线性代数

介绍线性代数的基础知识

第一章 线性方程组

1.1 线性方程与线性方程组

1. 线性方程的定义

称形如

a₁x₁ + a₂x₂ + ⋯ + aₙxₙ = b

的方程为线性方程（一次方程）。其中 x₁, …, xₙ 是未知量，a₁, …, aₙ 是系数，b 是常数项（通常都属于实数域 ℝ）。

2. 线性方程组的定义

把 m 个线性方程联立，就得到m 个方程、n 个未知量的线性方程组：

(1)  a11·x1 + a12·x2 + ... + a1n·xn = b1
(2)  a21·x1 + a22·x2 + ... + a2n·xn = b2
     ...
(m)  am1·x1 + am2·x2 + ... + amn·xn = bm

三个基本对象（1.4 节将用矩阵统一记号）：

• 系数排成的表 → 系数矩阵 A；
• 常数项排成的列 → 常数向量 b；
• 系数与常数合排的表 → 增广矩阵 (A|b)。

3. 解的分类与几何直观

任何线性方程组的解只有三种可能：

1. 无解（不相容）；
2. 恰有一个解（唯一解）；
3. 无穷多解。

几何直观（n = 2 时每个方程是一条直线）：两直线相交于一点 → 唯一解；重合 → 无穷多解；平行 → 无解。n = 3 时每个方程是一个平面，解是诸平面的公共点（一点、一条直线、一个平面或空集）。这一直观是理解全章的图象基础。

1.2 线性方程组的初等变换

直接"看出"方程组的解通常不可能，思路是：把方程组化简为同解的、更易解的方程组。为此引入三种初等变换（对"方程"操作，记 Eᵢ 为第 i 个方程）：

• (Ⅰ) 交换：互换第 i、j 两个方程的位置，记 Ei <-> Ej；
• (Ⅱ) 倍乘：用非零常数 k 乘第 i 个方程，记 k·Ei (k ≠ 0)；
• (Ⅲ) 倍加：把第 i 个方程的 l 倍加到第 j 个方程上（替换第 j 个），记 Ej + l·Ei。

1.3 解线性方程组的消元法

1. 高斯消元法的步骤

把 1.2 的变换组织成固定流程（Gauss 消元法）：

1. 选主元：看 x₁ 的系数，若第一个方程中为 0，就交换方程，使第 1 个方程的 x₁ 系数非零（该非零系数叫主元）；
2. 消元：用倍加变换把第 2 至第 m 个方程中的 x₁ 全部消成 0；
3. 递归：对剩下的方程（不含 x₁ 的部分）重复上述过程，处理 x₂、x₃……
4. 得阶梯形：最终方程组呈"阶梯"状（每个新方程比上一个少若干未知量）；
5. 回代：从最后一个方程往回依次求出各未知量（回代法）。

1.4 矩阵的定义

1. 定义

由 m×n 个数排成的 m 行 n 列的矩形数表

[ a11  a12  ...  a1n ]
[ a21  a22  ...  a2n ]
[ ...                ]
[ am1  am2  ...  amn ]

称为 m×n 矩阵，记作 A = (aᵢⱼ)ₘₓₙ 或 Aₘₓₙ；aᵢ 称为 A 的**(i, j) 元（元素）。m = n 时称 n 阶方阵。两矩阵相等**指同型且对应元素全相等。

矩阵 ≠ 行列式：行列式是一个数（且只对方阵定义），矩阵只是一张数表，形状任意，本身不"等于"某个数。

2. 常见特殊矩阵

• 零矩阵 O：元素全为 0；
• 对角矩阵 diag(d₁, …, dₙ)：非主对角线元素全为 0 的方阵；
• 数量矩阵 kI：对角元全为 k 的对角矩阵；
• 单位矩阵 I（或 E）：对角元全为 1，如
• 上（下）三角矩阵：主对角线以下（以上）全为 0 的方阵；
• 行向量 / 列向量：1×n 矩阵 / n×1 矩阵。

1.5 矩阵的初等行变换

1. 定义与记号

对矩阵的行施行以下三种变换，称为初等行变换：

• (ⅰ) 交换两行：ri <-> rj；
• (ⅱ) 数乘某行：k·ri（k ≠ 0）；
• (ⅲ) 倍加行：rj + k·ri（第 i 行的 k 倍加到第 j 行）。

对列施行 analogous 的变换叫初等列变换（记 cᵢ）。解方程组时只允许用行变换：行对应方程，行变换即 1.2 的方程初等变换；列变换会打乱未知量的对应关系（列交换相当于给未知量改名，列倍加相当于替换未知量，需额外记录，故不用）。

行等价：A 经有限次初等行变换变成 B，记 A → B，称 A 与 B 行等价。它是等价关系（自反、对称、传递）。

1.6 阶梯形矩阵与简化阶梯形矩阵

1. 行阶梯形（REF）的定义

矩阵 A 称为行阶梯形矩阵，若：

1. 若有零行（元素全为 0 的行），则零行全在最下方；
2. 各非零行的首非零元（每行第一个不为 0 的元，称主元 pivot）的列标随行标严格递增——即主元逐行右移，呈阶梯状。

阶梯形:              非阶梯形(主元左移):    非阶梯形(零行夹在中间):
[ 1  2  3  4 ]       [ 0  1  2 ]          [ 1  2  3 ]
[ 0  0  1  5 ]       [ 1  0  3 ]          [ 0  0  0 ]
[ 0  0  0  2 ]                            [ 0  1  2 ]

2. 简化行阶梯形（RREF，行最简形）的定义

在行阶梯形基础上再加两条： 3. 每个主元都等于 1； 4. 每个主元所在列的其余元素全为 0。

3. 存在性与唯一性定理

定理：任何非零矩阵都可经有限次初等行变换化为行阶梯形，并进一步化为简化行阶梯形；且简化行阶梯形是唯一的（行阶梯形不唯一）。

4. 秩的定义

矩阵 A 的行阶梯形中非零行的行数称为 A 的秩，记 r(A)（或 rank A）。由唯一性定理可证该数与化简路径无关，是矩阵的固有属性。

1.7 关于线性方程组的基本定理

设方程组有 n 个未知量，系数矩阵 A，增广矩阵 (A|b)。

定理 1（有解判据，Kronecker–Capelli）：方程组有解 ⟺ r(A) = r(A|b)。

定理 2（解的个数）：在有解的前提下，

• r(A) = n ⟹ 唯一解；
• r(A) < n ⟹ 无穷多解，且通解中自由参数个数 = n − r(A)。

证明思路（用 RREF）：把 (A|b) 化为简化行阶梯形。若 r(A|b) = r(A) + 1，则多出的那一非零行必为 [0 ... 0 | 1]，即矛盾方程 0 = 1，无解；反之若两秩相等，则常数列不产生主元，全部主元（共 r 个）落在系数部分：r = n 时每个未知量都是主元未知量，解唯一；r < n 时 n − r 个自由未知量可任意取值，每个取值唯一确定一组主元未知量，故得无穷多解，参数个数恰为 n − r。

