介绍微积分的基础知识

好的，我们来详细梳理一下微积分中“极限与连续”这一章的核心知识。这部分内容是整个微积分大厦的基石，理解透彻了它，后面的导数、积分等内容就会水到渠成。

根据你提供的目录图片，我们将按照以下结构进行讲解：

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第1章 极限与连续

1.1 数列的极限

这是极限概念的起点，从离散的、一项一项排列的数列入手，更容易理解“无限趋近”的思想。

• 核心思想：观察一个无穷数列 $x_1, x_2, x_3, \dots, x_n, \dots$，当项数 $n$ 无限增大时（$n \to \infty$），数列的项 $x_n$ 是否无限地接近于某个确定的常数 $A$。
• 直观定义：如果当 $n$ 无限增大时，$x_n$ 无限接近于常数 $A$，那么就说数列 $\{x_n\}$ 的极限是 $A$，记作 $\lim_{n \to \infty} x_n = A$ 或 $x_n \to A (n \to \infty)$。
  • 例子：数列 $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \dots, \frac{1}{n}, \dots$。当 $n$ 越来越大，$\frac{1}{n}$ 越来越接近 0。所以 $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$。
• 严格定义 ($\epsilon-N$ 语言)：这是数学上精确的描述，也是学习的难点。
  • 对于任意给定的正数 $\epsilon$（无论它多么小），总存在一个正整数 $N$，使得当 $n > N$ 时，不等式 $|x_n - A| < \epsilon$ 都成立。
  • 通俗解释：你想让数列的项 $x_n$ 和目标值 $A$ 的距离小于任何一个你指定的微小距离 $\epsilon$，我总能找到一个“门槛” $N$，只要项数 $n$ 超过这个门槛，后面所有的项都能满足你的要求。
• 收敛与发散：
  • 如果数列的极限存在（是一个有限的数），则称该数列收敛。
  • 如果数列的极限不存在（例如趋向于无穷大，或者在几个值之间 oscillate），则称该数列发散。
• 收敛数列的性质：
  1. 唯一性：收敛数列的极限是唯一的。
  2. 有界性：收敛数列一定是有界的。（注意：有界数列不一定收敛，如 $(-1)^n$）。
  3. 保号性：如果 $\lim_{n \to \infty} x_n = A > 0$，那么从某一项开始，后面的所有项 $x_n$ 都大于 0。

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1.2 函数的极限

将极限的概念从离散的数列推广到连续的函数上。这里需要区分自变量趋向于无穷大和趋向于某一点两种情况。

• 自变量趋向于无穷大 ($x \to \infty$)：

  • 当 $x$ 的绝对值 $|x|$ 无限增大时，函数值 $f(x)$ 无限接近于常数 $A$。记作 $\lim_{x \to \infty} f(x) = A$。
  • 可以细分为 $x \to +\infty$ 和 $x \to -\infty$。$\lim_{x \to \infty} f(x) = A$ 存在的充要条件是 $\lim_{x \to +\infty} f(x) = A$ 且 $\lim_{x \to -\infty} f(x) = A$。
  • 例子：$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$。

• 自变量趋向于有限值 ($x \to x_0$)：

  • 当 $x$ 无限接近于 $x_0$（但 $x \neq x_0$）时，函数值 $f(x)$ 无限接近于常数 $A$。记作 $\lim_{x \to x_0} f(x) = A$。
  • 关键点：极限关注的是 $x$ 在 $x_0$ 附近 的行为，与函数在 $x_0$ 点 本身 是否有定义、等于多少无关。
  • 例子：考虑函数 $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$。在 $x=1$ 处没有定义。但当 $x \to 1$ 时，$f(x) = \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x+1 \to 2$。所以 $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = 2$。

• 左极限与右极限：

  • 左极限：$x$ 从 $x_0$ 的左侧（小于 $x_0$）趋近于 $x_0$ 时的极限，记作 $\lim_{x \to x_0^-} f(x)$ 或 $f(x_0^-)$。
  • 右极限：$x$ 从 $x_0$ 的右侧（大于 $x_0$）趋近于 $x_0$ 时的极限，记作 $\lim_{x \to x_0^+} f(x)$ 或 $f(x_0^+)$。
  • 重要定理：$\lim_{x \to x_0} f(x) = A$ 存在的充要条件是左极限和右极限都存在且相等，即 $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) = A$。
  • 例子：符号函数 $f(x) = \text{sgn}(x)$。$\lim_{x \to 0^-} \text{sgn}(x) = -1$，$\lim_{x \to 0^+} \text{sgn}(x) = 1$。因为左右极限不相等，所以 $\lim_{x \to 0} \text{sgn}(x)$ 不存在。

• 严格定义 ($\epsilon-\delta$ 语言)：

  • 对于任意给定的 $\epsilon > 0$，总存在一个 $\delta > 0$，使得当 $0 < |x - x_0| < \delta$ 时，有 $|f(x) - A| < \epsilon$。
  • 通俗解释：你想让函数值 $f(x)$ 和目标值 $A$ 的距离小于 $\epsilon$，我总能找到一个以 $x_0$ 为中心、半径为 $\delta$ 的“邻域”，只要 $x$ 在这个邻域内（且不等于 $x_0$），对应的函数值就能满足你的要求。

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1.3 极限的运算法则

掌握了这些法则，就可以像做代数运算一样计算复杂的极限，而不用每次都回到定义。

假设 $\lim f(x) = A$，$\lim g(x) = B$（这里的极限过程可以是 $x \to x_0$ 或 $x \to \infty$ 等），那么：

1. 和差法则：$\lim [f(x) \pm g(x)] = \lim f(x) \pm \lim g(x) = A \pm B$
2. 积法则：$\lim [f(x) \cdot g(x)] = \lim f(x) \cdot \lim g(x) = A \cdot B$
   • 推论：$\lim [C \cdot f(x)] = C \cdot \lim f(x) = C \cdot A$ （$C$ 为常数）
   • 推论：$\lim [f(x)]^n = [\lim f(x)]^n = A^n$ （$n$ 为正整数）
3. 商法则：$\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim f(x)}{\lim g(x)} = \frac{A}{B}$ （前提是 $B \neq 0$）

注意：使用这些法则的前提是，参与运算的各个函数的极限都必须存在。

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1.4 两个重要极限

这两个极限是计算许多复杂极限的基础工具，必须熟记。

1. 第一个重要极限：

   $$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $$
   • 特点：$\frac{0}{0}$ 型未定式。
   • 应用：主要用于处理含有三角函数的极限。关键是凑出 $\frac{\sin(\square)}{\square}$ 的形式，其中 $\square \to 0$。
   • 例子：$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{1}{\cos x} = 1 \cdot 1 = 1$。

2. 第二个重要极限：

   $$ \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e \quad \text{或} \quad \lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e $$
   • 其中 $e \approx 2.71828$ 是自然对数的底。
   • 特点：$1^\infty$ 型未定式。
   • 应用：主要用于处理幂指函数的极限。关键是凑出 $(1 + \triangle)^{\frac{1}{\triangle}}$ 的形式，其中 $\triangle \to 0$。
   • 例子：$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x}\right)^x = \lim_{x \to \infty} \left[\left(1 + \frac{2}{x}\right)^{\frac{x}{2}}\right]^2 = e^2$。

