介绍微积分的基础知识

第6章 向量代数与空间解析几何

6.1 空间直角坐标系 (Space Rectangular Coordinate System)

这是研究空间几何的基础框架。

• 空间直角坐标系的建立：在空间中取一定点 $O$ 作为原点，过 $O$ 点作三条两两垂直的数轴，分别称为 $x$ 轴（横轴）、$y$ 轴（纵轴）、$z$ 轴（竖轴）。它们符合右手定则。这三个轴确定了三个坐标面：$xOy$ 面、$yOz$ 面、$zOx$ 面，并将空间分为八个卦限。
• 空间点的坐标：空间中任意一点 $M$ 都可以用一个有序三元组 $(x, y, z)$ 来唯一确定，称为点 $M$ 的坐标。
• 空间两点间的距离公式：设空间两点 $M_1(x_1, y_1, z_1)$ 和 $M_2(x_2, y_2, z_2)$，它们之间的距离 $d$ 为： $$d = |M_1M_2| = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$$

6.2 向量及其线性运算 (Vectors and Their Linear Operations)

引入向量工具，用代数方法处理几何中的方向和大小问题。

• 向量的概念：既有大小又有方向的量称为向量（或矢量），通常用带箭头的字母 $\vec{a}$ 或有向线段 $\overrightarrow{AB}$ 表示。向量的大小称为模，记作 $|\vec{a}|$。模为1的向量叫单位向量，模为0的向量叫零向量 $\vec{0}$。
• 向量的线性运算：
  • 加法：遵循平行四边形法则或三角形法则。满足交换律和结合律。
  • 减法：$\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})$。
  • 数乘：实数 $\lambda$ 与向量 $\vec{a}$ 的乘积 $\lambda\vec{a}$ 是一个向量。其模为 $|\lambda||\vec{a}|$，方向当 $\lambda > 0$ 时与 $\vec{a}$ 相同，$\lambda < 0$ 时相反。
• 向量的坐标表示：在空间直角坐标系中，以原点为起点的向量 $\overrightarrow{OM} = \{x, y, z\} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$，其中 $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ 分别是 $x, y, z$ 轴上的单位向量。向量的线性运算可以转化为对应坐标的代数运算。
• 向量共线（平行）的条件：$\vec{a} // \vec{b} (\vec{b} \neq \vec{0}) \iff \vec{a} = \lambda\vec{b}$。在坐标下表现为对应坐标成比例。

6.3 向量的乘积 (Products of Vectors)

向量之间有两种重要的乘法运算，它们在物理和几何中有广泛应用。

• 数量积（点积、内积）：
  • 定义：$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos\theta$ （$\theta$ 为两向量夹角）。结果是一个标量（实数）。
  • 坐标表示：若 $\vec{a}=\{x_1, y_1, z_1\}, \vec{b}=\{x_2, y_2, z_2\}$，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$。
  • 应用：求向量夹角、判断向量垂直（$\vec{a} \perp \vec{b} \iff \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$）、求投影。
• 向量积（叉积、外积）：
  • 定义：$\vec{a} \times \vec{b}$ 是一个向量。其模 $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin\theta$（几何意义是以 $\vec{a}, \vec{b}$ 为邻边的平行四边形面积）。其方向垂直于 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 所在的平面，且 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{a} \times \vec{b}$ 符合右手定则。
  • 坐标表示：利用行列式计算 $\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end{vmatrix}$。
  • 应用：求同时垂直于两个向量的法向量、判断向量平行（$\vec{a} // \vec{b} \iff \vec{a} \times \vec{b} = \vec{0}$）。
• 混合积：$(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) = (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}$。结果是一个标量，其绝对值等于以这三个向量为棱的平行六面体的体积。用于判断三向量是否共面。

6.4 平面的方程 (Equations of a Plane)

利用向量工具建立空间平面的代数表达式。

• 点法式方程：已知平面上一点 $M_0(x_0, y_0, z_0)$ 和平面的法向量 $\vec{n} = \{A, B, C\}$，则平面方程为： $$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$$
• 一般方程：任何平面都可以表示为三元一次方程： $$Ax + By + Cz + D = 0$$ 其中 $\vec{n} = \{A, B, C\}$ 就是该平面的法向量。
• 截距式方程：若平面在 $x, y, z$ 轴上的截距分别为 $a, b, c$ ($abc \neq 0$)，则方程为 $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$。
• 两平面的夹角：通过它们的法向量的夹角来求。设两平面法向量为 $\vec{n}_1, \vec{n}_2$，夹角 $\theta$ 满足 $\cos\theta = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1||\vec{n}_2|}$。两平面垂直 $\iff \vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 0$；平行 $\iff \vec{n}_1 // \vec{n}_2$。
• 点到平面的距离公式：点 $P(x_0, y_0, z_0)$ 到平面 $Ax+By+Cz+D=0$ 的距离 $d = \frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$。

6.5 空间直线的方程 (Equations of a Space Line)

空间直线通常看作是两个平面的交线，或者由一点和方向向量确定。

• 一般式方程：作为两平面的交线，由两个平面方程联立而成： $$\begin{cases} A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0 \\ A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0 \end{cases}$$
• 对称式方程（点向式方程）：已知直线上一点 $M_0(x_0, y_0, z_0)$ 和直线的方向向量 $\vec{s} = \{m, n, p\}$，则方程为： $$\frac{x - x_0}{m} = \frac{y - y_0}{n} = \frac{z - z_0}{p}$$
• 参数式方程：令上述比值为 $t$，可得 $x=x_0+mt, y=y_0+nt, z=z_0+pt$。
• 两直线的夹角：通过它们的方向向量的夹角来求。
• 直线与平面的夹角：直线的方向向量 $\vec{s}$ 与平面的法向量 $\vec{n}$ 的夹角的余角。$\sin\varphi = \frac{|\vec{s} \cdot \vec{n}|}{|\vec{s}||\vec{n}|}$。直线与平面平行 $\iff \vec{s} \perp \vec{n}$；垂直 $\iff \vec{s} // \vec{n}$。