推论：

• 方程个数 m < 未知量个数 n 时，齐次方程组必有非零解（因 r ≤ m < n，见 1.8）；
• n 个方程 n 个未知量时，“系数矩阵满秩 r(A) = n” 等价于唯一解（后续章节将用行列式 |A| ≠ 0 刻画）。

1.8 齐次线性方程组及其应用

1. 定义与基本事实

常数项全为 0 的方程组 Ax = 0，即

a11·x1 + ... + a1n·xn = 0
...
am1·x1 + ... + amn·xn = 0

称为齐次线性方程组。它永远有解：x₁ = ⋯ = xₙ = 0（零解/平凡解）。

2. 非零解判据

定理：n 元齐次方程组有非零解 ⟺ r(A) < n；只有零解 ⟺ r(A) = n。

推论：m 个方程、n 个未知量且 m < n 时，齐次方程组必有非零解（r(A) ≤ m < n）。

3. 解的线性结构

性质：若 ξ, η 是齐次方程组的解，则对任意常数 c₁, c₂，c₁ξ + c₂η 仍是解。 （证明：A(c₁ξ + c₂η) = c₁Aξ + c₂Aη = 0 + 0 = 0；用方程语言即逐个方程验证线性组合仍满足。） 因此齐次方程组的解集对加法与数乘封闭，构成一个解空间（几何上是过原点的点集：直线、平面……）。

基础解系与通解：设 r(A) = r < n。令 n − r 个自由未知量依次取 (1,0,…,0), (0,1,…,0), …，可解出 n − r 个解 ξ₁, …, ξ_{n−r}，它们线性无关，且任何解都是它们的线性组合——称为基础解系；通解写作

x = c₁ξ₁ + c₂ξ₂ + ⋯ + c_{n−r}ξ_{n−r} （cᵢ 任意）

即解空间是 n − r 维的。

4. 例：求基础解系与通解

(1)  x1 + 0·x2 +  x3 -  x4 = 0
(2)  0·x1 +  x2 +  x3 + 2x4 = 0
(3)  2x1 +  x2 + 3x3 + 0·x4 = 0

消元（r3 − 2r1，再 r3 − r2）：

[  1  0  1 -1 |  0 ]
[  0  1  1  2 |  0 ]
[  0  0  0  0 |  0 ]      r(A) = 2, 自由未知量: x3, x4,  n - r = 2

由最简形：x₁ = −x₃ + x₄，x₂ = −x₃ − 2x₄。 取 (x₃, x₄) = (1, 0) 与 (0, 1)：

ξ₁ = (−1, −1, 1, 0)ᵀ, ξ₂ = (1, −2, 0, 1)ᵀ

通解 x = c₁ξ₁ + c₂ξ₂。

5. 非齐次通解的结构定理

定理：非齐次方程组 Ax = b 的任一解 = 它的某个特解 η + 导出齐次组 Ax = 0 的通解。

第二章 矩阵

2.1 矩阵的线性运算

1. 加法与数乘的定义

设 A = (aᵢ)、B = (bᵢⱼ) 是同型 m×n 矩阵，k 是数，则：

• 加法：A + B = (aᵢⱼ + bᵢⱼ)，即对应元素相加；
• 负矩阵：−A = (−aᵢⱼ)，规定 A − B = A + (−B)；
• 数乘：kA = (k·aᵢ)，即每个元素乘 k。

注意：只有同型矩阵才能相加；数乘是对"每一个"元素作用，不是只对某一行/列。

2.2 矩阵的乘法运算及其性质

1. 定义（行乘列）

设 A 是 m×s 矩阵，B 是 s×n 矩阵（A 的列数 = B 的行数才能相乘），则乘积 C = AB 是 m×n 矩阵，其 (i, j) 元为

cᵢⱼ = aᵢ₁b₁ + a₂b₂ + ⋯ + aᵢₛbₛⱼ = Σₖ aᵢₖbₖⱼ

口诀：C 的第 i 行第 j 列 = A 的第 i 行 与 B 的第 j 列 对应相乘再求和。

A (2x3)            B (3x2)           C = AB (2x2)
[ 1  2  3 ]        [ 1  0 ]          c11 = 1*1+2*0+3*2 = 7
[ 4  5  6 ]        [ 0  1 ]          c12 = 1*2+2*3+3*1 = 11
                   [ 2  3 ]          c21 = 4*1+5*0+6*2 = 16
                                     c22 = 4*2+5*3+6*1 = 29
                  -> C = [  7  11 ]
                         [ 16  29 ]

2. 运算性质

• 结合律：(AB)C = A(BC)（只要依次可乘）；
• 数乘结合：k(AB) = (kA)B = A(kB)；
• 分配律：A(B + C) = AB + AC，(A + B)C = AC + BC；
• 与单位阵：IₘA = A = AIₙ（A 为 m×n）。

3. 三条与数的乘法"不同"之处（极易错）

(1) 不满足交换律：一般 AB ≠ BA，甚至 AB 有意义时 BA 未必有意义。

(2) 有零因子：AB = O 不能推出 A = O 或 B = O。

2.3 方阵

1. 方阵及其特殊类型

行数 = 列数 = n 的矩阵叫 n 阶方阵。常见类型（用代码块对齐展示）：

对角阵 D:              上三角 U:            下三角 L:
[ d1  0   0 ]          [ u11 u12 u13 ]      [ l11  0   0  ]
[  0 d2   0 ]          [  0  u22 u23 ]      [ l21 l22  0  ]
[  0   0  d3]          [  0   0  u33 ]      [ l31 l32 l33 ]

数量阵 kI:             单位阵 I:
[ k 0 0 ]              [ 1 0 0 ]
[ 0 k 0 ]              [ 0 1 0 ]
[ 0 0 k ]              [ 0 0 1 ]

• 对角阵 diag(d₁,…,dₙ)：非主对角元全 0；
• 数量阵 kI：对角元全为 k；特别地 k = 1 为单位阵 I；
• 上（下）三角阵：主对角线以下（以上）全 0。

2. 方阵的运算特点

• 对角阵相乘仍为对角阵，且可交换：diag(dᵢ)·diag(eᵢ) = diag(dᵢe)；
• 数量阵 kI 与任何同阶方阵可交换：(kI)A = A(kI) = kA；
• 上（下）三角阵的和、积、幂仍是上（下）三角阵，对角元分别为对应位置的和、积、幂；
• 单位阵是乘法单位元：IA = AI = A。

2.4 矩阵的转置

1. 定义

把矩阵 A 的行换成同序数的列得到的矩阵，称为 A 的转置，记 Aᵀ（或 A′）。若 A 是 m×n，则 Aᵀ 是 n×m。

2. 运算性质

• (Aᵀ)ᵀ = A；
• (A + B)ᵀ = Aᵀ + Bᵀ；
• (kA)ᵀ = kAᵀ；
• (AB)ᵀ = BᵀAᵀ（顺序颠倒，最重要的一条）。

3. 对称阵与反对称阵

• 对称阵：Aᵀ = A，即 aᵢⱼ = aⱼᵢ（关于主对角线对称）；
• 反对称阵：Aᵀ = −A，即 aᵢⱼ = −aⱼᵢ，从而主对角元必为 0。

对称:                  反对称:
[ 1  2  3 ]            [  0  2 -1 ]
[ 2  4  5 ]            [ -2  0  3 ]
[ 3  5  6 ]            [  1 -3  0 ]