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1.5 无穷小与无穷大

这是对极限为 0 和极限为无穷大这两种特殊情况的专门研究。

• 无穷小 (Infinitesimal)：

  • 定义：如果 $\lim f(x) = 0$，则称 $f(x)$ 为该极限过程下的无穷小。
  • 注意：无穷小是一个变量，是以 0 为极限的函数，而不是一个“很小的数”。唯一的例外是常数 0 本身。
  • 性质：
    • 有限个无穷小的和、差、积仍是无穷小。
    • 有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。（例如 $\lim_{x \to 0} x \sin\frac{1}{x} = 0$，因为 $x$ 是无穷小，$\sin\frac{1}{x}$ 是有界函数）。
  • 无穷小的比较：设 $\alpha, \beta$ 都是无穷小。
    • 如果 $\lim \frac{\beta}{\alpha} = 0$，称 $\beta$ 是比 $\alpha$ 高阶的无穷小，记作 $\beta = o(\alpha)$。
    • 如果 $\lim \frac{\beta}{\alpha} = C \neq 0$，称 $\beta$ 与 $\alpha$ 是同阶无穷小。
    • 如果 $\lim \frac{\beta}{\alpha} = 1$，称 $\beta$ 与 $\alpha$ 是等价无穷小，记作 $\alpha \sim \beta$。
    • 常用等价无穷小 (当 $x \to 0$ 时)：$\sin x \sim x$, $\tan x \sim x$, $\arcsin x \sim x$, $\ln(1+x) \sim x$, $e^x - 1 \sim x$, $1 - \cos x \sim \frac{1}{2}x^2$。
    • 等价无穷小替换定理：在求极限的乘除运算中，可以将因子用其等价无穷小替换，以简化计算。（注意：加减运算中一般不能直接替换）。

• 无穷大 (Infinity)：

  • 定义：如果对于任意给定的正数 $M$（无论多大），总存在一个时刻，使得在该时刻之后，$|f(x)| > M$ 恒成立，则称 $f(x)$ 为该极限过程下的无穷大，记作 $\lim f(x) = \infty$。
  • 注意：无穷大也是一个变量，描述的是绝对值无限增大的趋势，不是一个“很大的数”。
  • 无穷小与无穷大的关系：在自变量的同一变化过程中，如果 $f(x)$ 是无穷大，则 $\frac{1}{f(x)}$ 是无穷小；反之，如果 $f(x)$ 是无穷小且 $f(x) \neq 0$，则 $\frac{1}{f(x)}$ 是无穷大。

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1.6 函数的连续性

连续性是函数的一种优良性质，它保证了函数图像是一条连绵不断的曲线。

• 连续的定义：

  • 函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处连续，必须同时满足三个条件：
    1. $f(x)$ 在 $x_0$ 处有定义，即 $f(x_0)$ 存在。
    2. $\lim_{x \to x_0} f(x)$ 存在。
    3. 极限值等于函数值，即 $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$。
  • 增量形式：$\lim_{\Delta x \to 0} \Delta y = \lim_{\Delta x \to 0} [f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)] = 0$。即自变量的微小变化只引起函数值的微小变化。

• 间断点 (Discontinuity)：

  • 如果函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处不连续，则称 $x_0$ 为 $f(x)$ 的间断点。
  • 分类：
    • 第一类间断点：左右极限都存在。
      • 可去间断点：左右极限相等，但不等于 $f(x_0)$ 或 $f(x_0)$ 无定义。例如 $f(x) = \frac{x^2-1}{x-1}$ 在 $x=1$ 处。
      • 跳跃间断点：左右极限不相等。例如符号函数在 $x=0$ 处。
    • 第二类间断点：左右极限至少有一个不存在。
      • 无穷间断点：例如 $f(x) = \frac{1}{x}$ 在 $x=0$ 处。
      • 振荡间断点：例如 $f(x) = \sin\frac{1}{x}$ 在 $x=0$ 处。

• 连续函数的运算性质：

  • 连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍是连续函数。
  • 连续函数的复合函数仍是连续函数。
  • 初等函数在其定义区间内都是连续的。这是一个非常重要的结论，意味着求初等函数的极限，很多时候可以直接代入：$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$。

• 闭区间上连续函数的性质（三大定理）：

  1. 最值定理：在闭区间 $[a, b]$ 上连续的函数 $f(x)$，在该区间上一定能取得最大值和最小值。
  2. 介值定理：在闭区间 $[a, b]$ 上连续的函数 $f(x)$，如果 $f(a) \neq f(b)$，那么对于 $f(a)$ 和 $f(b)$ 之间的任意一个数 $C$，在开区间 $(a, b)$ 内至少存在一点 $\xi$，使得 $f(\xi) = C$。
  3. 零点定理（介值定理的特例）：在闭区间 $[a, b]$ 上连续的函数 $f(x)$，如果 $f(a)$ 和 $f(b)$ 异号（即 $f(a) \cdot f(b) < 0$），那么在开区间 $(a, b)$ 内至少存在一点 $\xi$，使得 $f(\xi) = 0$。这个定理常用于证明方程根的存在性。

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第2章 导数与微分

2.1 导数概念

这是本章的起点，我们需要从物理和几何两个直观背景来理解导数的本质。

• 物理背景：瞬时速度

  • 设一个物体作直线运动，其位置（路程）$s$ 是时间 $t$ 的函数，即 $s = s(t)$。
  • 在时间段 $[t_0, t_0 + \Delta t]$ 内，物体的平均速度是 $\bar{v} = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{s(t_0 + \Delta t) - s(t_0)}{\Delta t}$。
  • 当 $\Delta t \to 0$ 时，平均速度的极限就是物体在时刻 $t_0$ 的瞬时速度： $$ v(t_0) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{s(t_0 + \Delta t) - s(t_0)}{\Delta t} $$

• 几何背景：切线斜率

  • 设曲线 $y = f(x)$ 上有一点 $M(x_0, y_0)$。在曲线上另取一点 $N(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y)$。
  • 割线 $MN$ 的斜率是 $k_{MN} = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$。
  • 当 $\Delta x \to 0$ 时，点 $N$ 沿曲线趋近于点 $M$，割线 $MN$ 的极限位置就是曲线在点 $M$ 处的切线。切线的斜率 $k$ 就是割线斜率的极限： $$ k = \tan \alpha = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} $$ （其中 $\alpha$ 是切线的倾斜角）

• 导数的定义

  • 综合以上两个背景，我们给出导数的严格定义。
  • 设函数 $y = f(x)$ 在点 $x_0$ 的某个邻域内有定义，当自变量 $x$ 在 $x_0$ 处取得增量 $\Delta x$ 时，函数相应地取得增量 $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$。如果极限 $$ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} $$ 存在，则称函数 $y = f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导，并称这个极限值为函数 $y = f(x)$ 在点 $x_0$ 处的导数，记作 $f'(x_0)$、$y'|_{x=x_0}$、$\frac{dy}{dx}|_{x=x_0}$ 或 $\frac{df(x)}{dx}|_{x=x_0}$。

• 左导数与右导数

  • 类似于左、右极限，我们也可以定义左、右导数。
  • 左导数：$f'_{-}(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$
  • 右导数：$f'_{+}(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$
  • 重要定理：函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导的充要条件是左导数 $f'_{-}(x_0)$ 和右导数 $f'_{+}(x_0)$ 都存在且相等。

• 可导与连续的关系

  • 定理：如果函数 $y = f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导，则它在该点必定连续。
  • 注意：反之不成立！函数在某点连续，不一定在该点可导。
  • 经典反例：函数 $y = |x|$ 在 $x = 0$ 处连续，但不可导。因为它的左导数是 -1，右导数是 1，两者不相等。从图像上看，$y=|x|$ 在原点是一个“尖点”，没有唯一的切线。

• 导数的几何意义

  • 函数 $y = f(x)$ 在点 $x_0$ 处的导数 $f'(x_0)$，在几何上表示曲线 $y = f(x)$ 在点 $(x_0, f(x_0))$ 处的切线的斜率。
  • 由此可得，曲线在该点的切线方程为：$y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$。
  • 法线方程（与切线垂直的直线）为：$y - f(x_0) = -\frac{1}{f'(x_0)}(x - x_0)$ （当 $f'(x_0) \neq 0$ 时）。

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2.2 求导法则和求导基本公式

有了导数的定义，理论上可以求任何函数的导数，但每次都用定义太麻烦。这一节我们学习一套高效的“求导工具箱”。

• 求导基本公式 (必须熟记)