6.6 空间曲面与空间曲线 (Space Surfaces and Space Curves)

将方程与几何图形建立更广泛的联系。

• 空间曲面方程：如果曲面 $S$ 上任意一点的坐标都满足方程 $F(x, y, z) = 0$，而不在曲面上的点的坐标都不满足该方程，则称此方程为曲面 $S$ 的方程。
  • 旋转曲面：一条平面曲线绕该平面内的一条定直线旋转一周所生成的曲面。例如，$yOz$ 面上的曲线 $f(y, z)=0$ 绕 $z$ 轴旋转，方程变为 $f(\pm\sqrt{x^2+y^2}, z)=0$。
  • 柱面：平行于定直线并沿定曲线移动的直线形成的轨迹。例如 $x^2+y^2=R^2$ 在空间中表示母线平行于 $z$ 轴的圆柱面。
• 空间曲线方程：
  • 一般式：作为两曲面的交线，$\begin{cases} F(x, y, z) = 0 \\ G(x, y, z) = 0 \end{cases}$。
  • 参数式：$\begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \\ z = z(t) \end{cases}$。
• 空间曲线在坐标面上的投影：通过消去一个变量，得到投影柱面方程，再与相应的坐标面方程联立，即可得到投影曲线。这在计算重积分时非常重要。

6.7 二次曲面 (Quadric Surfaces)

由三元二次方程 $Ax^2+By^2+Cz^2+Dxy+Eyz+Fzx+Gx+Hy+Iz+J=0$ 所表示的曲面。主要研究以下几种标准型：

• 椭球面：$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$
• 单叶双曲面：$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1$ （形状像冷却塔）
• 双叶双曲面：$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1$
• 椭圆锥面：$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = z^2$
• 椭圆抛物面：$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = z$ （形状像碗）
• 双曲抛物面（马鞍面）：$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = z$
• 学习方法：通常使用截痕法（用平行于坐标面的平面去截曲面，观察截线的形状）来认识和绘制这些曲面的草图。

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第7章 多元函数微分学

7.1 多元函数的极限与连续 (Limits and Continuity of Multivariable Functions)

这是多元微分学的逻辑起点，主要研究二元函数 $z = f(x, y)$。

• 多元函数的概念：设 $D$ 是平面上的一个点集，如果对于 $D$ 中的每一个点 $(x, y)$，按照一定的法则 $f$，都有唯一确定的实数 $z$ 与之对应，则称 $z$ 是 $(x, y)$ 的二元函数，记作 $z = f(x, y)$。$D$ 称为定义域。其几何意义是空间中的一张曲面。
• 二元函数的极限：当点 $P(x, y)$ 以任意方式趋近于点 $P_0(x_0, y_0)$ 时，函数 $f(x, y)$ 无限接近于常数 $A$，则称 $A$ 为极限，记作 $\lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} f(x,y) = A$。
  • 核心难点：与一元函数不同，二元函数趋近于一点有无数条路径（直线、抛物线等）。如果沿不同路径趋近得到的极限值不同，或者某条路径下极限不存在，则原极限不存在。这是证明极限不存在的常用方法。
• 二元函数的连续性：如果 $\lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} f(x,y) = f(x_0, y_0)$，则称函数在点 $(x_0, y_0)$ 连续。一切多元初等函数在其定义区域内都是连续的。

7.2 偏导数 (Partial Derivatives)

研究多元函数随某一个自变量变化时的变化率。

• 偏导数的定义：在求 $f(x, y)$ 对 $x$ 的偏导数时，把 $y$ 看作常数，按一元函数求导法则对 $x$ 求导，记作 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 或 $f_x(x,y)$。同理可求对 $y$ 的偏导数 $\frac{\partial z}{\partial y}$。
• 高阶偏导数：偏导数仍然是 $x, y$ 的函数，可以继续求导，得到二阶偏导数：$f_{xx}, f_{xy}, f_{yx}, f_{yy}$。其中 $f_{xy}$ 和 $f_{yx}$ 称为混合偏导数。
• 重要定理：如果混合偏导数 $f_{xy}$ 和 $f_{yx}$ 在某区域内连续，则它们在该区域内相等，即 $f_{xy} = f_{yx}$（与求导顺序无关）。
• 注意：在一元函数中，可导必连续；但在多元函数中，即使所有偏导数都存在，函数也不一定连续。

7.3 全微分 (Total Differential)

用线性函数来近似代替多元函数的增量。

• 全增量的线性主部：如果函数 $z=f(x,y)$ 的全增量 $\Delta z = f(x+\Delta x, y+\Delta y) - f(x,y)$ 可以表示为 $\Delta z = A\Delta x + B\Delta y + o(\rho)$ （其中 $\rho = \sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}$），则称函数在该点可微，$A\Delta x + B\Delta y$ 称为全微分，记作 $dz = A dx + B dy$。
• 可微的必要条件：若可微，则偏导数必定存在，且 $A = \frac{\partial z}{\partial x}, B = \frac{\partial z}{\partial y}$。因此全微分公式为 $dz = \frac{\partial z}{\partial x}dx + \frac{\partial z}{\partial y}dy$。
• 可微的充分条件：如果偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}$ 在某点连续，则函数在该点可微。
• 关系梳理：可微 $\implies$ 连续；可微 $\implies$ 偏导数存在。但反之均不成立。
• 应用：利用全微分进行近似计算，即 $\Delta z \approx dz$。

7.4 复合函数与隐函数的微分法 (Differentiation of Composite and Implicit Functions)