定理：对任意方阵 A，A + Aᵀ 是对称阵，A − Aᵀ 是反对称阵；进而任何方阵可唯一分解为对称部分与反对称部分之和：A = (A + Aᵀ)/2 + (A − Aᵀ)/2。

更有用的恒等式：对任意 A（不必方阵），AᵀA 与 AAᵀ 都是对称阵。

2.5 初等矩阵及其应用

1. 定义

由单位阵 I 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。三类初等变换对应三类初等矩阵：

• 交换 i, j 两行 → Pᵢ（把 I 的第 i, j 行互换）；
• 第 i 行乘 k (k ≠ 0) → Dᵢ(k)（把 I 的 (i, i) 元改为 k）；
• 第 j 行加第 i 行的 k 倍 → Tᵢ(k)（把 I 的 (j, i) 元改为 k）。

P12 (3阶):       D2(k) (3阶):       T13(k) (3阶, r3+k*r1):
[ 0  1  0 ]      [ 1  0  0 ]        [ 1  0  0 ]
[ 1  0  0 ]      [ 0  k  0 ]        [ 0  1  0 ]
[ 0  0  1 ]      [ 0  0  1 ]        [ k  0  1 ]

2. 核心定理（左乘行变、右乘列变）

定理：对矩阵 A 左乘一个初等矩阵，相当于对 A 施行相应的初等行变换；右乘一个初等矩阵，相当于对 A 施行相应的初等列变换。

3. 初等矩阵的可逆性

定理：初等矩阵都可逆，且其逆仍是同类初等矩阵：

D(k)⁻¹ = Dᵢ(1/k), Tᵢⱼ(k)⁻¹ = Tᵢⱼ(−k).

2.6 矩阵的秩

1. 定义与等价刻画

• 行秩 = A 的行向量组的极大线性无关组所含向量个数；
• 列秩 = A 的列向量组的极大线性无关组所含向量个数。

定理：行秩 = 列秩 = r(A)（统称为矩阵的秩）。 （理由：初等行变换不改变行空间的维数，也不改变列向量间的线性关系，故行阶梯形的非零行数同时等于行秩与列秩。）

另一等价定义：r(A) = A 中不为零的子式的最高阶数（k 阶子式 = 任取 k 行 k 列交叉处的 k 阶行列式）。

2. 基本性质

• 0 ≤ r(A) ≤ min(m, n)；r(A) = 0 ⟺ A = O；
• 初等变换不改变秩（求秩的根本依据）；
• r(A) = r(Aᵀ)；
• r(A + B) ≤ r(A) + r(B)；
• r(AB) ≤ min(r(A), r(B))；
• 若 P、Q 可逆，则 r(PAQ) = r(A)（等价标准形的理论基础）。

3. 等价标准形

定理：任何 m×n 矩阵 A 都等价于（经初等行、列变换化为）

[ Ir   O ]
[ O    O ]      (r = r(A), Ir 为 r 阶单位阵)

称为 A 的等价标准形，它由 m, n, r 唯一确定。两个同型矩阵等价 ⟺ 它们秩相等。

5. 秩与方程组（呼应第一章）

对 Ax = b：有解 ⟺ r(A) = r(A|b)；解的自由度 = n − r(A)。对 Ax = 0：有非零解 ⟺ r(A) < n。秩是统一这些结论的语言。

2.7 可逆矩阵

1. 定义

n 阶方阵 A 称为可逆（非奇异），若存在 n 阶方阵 B 使 AB = BA = I；此时 B 唯一，记作 A⁻¹，称 A 的逆矩阵。若不存在这样的 B，则 A 不可逆（奇异）。

唯一性证明：若 AB = I 且 AC = I，则 B = BI = B(AC) = (BA)C = IC = C。故只需验证单侧（对方阵而言 AB = I 已蕴含 BA = I，但初学者建议按定义双侧验证）。

2. 可逆的等价条件（核心定理，务必熟记）

对 n 阶方阵 A，下列命题全部等价：

1. A 可逆；
2. |A| ≠ 0（行列式非零）；
3. r(A) = n（满秩）；
4. A 的行（列）向量组线性无关；
5. 齐次方程组 Ax = 0 只有零解；
6. 对任意 b，Ax = b 有唯一解；
7. A 等价于 Iₙ；
8. A 可表为有限个初等矩阵之积。

这八条把"可逆"与行列式、秩、线性相关、方程组、初等矩阵全部打通，是线性代数的枢纽。

3. 逆矩阵的性质

• (A⁻¹)⁻¹ = A；
• (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹（顺序颠倒，类比转置）；推广 (A₁⋯Aₙ)⁻¹ = Aₙ⁻¹⋯A₁⁻¹；
• (Aᵀ)⁻¹ = (A⁻¹)ᵀ，常记 A⁻ᵀ；
• (kA)⁻¹ = (1/k)A⁻¹ (k ≠ 0)；
• |A⁻¹| = 1/|A|。

4. 求逆的两种方法

(1) 伴随矩阵法（理论公式，适合低阶/符号计算）：

A⁻¹ = (1/|A|) · A*

其中 A* 是 伴随矩阵，其 (i, j) 元 = A 的 (j, i) 元的代数余子式 Aⱼᵢ（注意下标转置）。

A = [ a  b ]   |A| = ad - bc
    [ c  d ]

A* = [  d  -b ]    A^{-1} = 1/(ad-bc) * [  d  -b ]
     [ -c   a ]                          [ -c   a ]

例: A = [ 1  2 ]  |A| = -2,  A^{-1} = (-1/2)*[ 4 -2 ] = [ -2   1 ]
        [ 3  4 ]                              [-3  1 ]   [ 3/2 -1/2 ]
(与 2.5 节 Gauss-Jordan 结果一致 )

(2) 初等变换法（Gauss–Jordan，适合数值/高阶）：[A | I] → [I | A⁻¹]。

2.8 分块矩阵

1. 思想与记号

用横线和竖线把大矩阵分割成若干小块（子块），每个子块当作一个"元素"来处理，称为分块矩阵。目的是化大为小、突出结构。

2. 分块矩阵的运算

只要分块方式兼容（相加时对应子块同型，相乘时 A 的列分法 = B 的行分法），运算规则与普通矩阵完全相同，只是把"数"换成"子块"：

• 加法：对应子块相加；
• 数乘：k 乘每个子块；
• 乘法：按"行块乘列块"求和，子块顺序不可交换（因矩阵乘法不交换）。

3. 分块对角阵与分块三角阵

分块对角:              分块上三角:
[ A1   O ]             [ A1  A12 ]
[ O   A2 ]             [ O   A2  ]
(A1, A2 为方阵)