  1. $(C)' = 0$ ($C$ 为常数)
  2. $(x^\mu)' = \mu x^{\mu-1}$ ($\mu$ 为任意实数)
  3. $(\sin x)' = \cos x$
  4. $(\cos x)' = -\sin x$
  5. $(\tan x)' = \sec^2 x$
  6. $(\cot x)' = -\csc^2 x$
  7. $(\sec x)' = \sec x \tan x$
  8. $(\csc x)' = -\csc x \cot x$
  9. $(a^x)' = a^x \ln a$ ($a > 0, a \neq 1$)
  10. $(e^x)' = e^x$
  11. $(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$ ($a > 0, a \neq 1$)
  12. $(\ln x)' = \frac{1}{x}$
  13. $(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
  14. $(\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
  15. $(\arctan x)' = \frac{1}{1+x^2}$
  16. $(\text{arccot } x)' = -\frac{1}{1+x^2}$

• 函数的和、差、积、商的求导法则 设 $u = u(x)$, $v = v(x)$ 都可导，则：

  1. $(u \pm v)' = u' \pm v'$
  2. $(u \cdot v)' = u'v + uv'$
     • 推论：$(Cu)' = Cu'$ ($C$ 为常数)
  3. $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ ($v \neq 0$)

• 复合函数的求导法则 (链式法则)

  • 这是求导中最重要、最常用的法则。
  • 设 $y = f(u)$，而 $u = g(x)$，且 $g(x)$ 可导，$f(u)$ 可导，则复合函数 $y = f(g(x))$ 对 $x$ 的导数为： $$ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} \quad \text{或} \quad y'_x = y'_u \cdot u'_x $$
  • 通俗理解：“由外向内，逐层求导，然后相乘”。
  • 例子：求 $y = \sin(x^2)$ 的导数。
    • 令 $u = x^2$，则 $y = \sin u$。
    • $\frac{dy}{du} = \cos u$，$\frac{du}{dx} = 2x$。
    • 所以 $\frac{dy}{dx} = \cos u \cdot 2x = 2x \cos(x^2)$。

• 反函数的求导法则

  • 设 $y = f(x)$ 是 $x = \phi(y)$ 的反函数，如果 $x = \phi(y)$ 在某区间内单调、可导且 $\phi'(y) \neq 0$，则其反函数 $y = f(x)$ 也可导，且： $$ f'(x) = \frac{1}{\phi'(y)} \quad \text{或} \quad \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}} $$
  • 通俗理解：反函数的导数等于原函数导数的倒数。
  • 应用：这个法则可以用来推导反三角函数的求导公式。例如，由 $y = \arcsin x$ 得 $x = \sin y$，则 $(\arcsin x)' = \frac{1}{(\sin y)'} = \frac{1}{\cos y} = \frac{1}{\sqrt{1-\sin^2 y}} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$。

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2.3 隐函数和参数方程确定的函数的导数

并非所有函数都能写成 $y = f(x)$ 的显式形式。这一节处理两种更一般的情况。

• 隐函数的导数

  • 隐函数：由方程 $F(x, y) = 0$ 所确定的函数 $y = y(x)$。例如 $x^2 + y^2 = 1$。
  • 求导方法：隐函数求导法。
    1. 方程两边同时对 $x$ 求导。
    2. 在求导过程中，要把 $y$ 看作是 $x$ 的函数，因此遇到含 $y$ 的项时，要使用链式法则，即先对 $y$ 求导，再乘上 $y'$。
    3. 最后，从得到的方程中解出 $y'$。
  • 例子：求由 $x^2 + y^2 = 1$ 确定的导数 $y'$。
    • 两边对 $x$ 求导：$(x^2)' + (y^2)' = (1)'$
    • $2x + 2y \cdot y' = 0$
    • 解得 $y' = -\frac{x}{y}$。

• 参数方程确定的函数的导数

  • 参数方程：$\begin{cases} x = \phi(t) \\ y = \psi(t) \end{cases}$，其中 $t$ 是参数。
  • 求导公式：如果 $\phi(t)$ 和 $\psi(t)$ 都可导，且 $\phi'(t) \neq 0$，则由参数方程确定的函数 $y = y(x)$ 的导数为： $$ \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{\psi'(t)}{\phi'(t)} $$
  • 例子：求摆线 $\begin{cases} x = a(t - \sin t) \\ y = a(1 - \cos t) \end{cases}$ 的导数 $\frac{dy}{dx}$。
    • $\frac{dx}{dt} = a(1 - \cos t)$
    • $\frac{dy}{dt} = a \sin t$
    • 所以 $\frac{dy}{dx} = \frac{a \sin t}{a(1 - \cos t)} = \frac{\sin t}{1 - \cos t}$。

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2.4 高阶导数

导数的导数，就是高阶导数。它在物理学（如加速度是速度的导数，速度是位置的导数）和数学分析中都有重要应用。

• 定义：

  • 函数 $y = f(x)$ 的导数 $y' = f'(x)$ 仍然是 $x$ 的函数。如果 $f'(x)$ 还可导，则称 $f'(x)$ 的导数为 $f(x)$ 的二阶导数，记作 $y''$、$f''(x)$ 或 $\frac{d^2y}{dx^2}$。
  • 类似地，可以定义三阶导数 $y'''$、四阶导数 $y^{(4)}$，直至 $n$ 阶导数 $y^{(n)}$ 或 $f^{(n)}(x)$。
  • 二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数。

• 求法：

  • 高阶导数的计算就是逐阶求导，没有特别的捷径，需要熟练掌握基本求导公式和法则。
  • 例子：求 $y = e^x$ 的 $n$ 阶导数。
    • $y' = e^x$
    • $y'' = e^x$
    • …
    • $y^{(n)} = e^x$
  • 例子：求 $y = \sin x$ 的 $n$ 阶导数。
    • $y' = \cos x = \sin(x + \frac{\pi}{2})$
    • $y'' = -\sin x = \sin(x + 2 \cdot \frac{\pi}{2})$
    • $y''' = -\cos x = \sin(x + 3 \cdot \frac{\pi}{2})$
    • …
    • $y^{(n)} = \sin(x + \frac{n\pi}{2})$

• 莱布尼茨 (Leibniz) 公式

  • 用于求两个函数乘积的高阶导数，类似于二项式定理。
  • 设 $u = u(x)$, $v = v(x)$ 都具有 $n$ 阶导数，则： $$ (uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} C_n^k u^{(n-k)} v^{(k)} $$ 其中 $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ 是组合数，$u^{(0)} = u$, $v^{(0)} = v$。

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2.5 函数的微分

微分和导数关系密切，但侧重点不同。导数关注的是“变化率”，而微分关注的是“增量的近似”。

• 微分的定义

  • 设函数 $y = f(x)$ 在某区间内有定义，$x_0$ 及 $x_0 + \Delta x$ 在这区间内。如果函数的增量 $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$ 可以表示为： $$ \Delta y = A \cdot \Delta x + o(\Delta x) $$ 其中 $A$ 是不依赖于 $\Delta x$ 的常数，$o(\Delta x)$ 是比 $\Delta x$ 高阶的无穷小（当 $\Delta x \to 0$ 时），那么称函数 $y = f(x)$ 在点 $x_0$ 处可微，而 $A \cdot \Delta x$ 称为函数在点 $x_0$ 处相应于自变量增量 $\Delta x$ 的微分，记作 $dy$ 或 $df(x_0)$。
  • 即 $dy = A \cdot \Delta x$。

• 可微与可导的关系

  • 定理：函数 $y = f(x)$ 在点 $x_0$ 处可微的充要条件是它在该点处可导。
  • 并且，当函数可微时，有 $A = f'(x_0)$。
  • 因此，微分的计算公式为： $$ dy = f'(x_0) \Delta x $$
  • 通常，我们把自变量的增量 $\Delta x$ 记作 $dx$，即 $dx = \Delta x$。于是微分公式可以写得更简洁： $$ dy = f'(x) dx $$
  • 这个公式也解释了为什么导数 $\frac{dy}{dx}$ 可以看作是两个微分 $dy$ 和 $dx$ 的商。