这是多元微分学中最具技巧性、也是计算量最大的一节。

• 多元复合函数求导法则（链式法则）：
  • 例如 $z = f(u, v), u = \varphi(x, y), v = \psi(x, y)$，则 $z$ 是 $x, y$ 的复合函数。
  • 求导公式：$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}$。
  • 核心技巧：画出“变量关系树状图”，遵循“分路相加，连线相乘”的原则，不容易漏项。
• 全微分形式不变性：无论 $u, v$ 是自变量还是中间变量，全微分的形式 $dz = \frac{\partial z}{\partial u}du + \frac{\partial z}{\partial v}dv$ 始终保持不变。
• 隐函数求导法则：
  • 由方程 $F(x, y, z) = 0$ 确定的隐函数 $z = f(x, y)$。
  • 求导公式：$\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_x}{F_z}$，$\frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F_y}{F_z}$ （前提是 $F_z \neq 0$）。
  • 对于方程组确定的隐函数组，通常通过对方程两边同时求偏导，然后解线性方程组来求得偏导数。

7.5 方向导数与梯度 (Directional Derivatives and Gradients)

偏导数只反映了函数沿坐标轴方向的变化率，而方向导数研究函数沿任意指定方向的变化率。

• 方向导数：函数 $z=f(x,y)$ 在点 $P$ 处沿方向 $\vec{l}$ （方向角为 $\alpha, \beta$）的方向导数为： $$\frac{\partial f}{\partial l} = \frac{\partial f}{\partial x}\cos\alpha + \frac{\partial f}{\partial y}\cos\beta$$ （前提是函数在该点可微）。
• 梯度 (Gradient)：这是一个向量，记作 $\text{grad } f$ 或 $\nabla f$。 $$\nabla f(x,y) = \left\{ \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right\} = \frac{\partial f}{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial f}{\partial y}\vec{j}$$
• 梯度的几何与物理意义：
  1. 方向导数与梯度的关系：$\frac{\partial f}{\partial l} = \nabla f \cdot \vec{e}_l = |\nabla f| \cos\theta$ （$\vec{e}_l$ 是方向 $\vec{l}$ 的单位向量）。
  2. 函数在某点处，沿梯度方向的方向导数最大，最大值就是梯度的模 $|\nabla f|$；沿梯度反方向的方向导数最小。
  3. 梯度向量垂直于该点的等值线（或等值面），并指向函数值增加最快的方向。

7.6 微分学在几何上的应用 (Geometric Applications of Differential Calculus)

将第6章的空间解析几何与本章的微分学结合起来。

• 空间曲线的切线与法平面：
  • 若曲线由参数方程 $x=x(t), y=y(t), z=z(t)$ 给出，在点 $t_0$ 处的切向量为 $\vec{T} = \{x'(t_0), y'(t_0), z'(t_0)\}$。由此可写出切线方程（对称式）和法平面方程（点法式）。
• 空间曲面的切平面与法线：
  • 若曲面由隐方程 $F(x, y, z) = 0$ 给出，在点 $M_0(x_0, y_0, z_0)$ 处的法向量就是该点的梯度：$\vec{n} = \nabla F|_{M_0} = \{F_x, F_y, F_z\}|_{M_0}$。
  • 由此可写出切平面方程：$F_x(x_0,y_0,z_0)(x-x_0) + F_y(x_0,y_0,z_0)(y-y_0) + F_z(x_0,y_0,z_0)(z-z_0) = 0$。以及法线方程。

*7.7 二元函数的泰勒公式 (Taylor’s Formula for Binary Functions)

(注：带星号通常表示选学内容)

• 将一元函数的泰勒公式推广到二元函数。利用函数在某点 $(x_0, y_0)$ 的各阶偏导数，构造一个多项式来近似表示该函数在其邻域内的值。
• 一阶泰勒公式（线性近似）本质上就是全微分的近似表达。二阶泰勒公式在后续研究极值问题时非常有用。

7.8 多元函数的极值 (Extrema of Multivariable Functions)

寻找多元函数的最大值和最小值，在工程优化中有巨大应用。

• 无条件极值：
  • 必要条件：若 $f(x,y)$ 在 $(x_0, y_0)$ 处取得极值且偏导数存在，则 $f_x(x_0, y_0) = 0, f_y(x_0, y_0) = 0$。满足此条件的点称为驻点。
  • 充分条件：设 $(x_0, y_0)$ 是驻点，记 $A = f_{xx}, B = f_{xy}, C = f_{yy}$，令判别式 $\Delta = AC - B^2$。
    • 若 $\Delta > 0$ 且 $A < 0$，则为极大值；
    • 若 $\Delta > 0$ 且 $A > 0$，则为极小值；
    • 若 $\Delta < 0$，则不是极值（是鞍点）；
    • 若 $\Delta = 0$，则无法判断，需用定义或其他方法。
• 条件极值与拉格朗日乘数法：
  • 求函数 $z = f(x, y)$ 在附加条件 $\varphi(x, y) = 0$ 下的极值。
  • 拉格朗日乘数法：构造拉格朗日函数 $L(x, y, \lambda) = f(x, y) + \lambda \varphi(x, y)$。分别对 $x, y, \lambda$ 求偏导并令其为0，解方程组得到的点即为可能的条件极值点。

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第8章 重积分

8.1 重积分的概念和性质 (Concepts and Properties of Multiple Integrals)