性质（类比 2.3 的对角阵）：

• 分块对角阵的幂：diag(A₁, A₂)ᵏ = diag(A₁ᵏ, A₂ᵏ)；
• 可逆：diag(A₁, A₂) 可逆 ⟺ A₁, A₂ 都可逆，且逆为 diag(A₁⁻¹, A₂⁻¹)；
• 行列式：|diag(A₁, A₂)| = |A₁|·|A₂|（分块三角阵同样 = 对角块行列式之积）。

4. 按行/列分块的特殊用法

• 按列分块 A = [α₁, α₂, …, αₙ]，则 Ax = x₁α₁ + ⋯ + xₙαₙ——把矩阵乘向量写成列向量的线性组合，这是理解"列空间"“线性相关"的最佳视角；
• 按行分块类似，用于理解行空间。

2.9 几类常见的特殊矩阵

1. 对称阵与反对称阵

• 对称阵 Aᵀ = A：特征值全为实数，可正交对角化（谱定理）；二次型 xᵀAx 的矩阵总可取为对称阵。
• 反对称阵 Aᵀ = −A：主对角元为 0；奇数阶反对称阵行列式为 0；特征值为 0 或纯虚数。

对称 S = [ 2  1  0 ]   反对称 K = [  0  1 -2 ]
         [ 1  3  1 ]              [ -1  0  3 ]
         [ 0  1  4 ]              [  2 -3  0 ]

2. 正交矩阵

定义：n 阶实方阵 Q 满足 QᵀQ = QQᵀ = I，即 Q⁻¹ = Qᵀ，称 Q 为正交矩阵。

性质：

• 行（列）向量组是标准正交基（两两正交且为单位向量）；
• |Q| = ±1；
• 正交变换保长度、保内积：‖Qx‖ = ‖x‖，(Qx)ᵀ(Qy) = xᵀy——几何上是旋转或反射。

3. 对角阵与数量阵

对角阵 diag(d₁,…,dₙ) 的运算最简：幂、逆（dᵢ ≠ 0 时）、行列式都逐对角元操作。任何可对角化的矩阵 A = PDP⁻¹ 都把复杂运算转化为对角阵运算，这是特征值理论的核心动机。

4. 三角阵

上（下）三角阵的行列式 = 主对角元之积；线性方程组若系数矩阵为三角阵，可用前代/回代 O(n²) 求解——这是 LU 分解的直接应用。

5. 幂等阵、对合阵、幂零阵

• 幂等阵：A² = A（投影矩阵）；特征值为 0 或 1；
• 对合阵：A² = I（A = A⁻¹，如 Householder 反射阵）；
• 幂零阵：Aᵏ = O 对某个 k；特征值全为 0；严格上三角阵是典型幂零阵。

6. 伴随矩阵

A* 满足 AA = A*A = |A|I*。它是求逆公式 A⁻¹ = A*/|A| 的核心，也是 Cramer 法则的来源。注意 A* 的元素是代数余子式的转置排列，易错。

第三章 向量空间 (Vector Spaces)

3.1 向量与向量空间 (Vectors and Vector Spaces)

• n维向量 (n-dimensional Vector)：

  • 定义：由 $n$ 个有次序的数 $a_1, a_2, \dots, a_n$ 所组成的数组称为 $n$ 维向量。这 $n$ 个数称为该向量的 $n$ 个分量。
  • 形式：通常写成列向量 $\alpha = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix}$ 或行向量 $\alpha = (a_1, a_2, \dots, a_n)$。在本书后续讨论中，若无特殊说明，通常指列向量。
  • 几何意义：在二维或三维空间中，向量可以看作是从原点出发的一个箭头（有大小和方向）。

• 向量空间 (Vector Space)：

  • 定义：设 $V$ 是非空集合，如果对于加法及数乘两种运算封闭（即运算结果仍在 $V$ 中），且满足8条运算律（如交换律、结合律、分配律等），则称 $V$ 为向量空间（或线性空间）。
  • 核心判定条件（封闭性）：
    1. 加法封闭：若 $\alpha \in V, \beta \in V$，则 $\alpha + \beta \in V$。
    2. 数乘封闭：若 $\alpha \in V, k \in \mathbb{R}$（实数），则 $k\alpha \in V$。
  • 例子：所有 $n$ 维实向量的集合 $\mathbb{R}^n$ 是一个向量空间；过原点的平面或直线也是向量空间。

3.2 向量组的线性关系 (Linear Relations of Vector Sets)

这一节研究向量之间是如何“相互依赖”或“相互独立”的，这是理解矩阵秩和解方程组的关键。

• 线性组合 (Linear Combination)：

  • 给定向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_m$，对于任意一组数 $k_1, k_2, \dots, k_m$，向量 $k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + \dots + k_m\alpha_m$ 称为该向量组的线性组合。
  • 线性表示：如果向量 $\beta$ 能写成 $\alpha_1, \dots, \alpha_m$ 的线性组合，则称 $\beta$ 可由该向量组线性表示。这等价于方程组 $x_1\alpha_1 + \dots + x_m\alpha_m = \beta$ 有解。

• 线性相关与线性无关 (Linear Dependence and Independence)：

  • 线性相关：如果存在不全为零的数 $k_1, \dots, k_m$，使得 $k_1\alpha_1 + \dots + k_m\alpha_m = 0$，则称该向量组线性相关。
    • 直观理解：其中至少有一个向量是“多余”的，它可以被其他向量表示出来。几何上，两个向量共线，或三个向量共面，就是线性相关。
  • 线性无关：如果只有当 $k_1 = k_2 = \dots = k_m = 0$ 时，上述等式才成立，则称该向量组线性无关。
    • 直观理解：每个向量都提供了新的“方向”或“维度”，没有一个是多余的。

• 重要性质：

  • 包含零向量的向量组必线性相关。
  • 部分相关，整体必相关；整体无关，部分必无关。

3.3 向量组的秩 (Rank of a Vector Set)

这一节引入了“秩”的概念，用来量化向量组中包含多少个“独立”的信息。

• 极大线性无关组 (Maximal Linearly Independent Subset)：

  • 在向量组中选出的一部分向量，如果它们满足：(1) 线性无关；(2) 原向量组中任意一个向量都能由这部分向量线性表示。那么这部分向量就称为极大线性无关组。
  • 注意：极大线性无关组通常不唯一，但它们所含向量的个数是唯一的。

• 向量组的秩 (Rank)：

  • 定义：向量组的极大线性无关组中所含向量的个数，称为该向量组的秩，记作 $R(\alpha_1, \dots, \alpha_m)$ 或 $r$。
  • 矩阵的秩与向量组的秩：矩阵的行秩等于列秩，统称为矩阵的秩。这意味着我们可以通过对矩阵进行初等行变换化为阶梯形矩阵，非零行的行数就是行向量组的秩，也就是矩阵的秩。

• 应用：秩反映了向量组张成空间的维数。如果 $n$ 个 $n$ 维向量的秩为 $n$，则它们线性无关，可以构成 $\mathbb{R}^n$ 的一组基。

3.4 向量空间的基与维数 (Basis and Dimension of Vector Spaces)

