现单帧或数帧快速获取三维形貌。

14.1.3 三维传感系统的基本组成

一个典型的主动三维传感系统通常由以下模块组成：

• 光源与投影模块（激光器、DLP投影仪等）
• 光电接收模块（CCD/CMOS 图像传感器）
• 同步控制模块（控制投影与拍摄的时序）
• 信号处理与三维重构算法模块（进行相位解算、几何标定与点云生成）

14.2 采用单光束的三维传感

单光束传感最典型的代表是激光三角法（Laser Triangulation）。

14.2.1 基本原理与计算公式

利用三角形相似原理：

1. 激光束以入射角 $\theta$ 投射到物体表面形成漫反射光斑。
2. 接收透镜将光斑成像在光电探测器（如线阵 CCD）上。
3. 当物体表面有高度起伏 $\Delta h$ 时，光斑在探测器上的像发生位移 $\Delta x$。

通过几何关系，高度 $h$ 的计算公式为：

其中 $L$ 为接收透镜到探测器距离，$D$ 为基准光路参数。

14.2.2 散斑对激光三角法精度的影响

激光具有高度的空间相干性，在粗糙表面反射时会产生随机的相干干涉，形成激光散斑（Speckle）。

• 影响：散斑使探测器上的光斑中心发生随机漂移，导致测量高度产生随机噪声，严重制约了三角法的极限测量精度。
• 抑制方法：采用多模激光（降低相干性）、多光源时间平均、或通过空间/角度去相关技术。

14.2.3 测量实例（鞋楦三维面形测量）

展示了激光三角法在制鞋工业中“鞋楦（shoe last）”三维数字化中的具体应用，替代了传统的机械接触式卡尺测量，大幅提高了设计效率和定制精度。

14.2.4 基于激光同步扫描的三维面形测量

为了提高单光束扫描的速度，采用高速振镜或旋转多面棱镜实现激光束的高速偏转，配合探测器的同步采集，实现快速三维面形重建。

14.3 采用激光片光的三维传感

将单点激光扩展为一束激光片光（Laser Sheet），一次获取物体表面的一条线轮廓（Line Profile）。

14.3.1 激光片光的产生

通常采用柱面透镜（Cylindrical Lens）。柱面透镜在单一方向上具有光焦度，而在垂直方向上无光焦度，从而将圆形截面的激光束在单一方向上发散，形成扇形的片光。

14.3.2 测量原理

本质上仍属于三角测量法，但探测器（面阵相机）的整行像素同时记录片光在物体表面弯曲的形貌。配合物体或传感器的相对一维机械运动，即可扫描拼接出完整的三维点云。

14.3.3 测量实例

介绍了激光片光在大型构件、轨道平整度等工业场景中的实际测量方案。

14.4 相位测量剖面术

相位测量剖面术（Phase Measuring Profilometry, PMP），又称相移结构光技术，是目前工业界应用最广泛、精度最高的三维光学测量技术之一。

14.4.1 相位测量剖面术的原理

1. 投影相移光栅：向物体投影一组（通常为3幅或4幅）具有相同空间频率、但相位依次相差 $\delta$（如 $\delta = 2\pi/N$）的正弦条纹图案。
2. 相位提取：相机拍摄受物体高度调制的变形条纹。利用多幅图像的灰度值，通过相移算法（Phase Shifting Algorithm, PSA） 逐像素计算出截断相位（包裹相位，范围在 $[-\pi, \pi]$）： $$\phi(x,y) = \arctan\left[ \frac{\sum I_n \sin(n\delta)}{\sum I_n \cos(n\delta)} \right]$$
3. 相位展开（Phase Unwrapping）：由于高度起伏导致相位被包裹在 $2\pi$ 周期内，需要通过空间或时间相位展开算法，恢复出连续的绝对相位。
4. 高度映射：通过系统标定参数，将展开后的绝对相位一对一地转换为物体表面的实际高度值。

14.4.2 产生结构照明的方法

• 机械光栅莫尔法：利用物理光栅相对运动产生相移（速度慢，精度低，已淘汰）。
• DMD/LCOS 数字投影法：利用数字微镜器件（DMD）直接产生高精度的相移正弦条纹（主流方案）。

14.4.3 相位测量剖面术应用举例

展示了其在复杂机械零件检测、汽车模具逆向工程等领域的应用。

14.5 傅里叶变换剖面术

傅里叶变换剖面术（Fourier Transform Profilometry, FTP） 是一种只需单幅变形条纹图像即可实现三维测量的技术，非常适合动态、瞬态物体的测量。

14.5.1 基本原理

由 M. Takeda 等人于 1983 年提出：

1. 相机拍摄单幅受物体高度调制的变形条纹图： $$I(x,y) = a(x,y) + b(x,y) \cos[2\pi f_0 x + \phi(x,y)]$$ 其中 $f_0$ 为载频，$\phi(x,y)$ 为包含高度信息的相位。
2. 对图像进行二维傅里叶变换，在频谱面上，基频项被载频 $f_0$ 搬移到两侧，与直流背景分量 $a(x,y)$ 分离。
3. 在频域设计一个带通滤波器，滤除背景和负频率成分，只保留一个基频边带。
4. 将滤波后的频谱进行逆傅里叶变换，得到复数信号，求其辐角即可得到截断相位 $\phi(x,y)$。
5. 最后进行相位展开和高度标定。

14.5.2 FTP 方法的测量范围

由于需要频谱面上基频与零频完全分离，载频 $f_0$ 必须足够大。这限制了 FTP 能够测量的最大相位梯度（即物体的最大高度差或坡度），否则会发生频谱混叠。

14.5.3 一种改进的方法

介绍了针对 FTP 频谱混叠和边缘效应的改进算法，如窗口傅里叶变换、小波变换剖面术等。

14.5.4 动态过程三维面形测量

FTP 最大的优势在于“单帧成像”。结合高速相机，可用于测量爆炸冲击波、振动叶片、液滴飞溅等高速瞬态三维形貌。

14.6 调制度测量轮廓术

调制度测量轮廓术（Modulation Measuring Profilometry, MMP） 是一种基于调制度（对比度）而非相位的三维测量方法。

14.6.1 基本原理

当投影仪聚焦于参考平面时，投影到物体表面的条纹对比度（调制度）最高。随着物体表面偏离聚焦平面（即存在高度起伏），条纹变得模糊，其调制度下降。通过测量条纹的调制度分布，即可推算出物体的高度分布。

14.6.2 信息处理方法

通常采用多频外差或离焦投影的方法，通过分析条纹的包络线或频域能量分布来提取调制度信息。

14.6.3 测量实例

该方法对低反射率、不连续表面具有较强的鲁棒性，适用于某些相位法难以处理的特殊材质测量。

14.7 三维轮廓测量其他光学方法

14.7.1 采用激光扫描的三维共焦成像

利用共焦显微镜（Confocal Microscope） 的轴向层析特性。通过轴向扫描物体，只有在物镜焦平面上的点才能在针孔探测器上通过，利用“最大响应对应焦平面位置”的原理，获取超高精度的微观三维形貌。

14.7.2 飞行时间法（Time of Flight, TOF）

通过测量光脉冲发射与接收之间的时间差 $\Delta t$ 来计算距离：

（$c$ 为光速）。常用于大场景、远距离的三维重建（如车载激光雷达、Kinect v2）。

14.7.3 三维电视摄像机

介绍了基于光度立体视觉（Photometric Stereo）或多视点几何的实时三维视频采集系统，用于三维电视、虚拟现实（VR）和增强现实（AR）。