这是重积分的理论基础，其建立过程与一元定积分的“分割、近似、求和、取极限”思想完全一致。

• 二重积分的概念：设 $f(x, y)$ 是有界闭区域 $D$ 上的有界函数。将 $D$ 任意分成 $n$ 个小区域 $\Delta \sigma_i$，在每个小区域上任取一点 $(\xi_i, \eta_i)$，作乘积 $f(\xi_i, \eta_i)\Delta \sigma_i$ 并求和。当各小区域的最大直径趋于0时，如果该和式的极限存在，则称此极限为 $f(x, y)$ 在 $D$ 上的二重积分，记作： $$\iint_D f(x, y) d\sigma \quad \text{或} \quad \iint_D f(x, y) dx dy$$
  • 几何意义：当 $f(x, y) \ge 0$ 时，二重积分表示以 $D$ 为底，曲面 $z = f(x, y)$ 为顶的曲顶柱体的体积。
• 三重积分的概念：类似地，将空间闭区域 $\Omega$ 分割，求和取极限，记作 $\iiint_\Omega f(x, y, z) dv$ 或 $\iiint_\Omega f(x, y, z) dx dy dz$。
  • 物理意义：当 $f(x, y, z)$ 表示空间物体 $\Omega$ 在点 $(x, y, z)$ 处的密度时，三重积分表示该物体的总质量。
• 重积分的性质：与一元定积分高度相似，包括线性性质、对区域的可加性、保号性、估值定理、中值定理等。
  • 重要推论：若 $f(x,y) = 1$，则 $\iint_D 1 d\sigma = \sigma$ （区域 $D$ 的面积）；$\iiint_\Omega 1 dv = V$ （区域 $\Omega$ 的体积）。
  • 对称性（奇偶性）：这是计算重积分时极其重要的技巧。如果积分区域 $D$ 关于 $x$ 轴对称，且被积函数 $f(x,y)$ 是关于 $y$ 的奇函数，则积分为0；若是偶函数，则为对称部分积分的2倍。对 $y$ 轴、原点对称同理。三重积分也有类似的对称性。

8.2 二重积分的计算 (Calculation of Double Integrals)

本章的重点和难点，核心方法是将二重积分化为两次一元定积分（累次积分）。

• 在直角坐标系下计算：
  • X-型区域（穿针引线法：平行于y轴的直线穿过区域，先交下边界后交上边界）：先对 $y$ 积分，后对 $x$ 积分。 $$\iint_D f(x,y) dx dy = \int_a^b dx \int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)} f(x,y) dy$$
  • Y-型区域（平行于x轴的直线穿过区域，先交左边界后交右边界）：先对 $x$ 积分，后对 $y$ 积分。 $$\iint_D f(x,y) dx dy = \int_c^d dy \int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)} f(x,y) dx$$
  • 交换积分次序：有时给定的积分次序很难算出（例如 $\int e^{x^2} dx$ 积不出来），需要通过画出积分区域 $D$ 的草图，将其从 X-型 转换为 Y-型（或反之），从而改变积分次序使计算变得可行。这是考试的常考点。
• 在极坐标系下计算：
  • 当积分区域 $D$ 是圆形、扇形、环形，或者被积函数含有 $x^2+y^2$ 时，使用极坐标往往更简便。
  • 变量代换：$x = r\cos\theta, y = r\sin\theta$。
  • 面积元素的变化：$dx dy$ 变为 $r dr d\theta$ （注意千万不要漏掉这个雅可比行列式带来的 $r$）。
  • 公式：$\iint_D f(x,y) dx dy = \iint_{D'} f(r\cos\theta, r\sin\theta) r dr d\theta = \int_\alpha^\beta d\theta \int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)} f(r\cos\theta, r\sin\theta) r dr$。

8.3 三重积分的计算 (Calculation of Triple Integrals)

将二重积分的计算方法推广到三维空间。

• 在直角坐标系下计算：
  • “先一后二”法（投影法 / 截面法）：先将空间区域 $\Omega$ 投影到 $xOy$ 面上得到区域 $D_{xy}$。对于 $D_{xy}$ 上任意一点 $(x,y)$，用平行于 $z$ 轴的直线穿过 $\Omega$，确定 $z$ 的下限 $z_1(x,y)$ 和上限 $z_2(x,y)$。 $$\iiint_\Omega f(x,y,z) dv = \iint_{D_{xy}} dx dy \int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)} f(x,y,z) dz$$ 这就把三重积分化为了一个二重积分和一个定积分。
  • “先二后一”法（切片法 / 截面法）：先用平行于 $xOy$ 面的平面去截 $\Omega$，得到截面 $D_z$。先在这个截面上算二重积分，然后再沿 $z$ 轴积分。 $$\iiint_\Omega f(x,y,z) dv = \int_{c_1}^{c_2} dz \iint_{D_z} f(x,y,z) dx dy$$ 当被积函数仅为 $z$ 的函数，或者截面 $D_z$ 的面积很容易求出时，此法非常高效。
• 在柱面坐标系下计算：
  • 相当于在 $xOy$ 面上用极坐标，加上 $z$ 轴。$x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, z=z$。
  • 体积元素 $dv = r dr d\theta dz$。适用于积分区域是圆柱体、圆锥体或旋转抛物面围成的区域。
• 在球面坐标系下计算：
  • 变量代换：$x = r\sin\varphi\cos\theta, y = r\sin\varphi\sin\theta, z = r\cos\varphi$。（注意不同教材对 $\varphi$ 和 $\theta$ 的定义可能互换，通常 $\varphi$ 是与 $z$ 轴正向的夹角，范围 $[0, \pi]$）。
  • 体积元素 $dv = r^2 \sin\varphi dr d\varphi d\theta$ （注意不要漏掉 $r^2 \sin\varphi$）。
  • 适用于积分区域是球体、球锥体，或被积函数含有 $x^2+y^2+z^2$ 的情况。

8.4 重积分的应用 (Applications of Multiple Integrals)