这一节将前面的概念综合起来，定义了描述向量空间的“坐标系”。

• 基 (Basis)：

  • 定义：设 $V$ 是向量空间，如果 $r$ 个向量 $\alpha_1, \dots, \alpha_r \in V$ 满足：(1) 线性无关；(2) $V$ 中任一向量都可由它们线性表示。则称 $\alpha_1, \dots, \alpha_r$ 为 $V$ 的一组基。
  • 坐标：一旦选定了一组基，空间中的任意向量 $\beta$ 都可以唯一地表示为 $\beta = x_1\alpha_1 + \dots + x_r\alpha_r$，数组 $(x_1, \dots, x_r)$ 就是 $\beta$ 在该基下的坐标。

• 维数 (Dimension)：

  • 定义：向量空间 $V$ 的基中所含向量的个数，称为 $V$ 的维数，记作 $\dim(V)$。
  • 例子：$\mathbb{R}^3$ 的维数是 3，其标准基为 $e_1=(1,0,0)^T, e_2=(0,1,0)^T, e_3=(0,0,1)^T$。零空间的维数规定为 0。

• 基变换与坐标变换：

  • 同一个向量在不同基下的坐标是不同的。这一部分通常会涉及过渡矩阵（Change of Basis Matrix），用于计算新旧坐标之间的转换关系。

3.5 线性方程组的解的向量形式 (Vector Form of Solutions to Linear Systems)

这一节将第一章的线性方程组理论与本章的向量空间理论联系起来，揭示了方程组解的结构。

• 齐次线性方程组 $Ax=0$ 的解空间：

  • 所有解向量构成的集合 $S$ 是一个向量空间，称为解空间（或零空间 Null Space）。
  • 基础解系：解空间的一组基称为基础解系。如果系数矩阵 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，且秩为 $r$，则基础解系中含有 $n-r$ 个向量。
  • 通解结构：$x = c_1\xi_1 + c_2\xi_2 + \dots + c_{n-r}\xi_{n-r}$，其中 $\xi_i$ 是基础解系，$c_i$ 是任意常数。

• 非齐次线性方程组 $Ax=b$ 的解结构：

  • 非齐次方程组的解集不是向量空间（因为不含零向量，加法不封闭）。
  • 通解结构：非齐次通解 = 对应齐次通解 + 非齐次特解。
  • 公式：$x = k_1\xi_1 + \dots + k_{n-r}\xi_{n-r} + \eta^*$，其中 $\eta^*$ 是 $Ax=b$ 的某一个特定解。
  • 几何意义：解集是一个不过原点的“仿射子空间”（例如不过原点的直线或平面），它是由过原点的解空间平移得到的。

3.6 实向量的内积与正交 (Inner Product and Orthogonality of Real Vectors)

这一节引入了度量概念（长度、角度），使向量空间从单纯的代数结构变成了具有几何性质的欧几里得空间。

• 内积 (Inner Product)：

  • 定义：对于实向量 $\alpha=(a_1, \dots, a_n)^T$ 和 $\beta=(b_1, \dots, b_n)^T$，它们的内积定义为 $[\alpha, \beta] = \alpha^T \beta = a_1b_1 + \dots + a_nb_n$。
  • 性质：对称性、线性性、正定性（$[\alpha, \alpha] \ge 0$，当且仅当 $\alpha=0$ 时取等号）。

• 长度（范数）与夹角：

  • 长度：$\|\alpha\| = \sqrt{[\alpha, \alpha]}$。长度为1的向量称为单位向量。
  • 夹角：$\cos \theta = \frac{[\alpha, \beta]}{\|\alpha\| \|\beta\|}$。

• 正交 (Orthogonality)：

  • 定义：如果 $[\alpha, \beta] = 0$，则称向量 $\alpha$ 与 $\beta$ 正交（垂直）。
  • 正交向量组：一组两两正交的非零向量。正交向量组必线性无关。
  • 规范正交基 (Orthonormal Basis)：既是正交向量组，又是单位向量组，且构成空间的基。在规范正交基下，计算坐标非常方便（直接做内积即可）。

• 施密特正交化 (Gram-Schmidt Process)：

  • 这是一个算法，用于将一组线性无关的向量 $\alpha_1, \dots, \alpha_r$ 转化为一组正交向量 $\beta_1, \dots, \beta_r$，进而单位化得到规范正交基。这是考研和期末考试中的高频考点。

• 正交矩阵：

  • 如果 $n$ 阶方阵 $A$ 的列向量组是 $\mathbb{R}^n$ 的一组规范正交基，则称 $A$ 为正交矩阵。
  • 性质：$A^T A = E$ （即 $A^{-1} = A^T$），$|A| = \pm 1$。正交变换保持向量的长度和夹角不变。

第四章 行列式 (Determinants)

4.1 2阶行列式 (Determinant of Order 2)

这是行列式的入门，通过最简单的 $2 \times 2$ 矩阵来引入概念。

• 定义： 对于一个 $2 \times 2$ 的矩阵 $\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}$，其行列式记作 $\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}$，计算公式为： $$ D = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21} $$
• 记忆口诀：“主对角线元素之积”减去“副对角线元素之积”。
• 几何意义：在二维平面上，由向量 $(a_{11}, a_{21})$ 和 $(a_{12}, a_{22})$ 张成的平行四边形的有向面积。
• 与方程组的关系：对于二元一次方程组 $\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 = b_2 \end{cases}$，如果系数行列式 $D \neq 0$，则方程组有唯一解（克莱姆法则的雏形）。

4.2 $n$ 阶行列式的定义 (Definition of Determinant of Order $n$)

这一节将 2 阶的概念推广到 $n$ 阶，引入了排列和逆序数的概念，这是行列式理论最抽象但也最严谨的部分。

• 全排列 (Permutation)：
  • 由 $1, 2, \dots, n$ 组成的有序数组称为一个 $n$ 级排列。总共有 $n!$ 种排列。
• 逆序数 (Inversion Number)：
  • 在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反（即前面的数大于后面的数），则称它们构成一个逆序。
  • 一个排列中所有逆序的总数称为该排列的逆序数，记为 $\tau$ 或 $N$。
  • 奇偶性：逆序数为奇数的排列称为奇排列，为偶数的称为偶排列。
• $n$ 阶行列式的严格定义： $$ D = \det(a_{ij}) = \sum_{j_1 j_2 \dots j_n} (-1)^{\tau(j_1 j_2 \dots j_n)} a_{1j_1} a_{2j_2} \dots a_{nj_n} $$
  • 解读：行列式是 $n!$ 项的代数和。每一项都是取自不同行、不同列的 $n$ 个元素的乘积。
  • 符号确定：每一项的符号取决于列标排列 $j_1 j_2 \dots j_n$ 的逆序数。如果是偶排列取正号，奇排列取负号。
• 特殊行列式：
  • 对角行列式：值等于对角线元素之积。
  • 上/下三角行列式：值等于主对角线元素之积。

4.3 $n$ 阶行列式的性质 (Properties of Determinants)