• 微分的几何意义

  • 在曲线 $y = f(x)$ 上一点 $M(x_0, y_0)$ 处，当自变量有增量 $\Delta x$ 时，函数的增量 $\Delta y$ 是曲线纵坐标的实际增量。
  • 而微分 $dy = f'(x_0) \Delta x$ 是曲线在该点的切线的纵坐标的增量。
  • 当 $|\Delta x|$ 很小时，$|\Delta y - dy|$ 是比 $|\Delta x|$ 更高阶的无穷小，这意味着我们可以用切线的增量 $dy$ 来近似代替曲线的增量 $\Delta y$。这就是“以直代曲”的思想。
  • 即 $\Delta y \approx dy$，或 $f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0)\Delta x$。

• 微分的运算法则

  • 由于 $dy = y' dx$，所以微分的运算法则完全可以从导数的运算法则得到。
  1. $d(u \pm v) = du \pm dv$
  2. $d(uv) = v du + u dv$
  3. $d(\frac{u}{v}) = \frac{v du - u dv}{v^2}$ ($v \neq 0$)
  4. 一阶微分形式不变性：设 $y = f(u)$，无论 $u$ 是自变量还是另一个变量 $x$ 的可微函数，其微分形式总是 $dy = f'(u) du$。这个性质在复合函数求微分时非常方便。

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第3章 微分中值定理及其应用

3.1 微分中值定理

• 预备知识：费马引理 (Fermat’s Lemma)

  • 内容：设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某邻域内有定义，且在 $x_0$ 处可导。如果对于该邻域内的任意 $x$，都有 $f(x) \le f(x_0)$（或 $f(x) \ge f(x_0)$），即 $f(x_0)$ 是一个局部最大值（或最小值），那么必有 $f'(x_0) = 0$。
  • 几何意义：如果曲线在某点取得局部极值，且在该点有切线，那么这条切线一定是水平的。
  • 驻点：使导数 $f'(x) = 0$ 的点 $x$ 称为函数的驻点。费马引理告诉我们，可导函数的极值点必定是驻点。

• 罗尔定理 (Rolle’s Theorem)

  • 条件：
    1. 函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续。
    2. 函数 $f(x)$ 在开区间 $(a, b)$ 内可导。
    3. 端点函数值相等，即 $f(a) = f(b)$。
  • 结论：在开区间 $(a, b)$ 内至少存在一点 $\xi$，使得 $f'(\xi) = 0$。
  • 几何意义：一条连续光滑的曲线，如果起点和终点的高度相同，那么在中间至少有一点，其切线是水平的。
  • 作用：罗尔定理是证明其他中值定理的基础，也常用于证明方程 $f'(x) = 0$ 根的存在性。

• 拉格朗日中值定理 (Lagrange’s Mean Value Theorem)

  • 这是本章最核心、应用最广泛的定理，可以看作是罗尔定理的推广（去掉了 $f(a)=f(b)$ 的限制）。
  • 条件：
    1. 函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续。
    2. 函数 $f(x)$ 在开区间 $(a, b)$ 内可导。
  • 结论：在开区间 $(a, b)$ 内至少存在一点 $\xi$，使得 $$ f'(\xi) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} $$ 或者写成 $f(b) - f(a) = f'(\xi)(b - a)$。这个公式也称为拉格朗日公式或有限增量公式。
  • 几何意义：一条连续光滑的曲线，在两点 $A(a, f(a))$ 和 $B(b, f(b))$ 之间，至少存在一点 $C(\xi, f(\xi))$，使得曲线在点 $C$ 处的切线平行于弦 $AB$。因为弦 $AB$ 的斜率就是 $\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$。
  • 重要推论：
    1. 如果函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上的导数恒为零（$f'(x) \equiv 0$），则该函数在区间 $I$ 上是一个常数。
    2. 如果两个函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在区间 $I$ 上的导数恒等（$f'(x) \equiv g'(x)$），则这两个函数在区间 $I$ 上只相差一个常数，即 $f(x) = g(x) + C$。

• 柯西中值定理 (Cauchy’s Mean Value Theorem)

  • 这是拉格朗日中值定理的进一步推广，涉及两个函数。
  • 条件：
    1. 函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续。
    2. 函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在开区间 $(a, b)$ 内可导。
    3. 对于任意 $x \in (a, b)$，$g'(x) \neq 0$。
  • 结论：在开区间 $(a, b)$ 内至少存在一点 $\xi$，使得 $$ \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} = \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} $$
  • 几何意义：如果将 $x$ 看作参数，$\begin{cases} X = g(x) \\ Y = f(x) \end{cases}$ 表示平面上的一条参数曲线。柯西中值定理说明，在曲线的两点之间，至少存在一点，其切线斜率 $\frac{dY}{dX} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$ 等于连接这两点的弦的斜率 $\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$。
  • 关系：当取 $g(x) = x$ 时，柯西中值定理就退化成了拉格朗日中值定理。当再取 $f(a) = f(b)$ 时，就退化成了罗尔定理。
  • 主要用途：柯西中值定理的主要用途是作为证明洛必达法则的理论工具。

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3.2 未定式的极限

在第一章我们遇到过 $\frac{0}{0}$、$\frac{\infty}{\infty}$ 等类型的极限，它们被称为“未定式”，因为仅从形式上无法确定极限是否存在以及等于多少。洛必达法则是解决这类问题的强力武器。

• 洛必达法则 (L’Hôpital’s Rule)

  • 核心思想：在一定条件下，通过分子分母分别求导来计算未定式的极限。
  • $\frac{0}{0}$ 型：
    • 条件：
      1. $\lim_{x \to x_0} f(x) = 0$，$\lim_{x \to x_0} g(x) = 0$。
      2. 在 $x_0$ 的去心邻域内，$f'(x)$ 和 $g'(x)$ 都存在，且 $g'(x) \neq 0$。
      3. $\lim_{x \to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ 存在（或为无穷大）。
    • 结论：$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)}$。
  • $\frac{\infty}{\infty}$ 型：
    • 条件类似，只是将第一个条件改为 $\lim_{x \to x_0} f(x) = \infty$，$\lim_{x \to x_0} g(x) = \infty$。
    • 结论相同。
  • 注意：
    • 该法则对 $x \to \infty$ 的情况同样适用。
    • 如果使用一次后仍是未定式，且满足条件，可以继续使用，直到求出极限或判断出极限不存在为止。
    • 务必先验证是否为未定式！如果不是 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 型，绝对不能使用洛必达法则。

• 其他类型的未定式

  • 除了 $\frac{0}{0}$ 和 $\frac{\infty}{\infty}$，还有 $0 \cdot \infty$、$\infty - \infty$、$0^0$、$1^\infty$、$\infty^0$ 等类型。
  • 处理方法：通过代数变形，将它们转化为 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 型，然后再使用洛必达法则。
    • $0 \cdot \infty$ 型：将其中一个因子放到分母，例如 $f \cdot g = \frac{f}{1/g}$。
    • $\infty - \infty$ 型：通常通过通分、有理化或因式分解来转化。
    • $0^0, 1^\infty, \infty^0$ 型（幂指函数）：通常采用取对数的方法。令 $y = f(x)^{g(x)}$，则 $\ln y = g(x) \ln f(x)$，先求 $\lim \ln y$（这通常会变成 $0 \cdot \infty$ 型），最后再由 $\lim y = e^{\lim \ln y}$ 得到原极限。

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3.3 泰勒公式 (Taylor’s Formula)