利用重积分的物理和几何意义解决实际问题。

• 几何应用：
  • 平面图形的面积：$A = \iint_D 1 d\sigma$。
  • 空间曲面的面积：若曲面方程为 $z = f(x,y)$，其在 $xOy$ 面上的投影为 $D$，则曲面面积 $S = \iint_D \sqrt{1 + (\frac{\partial z}{\partial x})^2 + (\frac{\partial z}{\partial y})^2} dx dy$。
  • 空间立体的体积：$V = \iiint_\Omega 1 dv$，或者利用二重积分求曲顶柱体体积 $V = \iint_D |f(x,y)| d\sigma$。
• 物理应用（假设密度函数为 $\rho$）：
  • 质量：平面薄片质量 $M = \iint_D \rho(x,y) d\sigma$；空间物体质量 $M = \iiint_\Omega \rho(x,y,z) dv$。
  • 质心（重心）坐标：例如空间物体的质心横坐标 $\bar{x} = \frac{1}{M} \iiint_\Omega x \rho(x,y,z) dv$。若密度均匀（$\rho$ 为常数），则称为形心。
  • 转动惯量：例如空间物体对 $z$ 轴的转动惯量 $I_z = \iiint_\Omega (x^2+y^2) \rho(x,y,z) dv$。

*8.5 重积分的换元法 (Change of Variables in Multiple Integrals)

(注：带星号通常表示选学或进阶内容，其实前面的极坐标、柱面坐标、球面坐标都是换元法的特例)

• 一般理论：设变换 $x = x(u, v), y = y(u, v)$ 将 $uv$ 平面上的区域 $D'$ 一对一地映射到 $xy$ 平面上的区域 $D$。
• 二重积分换元公式： $$\iint_D f(x,y) dx dy = \iint_{D'} f(x(u,v), y(u,v)) |J| du dv$$ 其中 $J = \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix}$ 称为雅可比行列式 (Jacobian)。绝对值 $|J|$ 反映了面积元素在变换下的伸缩比例。
• 三重积分换元公式：类似地，引入三个新变量，体积元素的变换系数是相应的三阶雅可比行列式的绝对值。
• 应用场景：当积分区域的边界方程很复杂（例如由双曲线、抛物线围成），通过巧妙的换元（如令 $u = \frac{y}{x}, v = xy$），可以将复杂的曲线边界转化为新坐标系下的直线边界（矩形区域），从而极大简化积分限的确定。

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第9章 曲线积分和曲面积分

9.1 第一类曲线积分 (Line Integrals of the First Kind)

也称为对弧长的曲线积分。它不考虑曲线的方向，只关注曲线本身的几何长度和被积函数在曲线上的分布。

• 概念与物理意义：设 $L$ 是空间中一条可求长的曲线，$f(x,y,z)$ 是定义在 $L$ 上的函数。将 $L$ 分成 $n$ 小段，每段弧长为 $\Delta s_i$，取点求和取极限，记作 $\int_L f(x,y,z) ds$。
  • 物理意义：如果 $f(x,y,z)$ 表示曲线形构件 $L$ 在点 $(x,y,z)$ 处的线密度，则该积分表示构件的总质量。
• 性质：具有线性性质、对积分路径的可加性。注意：第一类曲线积分与路径的方向无关，即 $\int_{AB} f ds = \int_{BA} f ds$。
• 计算方法：核心是化为定积分。将曲线方程代入被积函数，并将弧长元素 $ds$ 转化为参数的微分。
  • 若 $L$ 由参数方程 $x=x(t), y=y(t), z=z(t) \quad (\alpha \le t \le \beta)$ 给出，则： $$\int_L f(x,y,z) ds = \int_\alpha^\beta f(x(t),y(t),z(t)) \sqrt{[x'(t)]^2 + [y'(t)]^2 + [z'(t)]^2} dt$$
  • 关键点：积分下限 $\alpha$ 必须小于上限 $\beta$（因为弧长 $ds$ 总是正的）。

9.2 第二类曲线积分 (Line Integrals of the Second Kind)

也称为对坐标的曲线积分。它不仅考虑大小，还严格考虑曲线的方向（有向曲线）。

• 概念与物理意义：设 $L$ 是有向曲线，$\vec{F} = \{P, Q, R\}$ 是向量场。积分形式通常写为 $\int_L P dx + Q dy + R dz$。
  • 物理意义：表示变力 $\vec{F}$ 沿有向曲线 $L$ 移动质点所作的功 ($W = \int_L \vec{F} \cdot d\vec{r}$)。
• 性质：具有线性性质、可加性。最关键的区别：第二类曲线积分与路径的方向有关。如果反向，积分值变号，即 $\int_{AB} = -\int_{BA}$。
• 两类曲线积分的联系：$\int_L P dx + Q dy + R dz = \int_L (P\cos\alpha + Q\cos\beta + R\cos\gamma) ds$，其中 $\{\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma\}$ 是有向曲线 $L$ 在积分点处的单位切向量。
• 计算方法：核心也是化为定积分。
  • 若 $L$ 由参数方程 $x=x(t), y=y(t), z=z(t)$ 给出，起点 $t=\alpha$，终点 $t=\beta$（注意：这里 $\alpha$ 可以大于 $\beta$，必须严格按照起点到终点的参数值代入），则： $$\int_L P dx + Q dy + R dz = \int_\alpha^\beta [P(x(t),y(t),z(t))x'(t) + Q(...)y'(t) + R(...)z'(t)] dt$$

9.3 格林公式 平面曲线积分与路径无关的条件 (Green’s Formula & Conditions for Path Independence)