这一节非常重要，因为直接利用定义计算高阶行列式极其困难，我们通常利用性质来简化计算（化简为上/下三角行列式）。

• 性质 1（转置不变性）：行列式与它的转置行列式相等，即 $D = D^T$。这意味着行和列的地位是平等的，对行成立的性质对列也成立。
• 性质 2（互换变号）：互换行列式的两行（或两列），行列式变号。
  • 推论：如果行列式有两行（或两列）完全相同，则 $D=0$。
• 性质 3（数乘提取）：行列式的某一行（或列）中所有元素都乘以同一数 $k$，等于用数 $k$ 乘以此行列式。
  • 注意：$|kA| = k^n |A|$ （$A$ 是 $n$ 阶矩阵）。
  • 推论：如果某一行（或列）元素全为 0，则 $D=0$。
  • 推论：如果两行（或列）成比例，则 $D=0$。
• 性质 4（加法拆分）：如果行列式的某一行（或列）的元素都是两数之和，则可以拆分为两个行列式之和。 $$ \begin{vmatrix} a+b & c+d \\ e & f \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a & c \\ e & f \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} b & d \\ e & f \end{vmatrix} $$
• 性质 5（倍加不变性 - 最常用）：把行列式的某一行（或列）的各元素乘以同一数然后加到另一行（或列）对应的元素上去，行列式的值不变。
  • 应用：这是计算行列式的核心技巧，用于制造大量的 0，从而化为三角行列式。

4.4 行列式的按行或者按列展开 (Expansion by Row or Column)

这一节提供了另一种计算行列式的方法——降阶法，将 $n$ 阶行列式转化为 $n-1$ 阶行列式来计算。

• 余子式 (Minor)：
  • 在 $n$ 阶行列式中，划去元素 $a_{ij}$ 所在的第 $i$ 行和第 $j$ 列，剩下的 $n-1$ 阶行列式称为 $a_{ij}$ 的余子式，记作 $M_{ij}$。
• 代数余子式 (Cofactor)：
  • 定义为 $A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$。它比余子式多了一个符号位。
• 拉普拉斯展开定理 (Laplace Expansion)：
  • 行列式等于它的任一行（或列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。
  • 公式：$D = a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + \dots + a_{in}A_{in}$ （按第 $i$ 行展开）。
• 重要推论（异乘变零）：
  • 行列式某一行（或列）的元素与另一行（或列）对应元素的代数余子式乘积之和等于 0。
  • 公式：$a_{i1}A_{j1} + a_{i2}A_{j2} + \dots + a_{in}A_{jn} = 0$ (当 $i \neq j$)。
  • 意义：这个推论是后续证明矩阵求逆公式（伴随矩阵法）的关键。

4.5 行列式在代数方面的应用 (Algebraic Applications)

这一节主要讲行列式如何用于解决线性方程组问题。

• 克莱姆法则 (Cramer’s Rule)：
  • 对于 $n$ 个方程 $n$ 个未知数的线性方程组 $Ax=b$，如果系数行列式 $D = |A| \neq 0$，则方程组有唯一解： $$ x_j = \frac{D_j}{D} \quad (j=1, 2, \dots, n) $$
  • 其中 $D_j$ 是把系数行列式 $D$ 的第 $j$ 列替换为常数项列向量 $b$ 后得到的行列式。
  • 评价：理论上很完美，但计算量大（需要算 $n+1$ 个行列式），实际计算中不如高斯消元法，但在理论推导中很有用。
• 矩阵可逆的判定：
  • 方阵 $A$ 可逆（非奇异）的充要条件是 $|A| \neq 0$。
• 伴随矩阵求逆：
  • $A^{-1} = \frac{1}{|A|} A^*$，其中 $A^*$ 是伴随矩阵（由代数余子式构成的转置矩阵）。

4.6 行列式在几何方面的应用 (Geometric Applications)

这一节展示了行列式的直观几何意义，帮助理解“体积”和“定向”。

• 面积与体积：
  • 2阶：$\left| \det(\vec{u}, \vec{v}) \right|$ 表示由向量 $\vec{u}, \vec{v}$ 张成的平行四边形的面积。
  • 3阶：$\left| \det(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) \right|$ 表示由向量 $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ 张成的平行六面体的体积。
  • n阶：$n$ 维超平行体的“体积”（测度）。
• 线性变换的缩放因子：
  • 如果一个线性变换由矩阵 $A$ 表示，那么 $| \det(A) |$ 表示该变换将空间区域的体积放大了多少倍。
  • 如果 $\det(A) = 0$，说明变换将空间“压扁”了（例如从 3D 压到了 2D 平面或 1D 直线），体积变为 0，这也解释了为什么此时矩阵不可逆（信息丢失，无法还原）。
• 方向（定向）：
  • 行列式的正负号代表了基向量组的定向（右手系或左手系）。如果行列式为负，说明线性变换包含了“翻转”操作（如镜像）。

第五章 方阵的特征值与特征向量

5.1 特征值与特征向量的定义与求法

这是整章的起点，定义了什么是特征值和特征向量，并给出了标准的计算流程。

• 定义： 设 $A$ 是 $n$ 阶方阵，如果存在数 $\lambda$ 和非零列向量 $x$，使得：

  $$ Ax = \lambda x $$

  成立，则称数 $\lambda$ 为方阵 $A$ 的特征值 (Eigenvalue)，非零向量 $x$ 称为 $A$ 的对应于特征值 $\lambda$ 的特征向量 (Eigenvector)。

• 直观理解：

  • 通常情况下，矩阵 $A$ 乘以一个向量 $x$，会改变 $x$ 的长度和方向。
  • 但是，对于特殊的向量（特征向量），$A$ 对它的作用仅仅是把它拉长或缩短（乘以系数 $\lambda$），而不改变它的方向（或者反向，当 $\lambda < 0$ 时）。
  • 注意：特征向量 $x$ 必须是非零向量，但特征值 $\lambda$ 可以是 0。

• 求法步骤：

  1. 写出特征方程：将 $Ax = \lambda x$ 移项得 $(\lambda E - A)x = 0$。这是一个关于 $x$ 的齐次线性方程组。
  2. 求特征值：为了使该方程组有非零解，其系数行列式必须为 0。即求解特征多项式： $$ |\lambda E - A| = 0 $$ 解出的根 $\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n$ 就是特征值。
  3. 求特征向量：对于求出的每一个特征值 $\lambda_i$，代入齐次方程组 $(\lambda_i E - A)x = 0$，求出其基础解系。基础解系的线性组合（排除零向量）就是对应的特征向量。

5.2 特征值与特征向量的性质

这一节总结了特征值的重要运算规律，这些性质在解题（特别是填空题和选择题）中非常有用，可以避免繁琐的计算。

• 迹与行列式的关系： 设 $A$ 的 $n$ 个特征值为 $\lambda_1, \dots, \lambda_n$，则：

  1. 特征值之和等于矩阵的迹（主对角线元素之和）：$\sum_{i=1}^n \lambda_i = \text{tr}(A) = a_{11} + a_{22} + \dots + a_{nn}$。
  2. 特征值之积等于矩阵的行列式：$\prod_{i=1}^n \lambda_i = |A|$。
  • 推论：矩阵 $A$ 可逆 $\iff$ 所有特征值都不为 0。