泰勒公式是用多项式函数去逼近复杂函数的有力工具，它在近似计算和理论分析中都极其重要。

• 核心思想：如果一个函数足够光滑（高阶可导），那么我们就可以用一个多项式来近似它，并且这个多项式在某一点附近的函数值、一阶导数值、二阶导数值……都与原函数相等。

• 泰勒公式

  • 设函数 $f(x)$ 在含有 $x_0$ 的某个开区间内具有直到 $n+1$ 阶的导数，则对该区间内的任意 $x$，有： $$ f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + \dots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n + R_n(x) $$
  • 其中，$P_n(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \dots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$ 称为 $f(x)$ 的 $n$ 次泰勒多项式。
  • $R_n(x) = f(x) - P_n(x)$ 称为余项，它代表了用多项式逼近函数所产生的误差。

• 常见的余项形式

  1. 拉格朗日余项： $$ R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} $$ 其中 $\xi$ 是介于 $x_0$ 和 $x$ 之间的某个值。这种形式给出了误差的一个具体表达式，便于进行误差估计。
  2. 佩亚诺 (Peano) 余项： $$ R_n(x) = o((x-x_0)^n) $$ 这种形式只关心当 $x \to x_0$ 时误差的阶数，常用于求极限。

• 麦克劳林公式 (Maclaurin’s Formula)

  • 当 $x_0 = 0$ 时的泰勒公式，称为麦克劳林公式。形式更简洁： $$ f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \dots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + R_n(x) $$

• 几个重要的麦克劳林公式 (必须熟记)

  1. $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \dots + \frac{x^n}{n!} + o(x^n)$
  2. $\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots + (-1)^{k-1}\frac{x^{2k-1}}{(2k-1)!} + o(x^{2k})$
  3. $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots + (-1)^k\frac{x^{2k}}{(2k)!} + o(x^{2k+1})$
  4. $\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \dots + (-1)^{n-1}\frac{x^n}{n} + o(x^n)$
  5. $(1+x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + \dots + \frac{\alpha(\alpha-1)\dots(\alpha-n+1)}{n!}x^n + o(x^n)$

• 应用：

  1. 近似计算：用泰勒多项式计算函数值的近似值，并利用拉格朗日余项估计误差。
  2. 求极限：利用带佩亚诺余项的泰勒公式，可以非常方便地解决复杂的 $\frac{0}{0}$ 型极限问题，尤其是当洛必达法则求导过程很繁琐时。

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3.4 函数性态的研究

这一节是导数应用的集大成者，我们利用一阶和二阶导数来全面描绘函数的图像特征。

• 函数的单调性

  • 判定定理：设函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导。
    • 如果在 $(a, b)$ 内 $f'(x) > 0$，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上单调增加。
    • 如果在 $(a, b)$ 内 $f'(x) < 0$，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上单调减少。
  • 步骤：求 $f'(x)$ -> 找驻点和不可导点 -> 用这些点划分定义域 -> 在每个小区间内判断 $f'(x)$ 的符号。

• 函数的极值

  • 定义：如果在 $x_0$ 的某个邻域内，对于任意 $x$ 都有 $f(x) \le f(x_0)$（或 $f(x) \ge f(x_0)$），则称 $f(x_0)$ 为函数的一个极大值（或极小值），$x_0$ 称为极大值点（或极小值点）。极值是局部概念。
  • 必要条件：如果 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导且取得极值，则 $f'(x_0) = 0$。（即极值点必为驻点，但驻点不一定是极值点，如 $y=x^3$ 在 $x=0$ 处）。
  • 第一充分条件：考察 $f'(x)$ 在驻点 $x_0$ 左右两侧的符号变化。
    • 左正右负 -> 极大值。
    • 左负右正 -> 极小值。
    • 符号不变 -> 非极值。
  • 第二充分条件：如果 $f'(x_0) = 0$ 且 $f''(x_0)$ 存在。
    • 若 $f''(x_0) < 0$，则 $f(x_0)$ 是极大值。
    • 若 $f''(x_0) > 0$，则 $f(x_0)$ 是极小值。
    • 若 $f''(x_0) = 0$，则此法失效，需用第一充分条件。

• 函数的凹凸性与拐点

  • 凹凸性定义：
    • 如果曲线弧位于其每一点切线的上方，则称曲线是凹的 (concave up)。
    • 如果曲线弧位于其每一点切线的下方，则称曲线是凸的 (concave down)。
    • （注：不同教材对凹凸的定义可能相反，请以你的教材为准。这里采用国内高等数学教材常用的定义）。
  • 判定定理：设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内具有二阶导数。
    • 如果在 $(a, b)$ 内 $f''(x) > 0$，则曲线是凹的。
    • 如果在 $(a, b)$ 内 $f''(x) < 0$，则曲线是凸的。
  • 拐点：曲线凹凸性发生改变的点。
  • 求拐点步骤：求 $f''(x)$ -> 找 $f''(x)=0$ 的点和二阶导数不存在的点 -> 检查这些点左右两侧 $f''(x)$ 的符号是否改变。如果改变，则该点是拐点。

• 函数图形的描绘

  • 综合以上所有信息，我们可以系统地描绘出函数的大致图形。
  • 步骤：
    1. 确定函数的定义域。
    2. 考察函数的奇偶性、周期性等简单性质。
    3. 求一阶导数 $f'(x)$，确定单调区间和极值点。
    4. 求二阶导数 $f''(x)$，确定凹凸区间和拐点。
    5. 求渐近线（水平、垂直、斜渐近线）。
    6. 计算一些关键点（如与坐标轴的交点）的函数值。
    7. 根据以上信息，在坐标系中描点并连线，画出函数图形。

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3.5 曲线的曲率

这一节研究曲线的弯曲程度，是微分学在几何上的又一个重要应用。

• 弧微分

  • 设曲线 $y=f(x)$ 上有一段弧 $s$，当 $x$ 有增量 $dx$ 时，弧长 $s$ 也有增量 $ds$。
  • 弧微分公式：$ds = \sqrt{1 + (y')^2} dx$。
  • 几何意义：$ds$ 是曲线在点 $(x, y)$ 处切线上的一小段长度，当 $dx$ 很小时，$ds \approx \Delta s$（弧长的增量）。

• 曲率的定义

  • 直观上，曲线的弯曲程度取决于两个因素：切线方向转过的角度 $\Delta \alpha$ 和对应的弧长 $\Delta s$。
  • 平均曲率：$\bar{K} = |\frac{\Delta \alpha}{\Delta s}|$。
  • 曲率：当 $\Delta s \to 0$ 时，平均曲率的极限，即 $K = \lim_{\Delta s \to 0} |\frac{\Delta \alpha}{\Delta s}| = |\frac{d\alpha}{ds}|$。
  • 曲率 $K$ 描述了曲线在某一点处的弯曲程度。$K$ 越大，曲线越弯曲。

• 曲率的计算公式

  • 对于直角坐标方程 $y = f(x)$： $$ K = \frac{|y''|}{(1 + (y')^2)^{3/2}} $$
  • 对于参数方程 $\begin{cases} x = \phi(t) \\ y = \psi(t) \end{cases}$： $$ K = \frac{|\phi'(t)\psi''(t) - \phi''(t)\psi'(t)|}{[(\phi'(t))^2 + (\psi'(t))^2]^{3/2}} $$

• 曲率圆与曲率半径

  • 曲率半径：曲率的倒数，记作 $\rho = \frac{1}{K}$。
  • 曲率圆：在曲线某点 $M$ 处，作一个圆，使其满足：(1) 与曲线在 $M$ 点相切；(2) 在 $M$ 点有相同的曲率；(3) 在 $M$ 点附近有相同的凹凸性。这个圆就称为曲线在点 $M$ 处的曲率圆（或密切圆）。
  • 曲率圆的半径就是曲率半径 $\rho$，圆心称为曲率中心。
  • 物理意义：在研究质点沿曲线运动时，曲率半径 $\rho$ 与向心加速度 $a_n$ 的关系为 $a_n = \frac{v^2}{\rho}$。