这是本章的第一个核心高潮，建立了平面区域上的二重积分与该区域边界上的第二类曲线积分之间的联系。

• 格林公式 (Green’s Theorem)： 设闭区域 $D$ 由分段光滑的简单闭曲线 $L$ 围成，函数 $P(x,y), Q(x,y)$ 在 $D$ 上具有一阶连续偏导数，则有： $$\iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dx dy = \oint_L P dx + Q dy$$
  • 注意方向：$L$ 必须取正向（即人沿着 $L$ 走，区域 $D$ 始终在左手边，通常外边界为逆时针，内边界/洞为顺时针）。
  • 应用：常用于将复杂的曲线积分转化为容易计算的二重积分；或者反过来，当曲线不闭合时，通过“补线”使其闭合，再用格林公式。
• 平面上曲线积分与路径无关的条件： 在单连通区域 $D$ 内，以下四个命题是等价的：
  1. $\oint_L P dx + Q dy = 0$ （沿任意闭曲线的积分为零）。
  2. $\int_{AB} P dx + Q dy$ 与路径无关，只与起点 $A$ 和终点 $B$ 有关。
  3. $\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y}$ 在 $D$ 内处处成立。
  4. $P dx + Q dy$ 是某个二元函数 $u(x,y)$ 的全微分，即 $du = P dx + Q dy$ （$u$ 称为原函数或势函数）。
  • 应用：当满足条件3时，我们可以选择最简单的路径（如平行于坐标轴的折线）来计算曲线积分；或者利用凑微分法求出原函数 $u(x,y)$，直接用 $u(B) - u(A)$ 计算。

9.4 第一类曲面积分 (Surface Integrals of the First Kind)

也称为对面积的曲面积分。类似于第一类曲线积分，不考虑曲面的侧（方向）。

• 概念与物理意义：设 $\Sigma$ 是空间曲面，$f(x,y,z)$ 是定义在其上的函数。积分记作 $\iint_\Sigma f(x,y,z) dS$。
  • 物理意义：若 $f$ 表示曲面薄片 $\Sigma$ 的面密度，则积分表示薄片的总质量。
• 性质：与曲面侧的选择无关，即 $\iint_{\Sigma} f dS = \iint_{-\Sigma} f dS$。
• 计算方法：核心是化为二重积分。将曲面投影到某个坐标面（通常是 $xOy$ 面）上。
  • 若曲面 $\Sigma$ 由方程 $z = z(x,y)$ 给出，其在 $xOy$ 面上的投影区域为 $D_{xy}$，则面积元素 $dS = \sqrt{1 + (z_x')^2 + (z_y')^2} dx dy$。
  • 公式：$\iint_\Sigma f(x,y,z) dS = \iint_{D_{xy}} f(x,y,z(x,y)) \sqrt{1 + (z_x')^2 + (z_y')^2} dx dy$。

9.5 第二类曲面积分 (Surface Integrals of the Second Kind)

也称为对坐标的曲面积分。严格考虑曲面的侧（有向曲面，即指定了法向量的指向，分内侧和外侧、上侧和下侧）。

• 概念与物理意义：设 $\Sigma$ 是有向曲面，$\vec{v} = \{P, Q, R\}$ 是向量场（如流速场）。积分形式为 $\iint_\Sigma P dy dz + Q dz dx + R dx dy$。
  • 物理意义：表示流体以速度 $\vec{v}$ 流过有向曲面 $\Sigma$ 指定侧的流量（或通量，Flux）。也可以写成向量形式 $\iint_\Sigma \vec{v} \cdot \vec{n} dS$。
• 性质：与曲面的侧有关。如果曲面反向，积分值变号。
• 两类曲面积分的联系：$\iint_\Sigma P dy dz + Q dz dx + R dx dy = \iint_\Sigma (P\cos\alpha + Q\cos\beta + R\cos\gamma) dS$，其中 $\{\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma\}$ 是有向曲面 $\Sigma$ 在积分点处的单位法向量。
• 计算方法：核心是化为二重积分。
  • 例如计算 $\iint_\Sigma R(x,y,z) dx dy$：将 $\Sigma$ 投影到 $xOy$ 面得到 $D_{xy}$。将 $z$ 换成 $z(x,y)$ 后在 $D_{xy}$ 上算二重积分。
  • 符号判定法则：若 $\Sigma$ 的法向量与 $z$ 轴正向夹角为锐角（取上侧），则二重积分前取正号；若为钝角（取下侧），则取负号。对 $dy dz$ (投影到 $yOz$) 和 $dz dx$ (投影到 $zOx$) 同理看法向量与 $x$ 轴、$y$ 轴的夹角。

9.6 高斯公式与散度 (Gauss’s Formula and Divergence)

本章的第二个核心高潮，建立了空间闭区域上的三重积分与该区域边界闭曲面上的第二类曲面积分之间的联系。

• 高斯公式 (Gauss’s Divergence Theorem)： 设空间闭区域 $\Omega$ 由分片光滑的闭曲面 $\Sigma$ 围成，函数 $P, Q, R$ 在 $\Omega$ 上具有一阶连续偏导数，则有： $$\iiint_\Omega \left( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \right) dv = \oiint_\Sigma P dy dz + Q dz dx + R dx dy$$
  • 注意方向：$\Sigma$ 必须取外侧（法向量指向区域外部）。如果是内侧，前面要加负号。
  • 应用：极大地简化了封闭曲面上的第二类曲面积分的计算。如果曲面不封闭，可以通过“补面”使其封闭，然后用高斯公式减去补面上的积分。
• 散度 (Divergence)： 向量场 $\vec{A} = \{P, Q, R\}$ 的散度定义为 $\text{div } \vec{A} = \nabla \cdot \vec{A} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}$。
  • 物理意义：散度反映了向量场在某一点处的“源”或“汇”的强度。散度为正表示该点是发散源（如正电荷），为负表示是汇聚汇（如负电荷）。
  • 高斯公式的向量形式：$\iiint_\Omega (\nabla \cdot \vec{A}) dv = \oiint_\Sigma \vec{A} \cdot \vec{n} dS$。即：区域内所有源的总和等于穿过边界向外的总通量。

9.7 斯托克斯公式与旋度 (Stokes’ Formula and Curl)