• 转置矩阵：$A$ 与 $A^T$ 具有相同的特征多项式，因此具有相同的特征值。

• 逆矩阵：若 $A$ 可逆，且 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，则 $1/\lambda$ 是 $A^{-1}$ 的特征值，对应的特征向量相同。

• 伴随矩阵：若 $A$ 可逆，且 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，则 $|A|/\lambda$ 是 $A^*$ 的特征值。

• 多项式函数：若 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，则 $f(\lambda)$ 是矩阵多项式 $f(A)$ 的特征值。

  • 例如：若 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，则 $\lambda^2$ 是 $A^2$ 的特征值，$\lambda + 1$ 是 $A+E$ 的特征值。

• 特征向量的线性无关性：属于不同特征值的特征向量是线性无关的。

5.3 方阵的相似

这一节引入了“相似”的概念，这是连接一般矩阵和对角矩阵的桥梁。

• 定义： 设 $A, B$ 都是 $n$ 阶方阵，如果存在可逆矩阵 $P$，使得：

  $$ P^{-1}AP = B $$

  则称矩阵 $A$ 与 $B$ 相似，记作 $A \sim B$。$P$ 称为相似变换矩阵。

• 几何意义： 相似矩阵本质上是同一个线性变换在不同基下的矩阵表示。就像描述同一个物理位移，在直角坐标系下是一个矩阵，在极坐标系下可能是另一个矩阵，但它们描述的是同一件事。

• 相似的性质：

  1. 反身性：$A \sim A$。
  2. 对称性：若 $A \sim B$，则 $B \sim A$。
  3. 传递性：若 $A \sim B, B \sim C$，则 $A \sim C$。
  4. 不变量：若 $A \sim B$，则它们具有相同的特征多项式、相同的特征值、相同的行列式、相同的迹、相同的秩。
  • 注意：反之不成立。特征值相同不一定相似（除非都能对角化）。

5.4 方阵可以相似对角化的条件

这一节探讨了一个核心问题：什么样的矩阵可以变成最简单的对角矩阵？

• 相似对角化： 如果方阵 $A$ 相似于一个对角矩阵 $\Lambda = \text{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$，即存在可逆矩阵 $P$ 使得 $P^{-1}AP = \Lambda$，则称 $A$ 可以相似对角化。

• 充要条件： $n$ 阶方阵 $A$ 可对角化的充要条件是：$A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量。

• 具体判定方法：

  1. 充分条件：如果 $A$ 有 $n$ 个互不相同的特征值，则 $A$ 一定可以对角化。
  2. 一般情况（有重根时）：
     • 设 $\lambda_i$ 是 $A$ 的 $k$ 重特征值（代数重数为 $k$）。
     • $A$ 可对角化 $\iff$ 对应于 $\lambda_i$ 的线性无关特征向量的个数（几何重数）恰好等于 $k$。
     • 换句话说，矩阵 $(\lambda_i E - A)$ 的秩必须满足 $n - r(\lambda_i E - A) = k$。

5.5 将方阵相似对角化的方法

这一节是具体的计算操作指南，也是考试中的大题常客。

• 步骤：
  1. 求特征值：计算 $|\lambda E - A| = 0$，求出所有特征值 $\lambda_1, \dots, \lambda_n$。
  2. 求特征向量：对每个特征值 $\lambda_i$，求解 $(\lambda_i E - A)x = 0$ 的基础解系。
  3. 判断：检查所有特征值对应的线性无关特征向量的总数是否等于 $n$。
     • 如果不等于 $n$，则不可对角化，结束。
     • 如果等于 $n$，继续下一步。
  4. 构造 $P$ 和 $\Lambda$：
     • 令 $P = (p_1, p_2, \dots, p_n)$，其中 $p_i$ 是求出的特征向量。
     • 令 $\Lambda = \text{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n)$。
     • 关键点：$P$ 中列向量的顺序必须与 $\Lambda$ 中对角元特征值的顺序一一对应。

5.6 3类特殊矩阵的相似对角化问题

这一节通常讨论一些具有特殊结构的矩阵，它们的对角化性质比较明确。

1. 实对称矩阵（这是最重要的，下一节专门讲，这里可能作为铺垫）：一定可以对角化。
2. 幂等矩阵 ($A^2=A$)：特征值只能是 0 或 1，一定可以对角化。
3. 对合矩阵 ($A^2=E$)：特征值只能是 1 或 -1，一定可以对角化。
4. 或者是涉及秩为1的矩阵：这类矩阵通常有 $n-1$ 个 0 特征值，和一个非零特征值（等于迹），通常也可以对角化（除非是幂零矩阵且非零）。

5.7 实对称矩阵的相似对角化

这是本章的压轴戏，也是线性代数中最完美的定理之一。实对称矩阵在物理和工程中极其常见（如惯性张量、应力张量）。

• 实对称矩阵的性质：

  1. 特征值全是实数。
  2. 属于不同特征值的特征向量不仅线性无关，而且相互正交（垂直）。
  3. 一定可以相似对角化。

• 正交相似对角化： 对于实对称矩阵 $A$，不仅存在可逆矩阵 $P$ 使得 $P^{-1}AP = \Lambda$，而且我们可以找到一个正交矩阵 $Q$（即 $Q^T Q = E$），使得：

  $$ Q^{-1}AQ = Q^T AQ = \Lambda $$

  这意味着我们可以通过旋转坐标轴（正交变换）将二次型化为标准型。

• 计算方法（施密特正交化）：

  1. 求出所有特征值和特征向量。
  2. 单根：对应的特征向量直接单位化。
  3. 重根：对应于同一个重特征值的特征向量可能不正交，需要使用施密特正交化方法将它们正交化，然后再单位化。
  4. 将所有处理后的单位特征向量拼成正交矩阵 $Q$。

第六章 二次型与正定矩阵

6.1 二次型的定义以及二次型的标准形

这一节是入门，定义了什么是二次型，以及我们为什么要研究它（为了化简）。

• 二次型的定义：

  • 含有 $n$ 个变量 $x_1, x_2, \dots, x_n$ 的二次齐次函数： $$ f(x_1, \dots, x_n) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij} x_i x_j $$ 称为二次型。展开后包含平方项（$x_i^2$）和交叉项（$x_i x_j, i \neq j$）。
  • 矩阵表示：任何二次型都可以唯一地写成 $f(x) = x^T A x$ 的形式，其中 $x = (x_1, \dots, x_n)^T$，而 $A$ 是一个实对称矩阵。
    • 注意：交叉项 $x_i x_j$ 的系数要平分给 $a_{ij}$ 和 $a_{ji}$。例如 $4x_1x_2$ 对应矩阵中的 $a_{12}=2, a_{21}=2$。

• 标准形 (Canonical Form)：

  • 如果二次型中只含有平方项，不含交叉项，即 $f = d_1 y_1^2 + d_2 y_2^2 + \dots + d_n y_n^2$，则称为标准形。
  • 目标：通过坐标变换（变量代换），把复杂的含交叉项的二次型化为简单的标准形。这在几何上相当于旋转坐标轴，使椭球/双曲面的主轴与坐标轴重合。