好的，我们进入微积分的另一个核心部分——一元函数积分学。

如果说微分学是研究函数的“局部”性质（如瞬时变化率），那么积分学就是研究函数的“整体”性质（如累积效应）。积分学的核心思想是“分割、近似、求和、取极限”，它将无穷多个微小量累加起来，从而解决求面积、体积、功等实际问题。

根据你提供的目录图片，我们将按照以下结构进行详细讲解：

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第4章 一元函数积分学

4.1 定积分的概念与性质

• 引例1：曲边梯形的面积

  • 求由曲线 $y = f(x)$ ($f(x) \ge 0$)、直线 $x=a$、$x=b$ 及 $x$ 轴所围成的图形面积。
  • 步骤：
    1. 分割：在区间 $[a, b]$ 上任意插入 $n-1$ 个分点，将其分成 $n$ 个小区间 $[x_{i-1}, x_i]$，长度为 $\Delta x_i$。
    2. 近似：在每个小区间上任取一点 $\xi_i$，用以 $\Delta x_i$ 为底、$f(\xi_i)$ 为高的小矩形面积 $f(\xi_i)\Delta x_i$ 来近似代替该小区间上小曲边梯形的面积。
    3. 求和：将所有小矩形面积相加，得到总面积的近似值 $S \approx \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i)\Delta x_i$。
    4. 取极限：当所有小区间的最大长度 $\lambda = \max\{\Delta x_i\}$ 趋于 0 时，上述和式的极限就是曲边梯形的精确面积：$A = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i)\Delta x_i$。

• 定积分的定义

  • 综合以上两个例子，我们给出定积分的严格定义。
  • 设函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上有界。将 $[a, b]$ 任意分割成 $n$ 个小区间，在每个小区间 $[x_{i-1}, x_i]$ 上任取一点 $\xi_i$，作和式 $\sum_{i=1}^{n} f(\xi_i)\Delta x_i$（称为黎曼和）。如果当 $\lambda \to 0$ 时，该和式的极限存在，且极限值与区间的分割方式及 $\xi_i$ 的取法无关，则称此极限为函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的定积分，记作： $$ \int_{a}^{b} f(x) dx = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i)\Delta x_i $$
  • 其中，$\int$ 是积分号，$a$ 是积分下限，$b$ 是积分上限，$f(x)$ 是被积函数，$f(x)dx$ 是被积表达式，$x$ 是积分变量。

• 可积的条件

  • 充分条件：如果函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，或者只有有限个第一类间断点且有界，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积。

• 定积分的几何意义

  • 当 $f(x) \ge 0$ 时，$\int_{a}^{b} f(x) dx$ 表示曲边梯形的面积。
  • 当 $f(x)$ 有正有负时，$\int_{a}^{b} f(x) dx$ 表示各部分面积的代数和（$x$ 轴上方的面积为正，下方的面积为负）。

• 定积分的性质

  1. 线性性质：$\int_{a}^{b} [k_1 f(x) \pm k_2 g(x)] dx = k_1 \int_{a}^{b} f(x) dx \pm k_2 \int_{a}^{b} g(x) dx$。
  2. 区间可加性：$\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{c} f(x) dx + \int_{c}^{b} f(x) dx$。
  3. 保号性：如果在 $[a, b]$ 上 $f(x) \ge 0$，则 $\int_{a}^{b} f(x) dx \ge 0$。
  4. 估值定理：设 $m$ 和 $M$ 分别是 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上的最小值和最大值，则 $m(b-a) \le \int_{a}^{b} f(x) dx \le M(b-a)$。
  5. 积分中值定理：如果 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，则在 $(a, b)$ 内至少存在一点 $\xi$，使得 $\int_{a}^{b} f(x) dx = f(\xi)(b-a)$。其几何意义是：存在一个以 $[a, b]$ 为底、$f(\xi)$ 为高的矩形，其面积等于曲边梯形的面积。

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4.2 微积分基本定理

这个定理揭示了微分学和积分学之间深刻的内在联系，是整个微积分学的枢纽。

• 变上限积分函数

  • 设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，对于 $[a, b]$ 上的任意一点 $x$，定积分 $\int_{a}^{x} f(t) dt$ 都存在。这个积分值随着上限 $x$ 的变化而变化，因此它是一个关于 $x$ 的函数，记作 $\Phi(x) = \int_{a}^{x} f(t) dt$。

• 原函数存在定理 (微积分基本定理第一部分)

  • 内容：如果 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，则变上限积分函数 $\Phi(x) = \int_{a}^{x} f(t) dt$ 在 $[a, b]$ 上可导，且其导数就是被积函数本身，即： $$ \Phi'(x) = \frac{d}{dx} \int_{a}^{x} f(t) dt = f(x) $$
  • 意义：这个定理表明，任何一个连续函数 $f(x)$ 都存在原函数（$\Phi(x)$ 就是它的一个原函数）。这为不定积分的存在性提供了理论保证。

• 牛顿-莱布尼茨公式 (Newton-Leibniz Formula, 微积分基本定理第二部分)

  • 内容：如果 $F(x)$ 是连续函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的一个原函数（即 $F'(x) = f(x)$），则： $$ \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) = [F(x)]_{a}^{b} $$
  • 意义：这个公式将一个复杂的极限问题（定积分的定义）转化为了一个简单的代数运算（求原函数在端点的值之差）。它极大地简化了定积分的计算，是连接不定积分和定积分的桥梁。

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4.3 不定积分

不定积分是求导运算的逆运算。

• 原函数与不定积分的定义

  • 原函数：如果在区间 $I$ 上，可导函数 $F(x)$ 的导函数为 $f(x)$，即对任意 $x \in I$ 都有 $F'(x) = f(x)$ 或 $dF(x) = f(x)dx$，那么 $F(x)$ 就称为 $f(x)$ 在区间 $I$ 上的一个原函数。
  • 不定积分：函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上的全体原函数，称为 $f(x)$ 在该区间上的不定积分，记作 $\int f(x) dx$。
  • 如果 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，则其全体原函数可以表示为 $F(x) + C$（$C$ 为任意常数）。因此，$\int f(x) dx = F(x) + C$。

• 基本积分表 (必须熟记，它们是求导公式的逆运算)

  1. $\int k dx = kx + C$
  2. $\int x^\mu dx = \frac{x^{\mu+1}}{\mu+1} + C$ ($\mu \neq -1$)
  3. $\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$
  4. $\int e^x dx = e^x + C$
  5. $\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$
  6. $\int \sin x dx = -\cos x + C$
  7. $\int \cos x dx = \sin x + C$
  8. $\int \sec^2 x dx = \tan x + C$
  9. $\int \csc^2 x dx = -\cot x + C$
  10. $\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = \arcsin x + C$
  11. $\int \frac{1}{1+x^2} dx = \arctan x + C$

• 不定积分的性质

  1. $[\int f(x) dx]' = f(x)$ 或 $d[\int f(x) dx] = f(x)dx$。（先积后导，还原）
  2. $\int f'(x) dx = f(x) + C$ 或 $\int df(x) = f(x) + C$。（先导后积，差一个常数）
  3. $\int [f(x) \pm g(x)] dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx$。
  4. $\int k f(x) dx = k \int f(x) dx$ ($k \neq 0$)。

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4.4 定积分的计算

这一节主要介绍计算定积分的两种核心方法：换元法和分部积分法。它们同样适用于不定积分。

• 换元积分法 (Integration by Substitution)