本章的第三个核心高潮，也是最难的一个公式。它是格林公式从平面到空间的推广，建立了空间有向曲面上的第二类曲面积分与该曲面边界有向曲线上的第二类曲线积分之间的联系。

• 斯托克斯公式 (Stokes’ Theorem)： 设 $\Sigma$ 为分片光滑的有向曲面，$L$ 是 $\Sigma$ 的边界有向闭曲线，$P, Q, R$ 具有一阶连续偏导数，则有： $$\iint_\Sigma \begin{vmatrix} dy dz & dz dx & dx dy \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{vmatrix} = \oint_L P dx + Q dy + R dz$$ 展开左边即为：$\iint_\Sigma (\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z}) dy dz + (\frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x}) dz dx + (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) dx dy$。
  • 方向约定（右手定则）：右手四指顺着边界曲线 $L$ 的方向弯曲，大拇指所指的方向就是曲面 $\Sigma$ 的法向量方向（侧）。
  • 应用：常用于将复杂的空间曲线积分转化为相对容易的曲面积分。特别是当曲线 $L$ 在一个平面上时，可以取该平面被 $L$ 截下的部分作为 $\Sigma$，此时计算往往大为简化。
• 旋度 (Curl)： 向量场 $\vec{A} = \{P, Q, R\}$ 的旋度定义为 $\text{rot } \vec{A}$ 或 $\nabla \times \vec{A} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{vmatrix}$。
  • 物理意义：旋度反映了向量场在某一点附近的旋转程度（如流体的涡旋）。
  • 斯托克斯公式的向量形式：$\iint_\Sigma (\nabla \times \vec{A}) \cdot \vec{n} dS = \oint_L \vec{A} \cdot d\vec{r}$。即：曲面内部总旋转量等于沿边界的环流量。
  • 空间曲线积分与路径无关的条件：在空间单连通区域内，$\oint_L P dx + Q dy + R dz = 0$ $\iff$ $\text{rot } \vec{A} = \vec{0}$ （即旋度处处为零，这样的场称为无旋场或保守场）。

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第10章 级数

10.1 常数项级数的概念和性质 (Concepts and Properties of Constant Term Series)

这是级数理论的基石，定义了什么是无穷级数以及它何时“有意义”。

• 级数的定义：给定一个数列 $u_1, u_2, u_3, \dots, u_n, \dots$，将它们依次相加得到的表达式 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n = u_1 + u_2 + u_3 + \dots$ 称为常数项无穷级数，简称级数。其中 $u_n$ 称为一般项（或通项）。
• 部分和与收敛性：由于无法直接计算无穷项的和，我们引入前 $n$ 项的和 $S_n = \sum_{i=1}^n u_i$（称为部分和）。如果当 $n \to \infty$ 时，部分和数列 $\{S_n\}$ 存在有限极限 $S$，即 $\lim_{n \to \infty} S_n = S$，则称该级数收敛，并称 $S$ 为级数的和；否则称级数发散。
  • 本质：级数的收敛性问题，本质上就是部分和数列的极限问题。
• 级数收敛的必要条件：若级数 $\sum u_n$ 收敛，则必有 $\lim_{n \to \infty} u_n = 0$。
  • 重要推论（常用于判散）：如果 $\lim_{n \to \infty} u_n \neq 0$（或极限不存在），则级数必定发散。但注意，$\lim_{n \to \infty} u_n = 0$ 只是必要条件，不是充分条件（例如调和级数 $\sum \frac{1}{n}$ 通项趋于0，但它是发散的）。
• 基本性质：
  1. 线性性质：收敛级数可以逐项乘以常数、逐项相加减。
  2. 改变有限项不影响敛散性：在级数中去掉、加上或改变有限个项，不会改变级数的敛散性（但如果收敛，和可能会变）。
  3. 加括号性质：收敛级数任意加括号后仍收敛，且和不变。反之不成立（加括号后收敛，原级数未必收敛）。

10.2 正项级数 (Positive Term Series)

研究所有项 $u_n \ge 0$ 的级数。这是判断一般级数敛散性的基础。

• 收敛的基本充要条件：正项级数的部分和数列 $\{S_n\}$ 是单调递增的。因此，正项级数收敛的充要条件是其部分和数列有上界。
• 比较审敛法：通过找一个已知敛散性的级数（通常是几何级数 $\sum aq^n$ 或 p-级数 $\sum \frac{1}{n^p}$）来与之比较。
  • 若 $0 \le u_n \le v_n$，大级数 $\sum v_n$ 收敛 $\implies$ 小级数 $\sum u_n$ 收敛。
  • 若 $u_n \ge v_n \ge 0$，小级数 $\sum v_n$ 发散 $\implies$ 大级数 $\sum u_n$ 发散。
  • 极限形式：若 $\lim_{n \to \infty} \frac{u_n}{v_n} = l$ ($0 < l < +\infty$)，则两级数同敛散。这是最常用的方法。
• 比值审敛法（达朗贝尔 D’Alembert 判别法）：考察相邻两项的比值极限 $\rho = \lim_{n \to \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n}$。
  • $\rho < 1 \implies$ 收敛；$\rho > 1 \implies$ 发散；$\rho = 1 \implies$ 失效。特别适用于通项含有阶乘 $n!$ 或指数 $a^n$ 的情况。
• 根值审敛法（柯西 Cauchy 判别法）：考察通项的 $n$ 次方根的极限 $\rho = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{u_n}$。
  • $\rho < 1 \implies$ 收敛；$\rho > 1 \implies$ 发散；$\rho = 1 \implies$ 失效。特别适用于通项整体带有 $n$ 次方的情况。

10.3 任意项级数 (Arbitrary Term Series)