6.2 化二次型为标准形的配方法

这是一种代数技巧，不需要求特征值，适合手算低阶或特定结构的二次型。

• 基本思想：利用完全平方公式 $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ 逆向操作，逐步消去交叉项。
• 步骤：
  1. 若含有 $x_1^2$ 项，将所有含 $x_1$ 的项归拢，配成一个完全平方。
  2. 若不含平方项但含交叉项（如 $x_1 x_2$），先做一个变换（如 $x_1 = y_1+y_2, x_2 = y_1-y_2$）制造出平方项，再配方。
  3. 重复上述过程，直到所有变量都进入平方项中。
• 特点：
  • 所用的线性变换通常是可逆的（满秩变换）。
  • 得到的标准形不唯一（系数取决于配方的顺序），但正负惯性指数是不变的。

6.3 方阵的合同

这一节引入了“合同”的概念，这是连接两个二次型矩阵的桥梁。

• 定义： 设 $A, B$ 是 $n$ 阶方阵，如果存在可逆矩阵 $C$，使得：

  $$ C^T A C = B $$

  则称矩阵 $A$ 与 $B$ 合同 (Congruent)。

• 几何/代数意义：

  • 如果 $f = x^T A x$，做线性变换 $x = Cy$，则 $f = (Cy)^T A (Cy) = y^T (C^T A C) y = y^T B y$。
  • 所以，两个二次型可以通过可逆线性变换互相转化 $\iff$ 它们的矩阵是合同的。
  • 化二次型为标准形，本质上就是寻找一个可逆矩阵 $C$，使得 $C^T A C = \Lambda$（对角阵）。

• 合同的性质：

  1. 反身性、对称性、传递性。
  2. 若 $A$ 与 $B$ 合同，则 $r(A) = r(B)$（秩相等）。
  3. 注意：合同不一定相似，相似也不一定合同。但对于实对称矩阵，若它们相似（特征值相同），则它们一定合同。

6.4 化二次型为标准形的初等变换法

这是一种利用矩阵行/列变换来求解的方法，比配方法更系统化，比正交变换法计算量小。

• 原理： 对矩阵 $A$ 做一次初等行变换，紧接着做一次相同的初等列变换，相当于左乘一个初等矩阵 $P$ 右乘 $P^T$，即 $P A P^T$（或者 $P^T A P$，取决于定义方向）。这正是合同变换。
• 操作步骤：
  1. 写出二次型的矩阵 $A$。
  2. 构造增广矩阵 $(A | E)$。
  3. 对 $A$ 进行成对的初等行列变换（行变换怎么做，列变换就怎么做），目标是将 $A$ 化为对角阵 $\Lambda$。
  4. 此时，右边的 $E$ 经过同样的列变换（注意：如果是 $C^T A C$，则只对 $E$ 做列变换；具体需根据教材约定，通常是 $C$ 为列变换累积矩阵）后，得到的矩阵即为变换矩阵 $C$。
  5. 最终 $\Lambda$ 的对角元即为标准形的系数。

6.5 化实二次型为标准形的正交替换法

这是最重要、最规范的方法，直接利用了第五章“实对称矩阵对角化”的结论。

• 原理： 对于实对称矩阵 $A$，一定存在正交矩阵 $Q$，使得 $Q^T A Q = Q^{-1} A Q = \Lambda = \text{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$。 这里的 $\lambda_i$ 正是 $A$ 的特征值。
• 步骤：
  1. 写出矩阵 $A$。
  2. 求 $A$ 的特征值 $\lambda_1, \dots, \lambda_n$。
  3. 求特征向量，并正交化、单位化，得到正交矩阵 $Q$。
  4. 做正交变换 $x = Qy$。
  5. 标准形为 $f = \lambda_1 y_1^2 + \dots + \lambda_n y_n^2$。
• 优点：
  • 标准形的系数就是特征值，非常明确。
  • 正交变换保持向量长度不变（$x^T x = y^T y$），具有最好的几何性质（纯旋转，无伸缩畸变）。

6.6 二次型的规范形

标准形不唯一（系数可以是任意非零实数），但规范形是唯一的。

• 惯性定理 (Sylvester’s Law of Inertia)： 任何一个实二次型，经过可逆线性变换化为标准形后，其正平方项的个数（正惯性指数 $p$）和负平方项的个数（负惯性指数 $q$）是唯一确定的，与所用的变换无关。
• 规范形定义： 将标准形中的正系数变为 1，负系数变为 -1，即： $$ f = z_1^2 + \dots + z_p^2 - z_{p+1}^2 - \dots - z_{p+q}^2 $$ 这就是规范形。
• 符号差：$s = p - q$。
• 结论：两个实二次型等价（可以通过可逆变换互化）的充要条件是它们具有相同的秩和相同的正惯性指数（即相同的规范形）。

6.7 实二次型的定性

这一节研究二次型 $f(x) = x^T A x$ 的取值符号问题，这在优化理论（判断极值点）中至关重要。

• 分类：

  1. 正定 (Positive Definite)：对任意 $x \neq 0$，都有 $f(x) > 0$。
  2. 负定 (Negative Definite)：对任意 $x \neq 0$，都有 $f(x) < 0$。
  3. 半正定：对任意 $x$，都有 $f(x) \ge 0$，且存在 $x \neq 0$ 使 $f(x)=0$。
  4. 半负定：对任意 $x$，都有 $f(x) \le 0$。
  5. 不定 (Indefinite)：$f(x)$ 既可取正值也可取负值。

• 判定方法（基于惯性指数）：

  • 正定 $\iff p = n$ （标准形系数全为正 / 特征值全为正）。
  • 负定 $\iff q = n$ （标准形系数全为负 / 特征值全为负）。
  • 不定 $\iff p > 0$ 且 $q > 0$。

6.8 正定矩阵

这一节专门研究对应于正定二次型的矩阵——正定矩阵。这是考研和工程应用中的热点。

• 定义： 如果实对称矩阵 $A$ 对应的二次型 $x^T A x$ 是正定的，则称 $A$ 为正定矩阵。

• 正定矩阵的充要条件（五大判据，必须熟记）：

  1. 定义法：$\forall x \neq 0, x^T A x > 0$。
  2. 特征值法：$A$ 的所有特征值 $\lambda_i$ 均大于 0。
  3. 顺序主子式法 (Sylvester Criterion)：$A$ 的所有顺序主子式（左上角的 $k$ 阶子行列式）都大于 0。
     • 即 $D_1 > 0, D_2 > 0, \dots, D_n > 0$。
  4. 正惯性指数法：正惯性指数 $p = n$。
  5. 分解法：存在可逆矩阵 $C$，使得 $A = C^T C$。

• 正定矩阵的性质：

  • 主对角线元素 $a_{ii} > 0$。
  • 行列式 $|A| > 0$。
  • 若 $A$ 正定，则 $A^{-1}$ 也正定，$A^k$ 也正定。
  • 若 $A, B$ 正定，则 $A+B$ 正定。