  • 第一类换元法 (凑微分法)：
    • 核心思想：利用复合函数求导法则的逆过程。如果被积函数可以写成 $f[g(x)]g'(x)$ 的形式，则可以令 $u = g(x)$，于是 $du = g'(x)dx$，原积分变为 $\int f(u) du$。
    • 例子：$\int 2x \cos(x^2) dx$。令 $u = x^2$，则 $du = 2x dx$。原式 $= \int \cos u du = \sin u + C = \sin(x^2) + C$。
  • 第二类换元法：
    • 核心思想：令 $x = \phi(t)$，将复杂的积分转化为简单的积分。要求 $\phi(t)$ 单调、可导且 $\phi'(t) \neq 0$。
    • 常见代换：
      • 三角代换：遇到 $\sqrt{a^2-x^2}$，令 $x = a\sin t$；遇到 $\sqrt{a^2+x^2}$，令 $x = a\tan t$；遇到 $\sqrt{x^2-a^2}$，令 $x = a\sec t$。
      • 根式代换：遇到 $\sqrt[n]{ax+b}$，令 $t = \sqrt[n]{ax+b}$。
  • 定积分的换元法：使用换元法时，积分限也要相应改变。 $$ \int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{\alpha}^{\beta} f[\phi(t)]\phi'(t) dt $$ 其中 $x=a$ 对应 $t=\alpha$，$x=b$ 对应 $t=\beta$。

• 分部积分法 (Integration by Parts)

  • 公式来源：由乘积的求导法则 $(uv)' = u'v + uv'$ 积分得到。
  • 公式：$\int u dv = uv - \int v du$。
  • 核心思想：将一个难算的积分 $\int u dv$ 转化为一个可能更容易计算的积分 $\int v du$。
  • 选取 $u$ 和 $dv$ 的原则：“反对幂指三” (或 LIATE 法则)。按反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数的顺序，排在前面的优先选为 $u$，剩下的部分（包括 $dx$）作为 $dv$。
  • 例子：$\int x e^x dx$。令 $u = x$, $dv = e^x dx$，则 $du = dx$, $v = e^x$。原式 $= xe^x - \int e^x dx = xe^x - e^x + C$。

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4.5 广义积分 (Improper Integrals)

也称为反常积分，是将定积分的概念推广到无穷区间或无界函数的情形。

• 无穷限的广义积分

  • 定义：$\int_{a}^{+\infty} f(x) dx = \lim_{b \to +\infty} \int_{a}^{b} f(x) dx$。
  • 如果右边的极限存在，则称该广义积分收敛；否则称其发散。
  • 类似地可以定义 $\int_{-\infty}^{b} f(x) dx$ 和 $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx$。

• 无界函数的广义积分 (瑕积分)

  • 如果函数 $f(x)$ 在点 $b$ 的左邻域内无界（即 $\lim_{x \to b^-} f(x) = \infty$），则称 $b$ 为瑕点。
  • 定义：$\int_{a}^{b} f(x) dx = \lim_{\epsilon \to 0^+} \int_{a}^{b-\epsilon} f(x) dx$。
  • 同样，如果极限存在则收敛，否则发散。

• 审敛法：在不求出积分值的情况下判断广义积分是否收敛的方法（如比较审敛法、p-积分的结论等）。

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4.6 定积分的几何应用

利用定积分计算各种几何量。核心方法是微元法（或元素法）。

• 微元法思想：

  1. 确定所求量 $U$ 与积分变量 $x$ 的变化区间 $[a, b]$。
  2. 在区间上任取一小区间 $[x, x+dx]$，求出该小区间上所求量的近似值 $dU = f(x)dx$（称为微元）。
  3. 将微元在 $[a, b]$ 上积分，即 $U = \int_{a}^{b} f(x) dx$。

• 平面图形的面积

  • 直角坐标下：$A = \int_{a}^{b} |f(x) - g(x)| dx$。
  • 极坐标下：$A = \int_{\alpha}^{\beta} \frac{1}{2} r^2(\theta) d\theta$。

• 体积

  • 旋转体体积：
    • 绕 $x$ 轴旋转：$V_x = \int_{a}^{b} \pi [f(x)]^2 dx$。
    • 绕 $y$ 轴旋转：$V_y = \int_{c}^{d} \pi [\phi(y)]^2 dy$ 或使用柱壳法 $V_y = \int_{a}^{b} 2\pi x |f(x)| dx$。
  • 平行截面面积已知的立体体积：$V = \int_{a}^{b} A(x) dx$，其中 $A(x)$ 是过点 $x$ 且垂直于 $x$ 轴的截面面积。

• 平面曲线的弧长

  • 直角坐标：$s = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + (y')^2} dx$。
  • 参数方程：$s = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{[x'(t)]^2 + [y'(t)]^2} dt$。
  • 极坐标：$s = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{r^2(\theta) + [r'(\theta)]^2} d\theta$。

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第5章 常微分方程

5.1 微分方程的基本概念

• 微分方程的定义

  • 含有未知函数、未知函数的导数（或微分）以及自变量的方程，称为微分方程。
  • 常微分方程 (ODE)：未知函数是一元函数的微分方程。本章只讨论常微分方程。
  • 偏微分方程 (PDE)：未知函数是多元函数的微分方程。（本书不涉及）
  • 例子：$y' = 2x$, $y'' + y = 0$, $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ 都是常微分方程。

• 阶 (Order)

  • 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数，称为该微分方程的阶。
  • 例子：$y' = 2x$ 是一阶方程；$y'' + y = 0$ 是二阶方程；$(y''')^2 + y' = x$ 是三阶方程。

• 解 (Solution)

  • 如果将一个函数 $y = \phi(x)$ 代入微分方程后，能使方程成为恒等式，则称该函数为微分方程的解。
  • 例子：对于方程 $y' = 2x$，函数 $y = x^2$ 是一个解，因为 $(x^2)' = 2x$。函数 $y = x^2 + 1$ 也是一个解。

• 通解 (General Solution) 与特解 (Particular Solution)

  • 通解：如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解称为通解。通解代表了方程所有可能的解构成的集合（解族）。
    • 例子：$y = x^2 + C$ 是 $y' = 2x$ 的通解（一阶方程，含一个任意常数 $C$）。
  • 特解：确定了通解中所有任意常数值的解，称为特解。特解通常是通过初始条件来确定的。
    • 例子：如果给定初始条件 $y(0) = 1$，代入通解 $y = x^2 + C$ 得 $1 = 0^2 + C$，所以 $C=1$。于是 $y = x^2 + 1$ 就是满足该初始条件的一个特解。

• 初始条件 (Initial Condition)

  • 用来确定通解中任意常数的附加条件。对于一个 $n$ 阶微分方程，通常需要 $n$ 个初始条件，形式一般为 $y(x_0) = y_0, y'(x_0) = y_1, \dots, y^{(n-1)}(x_0) = y_{n-1}$。
  • 求满足初始条件的特解的问题，称为初值问题 (Initial Value Problem, IVP)。

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5.2 一阶微分方程

这是最常见、最基础的一类微分方程。我们将学习几种有固定解法的一阶方程。

• 可分离变量的方程

  • 形式：$\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)$ 或 $M(x)N(y)dx + P(x)Q(y)dy = 0$。
  • 解法：通过代数运算，将所有含 $y$ 的项和 $dy$ 移到等式一边，所有含 $x$ 的项和 $dx$ 移到另一边，然后两边同时积分。 $$ \int \frac{1}{g(y)} dy = \int f(x) dx $$
  • 例子：求解 $y' = xy$。
    • 分离变量：$\frac{dy}{y} = x dx$ ($y \neq 0$)
    • 两边积分：$\int \frac{dy}{y} = \int x dx \Rightarrow \ln|y| = \frac{1}{2}x^2 + C_1$
    • 整理得通解：$y = \pm e^{C_1} e^{\frac{1}{2}x^2} = C e^{\frac{1}{2}x^2}$ （令 $C = \pm e^{C_1}$，且 $C$ 可以为0，包含了 $y=0$ 的解）。

• 齐次方程 (Homogeneous Equation)