研究项可正可负的级数，主要包括交错级数和一般的任意项级数。

• 绝对收敛与条件收敛：
  • 对于任意项级数 $\sum u_n$，如果把它的各项取绝对值后构成的正项级数 $\sum |u_n|$ 收敛，则称原级数 $\sum u_n$ 绝对收敛。
  • 如果 $\sum |u_n|$ 发散，但原级数 $\sum u_n$ 本身收敛，则称原级数 条件收敛。
  • 重要定理：绝对收敛的级数一定收敛（即 $\sum |u_n|$ 收敛 $\implies \sum u_n$ 收敛）。绝对收敛的级数具有更好的性质（如可以任意重排项而不改变和）。
• 交错级数及其审敛法：形如 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} u_n$ （其中 $u_n > 0$）的级数。
  • 莱布尼茨 (Leibniz) 定理：如果交错级数满足两个条件：(1) $u_n \ge u_{n+1}$ (单调递减)；(2) $\lim_{n \to \infty} u_n = 0$，则该交错级数收敛。并且其余项的绝对值不超过被舍弃的第一项的绝对值 ($|R_n| \le u_{n+1}$)。

10.4 幂级数 (Power Series)

从这里开始进入函数项级数的领域。幂级数是最简单、最重要的一类函数项级数。

• 函数项级数的概念：每一项都是函数的级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)$。使级数收敛的 $x$ 的集合称为收敛域。
• 幂级数的标准形式：$\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \dots$ （或更一般的 $\sum a_n (x-x_0)^n$）。
• 阿贝尔 (Abel) 定理：如果幂级数在 $x = x_0$ ($x_0 \neq 0$) 处收敛，则对于满足 $|x| < |x_0|$ 的一切 $x$，级数都绝对收敛；如果在 $x = x_0$ 处发散，则对于满足 $|x| > |x_0|$ 的一切 $x$，级数都发散。
• 收敛半径 $R$ 与收敛区间：根据阿贝尔定理，幂级数的收敛域通常是一个以原点为中心的对称区间 $(-R, R)$。
  • 求法：通常利用比值法或根值法求系数比值的极限。若 $\rho = \lim_{n \to \infty} |\frac{a_{n+1}}{a_n}|$，则收敛半径 $R = \frac{1}{\rho}$ （当 $\rho=0$ 时 $R=+\infty$；当 $\rho=+\infty$ 时 $R=0$）。
  • 求出 $R$ 后，必须单独考察端点 $x = R$ 和 $x = -R$ 处的敛散性（代入后变成常数项级数，用10.2或10.3的方法判断），从而确定最终的收敛域。
• 幂级数的运算性质：在收敛区间内，幂级数可以像多项式一样进行逐项加法、乘法、逐项求导和逐项积分，且求导/积分后的新幂级数收敛半径不变（但端点敛散性可能改变）。

10.5 函数的幂级数展开 (Power Series Expansion of Functions)

这是幂级数理论的核心应用：将一个复杂的函数表示为简单的幂级数之和。这也就是著名的泰勒级数 (Taylor Series) 理论。

• 泰勒级数：若函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某邻域内具有任意阶导数，则可以在该点构造级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^n$。当 $x_0 = 0$ 时，称为麦克劳林级数 (Maclaurin Series)。
• 展开的充要条件：函数 $f(x)$ 能展开成泰勒级数的充要条件是，其泰勒公式的余项 $R_n(x)$ 当 $n \to \infty$ 时趋于 0。
• 展开方法：
  1. 直接展开法：按照公式求出 $f(x)$ 的各阶导数在 $x_0$ 处的值，写出级数，并证明余项趋于0。这种方法计算量大，较少使用。
  2. 间接展开法（最常用）：利用已知的基本初等函数的麦克劳林展开式（必须熟记以下几个）：
     • $e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}, \quad x \in (-\infty, +\infty)$
     • $\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}, \quad x \in (-\infty, +\infty)$
     • $\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}, \quad x \in (-\infty, +\infty)$
     • $\ln(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n}, \quad x \in (-1, 1]$
     • $(1+x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + \dots, \quad x \in (-1, 1)$ 通过变量代换、四则运算、逐项求导或逐项积分等技巧，将待展开的函数转化为上述已知形式，从而得到其幂级数展开式。

10.6 傅里叶 (Fourier) 级数 (Fourier Series)

如果说幂级数是用光滑的多项式去逼近函数，那么傅里叶级数则是用三角函数（正弦和余弦波）去逼近函数。它在信号处理、热传导、声学等领域具有不可替代的作用。

• 三角函数系的正交性：函数系 $1, \cos x, \sin x, \cos 2x, \sin 2x, \dots$ 在区间 $[-\pi, \pi]$ 上具有正交性（即任意两个不同函数的乘积在该区间上的积分为0）。这是傅里叶级数理论的基石。
• 傅里叶系数与傅里叶级数： 设 $f(x)$ 是以 $2\pi$ 为周期的函数，若它能展开成三角级数 $f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx)$，利用正交性可以求出系数（欧拉-傅里叶公式）：
  • $a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos nx dx \quad (n=0, 1, 2, \dots)$
  • $b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin nx dx \quad (n=1, 2, \dots)$
• 狄利克雷 (Dirichlet) 收敛定理：给出了傅里叶级数收敛到什么值的充分条件。如果 $f(x)$ 在一个周期内满足：(1) 连续或只有有限个第一类间断点；(2) 只有有限个极值点。则其傅里叶级数处处收敛：
  • 在 $f(x)$ 的连续点 $x$ 处，收敛于 $f(x)$。
  • 在 $f(x)$ 的间断点 $x_0$ 处，收敛于左右极限的平均值 $\frac{f(x_0^-) + f(x_0^+)}{2}$。
• 正弦级数与余弦级数： 如果只需要在区间 $[0, \pi]$ 上展开函数 $f(x)$，可以通过奇延拓或偶延拓将其扩展到 $[-\pi, \pi]$ 上成为周期函数。
  • 奇延拓：展开后只含正弦项 ($a_n = 0$)，称为正弦级数。
  • 偶延拓：展开后只含余弦项和常数项 ($b_n = 0$)，称为余弦级数。
• 一般周期 $2l$ 的傅里叶级数：通过变量代换 $t = \frac{\pi x}{l}$，可以将上述针对 $2\pi$ 周期的公式推广到任意周期 $2l$ 的情形。