  • 形式：$\frac{dy}{dx} = \phi(\frac{y}{x})$。其特点是右边的函数可以写成 $\frac{y}{x}$ 的函数。
  • 解法：作变量代换 $u = \frac{y}{x}$，即 $y = ux$。则 $\frac{dy}{dx} = u + x\frac{du}{dx}$。代入原方程，得到一个关于 $u$ 和 $x$ 的可分离变量的方程。 $$ u + x\frac{du}{dx} = \phi(u) \Rightarrow \frac{du}{\phi(u) - u} = \frac{dx}{x} $$
  • 解出 $u$ 后，再用 $y/x$ 代回 $u$。

• 一阶线性微分方程

  • 标准形式：$\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$。
    • 当 $Q(x) \equiv 0$ 时，称为齐次的。
    • 当 $Q(x) \not\equiv 0$ 时，称为非齐次的。
  • 解法：
    1. 先解对应的齐次方程 $\frac{dy}{dx} + P(x)y = 0$。这是一个可分离变量的方程，其通解为 $y = C e^{-\int P(x) dx}$。
    2. 常数变易法：将齐次方程通解中的常数 $C$ 变为一个待定函数 $u(x)$，即设非齐次方程的解为 $y = u(x) e^{-\int P(x) dx}$。
    3. 将这个假设的解代入原非齐次方程，求出 $u(x)$。
  • 通解公式（可以直接记忆）： $$ y = e^{-\int P(x) dx} \left( \int Q(x) e^{\int P(x) dx} dx + C \right) $$

• 伯努利方程 (Bernoulli’s Equation)

  • 形式：$\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)y^n$ ($n \neq 0, 1$)。
  • 解法：通过变量代换将其化为线性方程。两边同除以 $y^n$，得 $y^{-n}y' + P(x)y^{1-n} = Q(x)$。令 $z = y^{1-n}$，则 $z' = (1-n)y^{-n}y'$。代入后得到一个关于 $z$ 的一阶线性方程。

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5.3 可降阶的高阶方程

对于一些特殊类型的高阶微分方程，我们可以通过变量代换，降低其阶数，从而化归为一阶或二阶方程来求解。

• $y^{(n)} = f(x)$ 型

  • 特点：方程右端仅含自变量 $x$。
  • 解法：直接连续积分 $n$ 次即可。
  • 例子：$y''' = e^x$。积分一次得 $y'' = e^x + C_1$，再积分得 $y' = e^x + C_1x + C_2$，最后得 $y = e^x + \frac{1}{2}C_1x^2 + C_2x + C_3$。

• $y'' = f(x, y')$ 型 (不显含 $y$)

  • 解法：令 $p = y'$，则 $y'' = p'$。原方程化为一阶方程 $p' = f(x, p)$。解出 $p = \phi(x, C_1)$ 后，再由 $y' = p$ 积分一次得到 $y$。

• $y'' = f(y, y')$ 型 (不显含 $x$)

  • 解法：令 $p = y'$，此时需要将 $y''$ 用 $y$ 和 $p$ 表示。利用链式法则：$y'' = \frac{dp}{dx} = \frac{dp}{dy} \cdot \frac{dy}{dx} = p \frac{dp}{dy}$。原方程化为一阶方程 $p \frac{dp}{dy} = f(y, p)$。解出 $p = \phi(y, C_1)$ 后，再由 $\frac{dy}{dx} = p$ 分离变量求解。

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5.4 线性微分方程解的结构

这一节讨论高阶线性微分方程解的性质，这些性质是后续求解方法的理论基础。我们主要讨论二阶线性方程，其结论可推广到 $n$ 阶。

• 二阶线性微分方程的标准形式：

  $$ y'' + P(x)y' + Q(x)y = f(x) $$
  • 当 $f(x) \equiv 0$ 时，称为齐次的。
  • 当 $f(x) \not\equiv 0$ 时，称为非齐次的。

• 齐次方程解的结构

  • 叠加原理：如果 $y_1(x)$ 和 $y_2(x)$ 是齐次方程的两个解，那么它们的线性组合 $y = C_1y_1(x) + C_2y_2(x)$ 也是该方程的解。
  • 通解结构定理：如果 $y_1(x)$ 和 $y_2(x)$ 是齐次方程的两个线性无关的特解（即它们的比值不是常数），则该齐次方程的通解为 $y = C_1y_1(x) + C_2y_2(x)$。

• 非齐次方程解的结构

  • 定理：非齐次方程的通解 $y$ 等于其对应的齐次方程的通解 $Y$ 加上非齐次方程本身的一个特解 $y^*$。 $$ y = Y + y^* = C_1y_1(x) + C_2y_2(x) + y^* $$
  • 解的叠加原理：如果 $y_1^*$ 是方程 $L[y] = f_1(x)$ 的特解，$y_2^*$ 是方程 $L[y] = f_2(x)$ 的特解，那么 $y_1^* + y_2^*$ 就是方程 $L[y] = f_1(x) + f_2(x)$ 的特解。（其中 $L[y]$ 表示 $y''+P(x)y'+Q(x)y$）。

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5.5 线性常系数齐次方程

当 $P(x)$ 和 $Q(x)$ 都是常数时，方程变为 $y'' + py' + qy = 0$。这类方程有非常系统的解法。

• 特征方程法
  • 我们猜测解具有 $y = e^{rx}$ 的形式。代入方程得 $(r^2 + pr + q)e^{rx} = 0$。因为 $e^{rx} \neq 0$，所以必须有 $r^2 + pr + q = 0$。这个代数方程称为特征方程。
  • 根据特征根 $r_1, r_2$ 的不同情况，写出通解：
    1. 两个不相等的实根 ($r_1 \neq r_2$)：通解为 $y = C_1 e^{r_1x} + C_2 e^{r_2x}$。
    2. 两个相等的实根 ($r_1 = r_2 = r$)：通解为 $y = (C_1 + C_2x) e^{rx}$。
    3. 一对共轭复根 ($r_{1,2} = \alpha \pm i\beta$)：通解为 $y = e^{\alpha x} (C_1 \cos \beta x + C_2 \sin \beta x)$。

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5.6 线性常系数非齐次方程

方程形式为 $y'' + py' + qy = f(x)$。根据 5.4 节的结构定理，我们只需要求出对应齐次方程的通解 $Y$（方法见 5.5）和非齐次方程的一个特解 $y^*$。这里介绍求特解 $y^*$ 的待定系数法，它适用于 $f(x)$ 是某些特殊类型的函数。

• $f(x) = e^{\lambda x} P_m(x)$ 型

  • 其中 $P_m(x)$ 是 $x$ 的 $m$ 次多项式。
  • 设特解形式：$y^* = x^k e^{\lambda x} Q_m(x)$。
    • $Q_m(x)$ 是与 $P_m(x)$ 同次的待定系数多项式。
    • $k$ 的取值取决于 $\lambda$ 是否为特征方程的根：
      • 若 $\lambda$ 不是特征根，则 $k=0$。
      • 若 $\lambda$ 是特征单根，则 $k=1$。
      • 若 $\lambda$ 是特征重根，则 $k=2$。
  • 将 $y^*$ 代入原方程，比较两边同次幂的系数，解出 $Q_m(x)$ 的系数。

• $f(x) = e^{\lambda x} [P_l(x) \cos \omega x + P_n(x) \sin \omega x]$ 型

  • 设特解形式：$y^* = x^k e^{\lambda x} [R_m^{(1)}(x) \cos \omega x + R_m^{(2)}(x) \sin \omega x]$。
    • $m = \max(l, n)$。
    • $R_m^{(1)}(x)$ 和 $R_m^{(2)}(x)$ 是两个 $m$ 次的待定系数多项式。
    • $k$ 的取值取决于 $\lambda + i\omega$ 是否为特征方程的根：
      • 若不是特征根，则 $k=0$。
      • 若是特征单根，则 $k=1$。

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5.7 常系数线性微分方程组

将单个高阶方程的求解方法推广到由多个一阶方程组成的方程组。通常可以通过消元法，将方程组化为一个高阶方程来求解。

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